三角恒等變換

1、.選擇題（共11小題）1. （2015秋？衡水校級期末）當A .最大值是1 ,最小值是-1C.最大值是2,最小值是-2B.最大值是1,最小值是-2D .最大值是2,最小值是-12.（2012?胡南）函數(shù)f （x）-（專）的值域為（-2, 2 B. -V3, V3|C. -1, 1 D,-,-223.（2011春？海淀區(qū)校級期中）已知a是第三象限角0=一24二丁a2B.C.D.4.(2009也寧)已知4B.C.0=2,34D.2 9 9 -e 22 9=()455.(2008?廣東)2已知函數(shù) f (x) = (12x) x, xCR,則 f (x)A.最小正周期為 兀的奇函數(shù)B.最小正周期為的

2、奇函數(shù)C.最小正周期為兀的偶函數(shù)D .最小正周期為JT2的偶函數(shù)6.（2008喻南）函數(shù)f （x） 22的最小值和最大值分別為（3q-3, 1 B. - 2, 2 C. - 3, D. - 2,-7.（2008?胡南）函數(shù)在區(qū)間兀，下上的最大值是1 B.8.（2015?南充一模）已知角a的終邊經(jīng)過點P （2, - 1）,則sin 口 -cos asind+cosCI3 B.C.，則 2a=（）9. （2015秋？河源期末）若 a （ 0,兀），且口占共十sind二A.唧土qT D悔10. （2015秋？遵義期末）已知sin （一口）-,則2爐（43A 2n 2A . 一 B . - C D .

3、一333311. （2015?泉州一模）若A. - 3 B. - C.-33（x=2,D. 3臺inUu Lil 4 COS 口二.解答題（共9小題）12. （2016?北京）已知（三，無），且泣甘白二工25（I ）9；（n）求cog （ 0十9"）的值.13. （2015?揭陽校級三模）已知函數(shù)F（工）=加£山江+於8s2力XER（1）求f （x）的最大值和最小正周期；（2）若f （9-工）巫,a是第二象限的角，求 2 a.28214. （2015?漳州一模）已知函數(shù) f （x） 26 （一了）（I ）求f （x）的最小正周期 T;（n）求函數(shù)f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間；，

4、、一 ，一、一 I27T （出）求函數(shù)f （x）在區(qū)間0, J-上的取值范圍.J15. (2015?沈陽模擬)已知函數(shù) f (x) =3222x.(1)求f (x)的最大值，并求出此時 x的值；(2)寫出f (x)的單調(diào)區(qū)間.7T16. (2015?沈陽一模)已知函數(shù) f (x) =2 (-).(1)求函數(shù)f (x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；I 1T(2)當x可0, 時，求f (x)的值域.17. (2015?陜西模擬)已知函數(shù)f(X二炳sin2:1-28(aCR，a為常數(shù))，(I )求函數(shù)f (x)的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(n )若函數(shù)f (x)在-,二孑,上的最小值為4,求a的值.18.

5、(2015?安徽一模)已知函數(shù) f (x) =2 (22cox1) 2co (4*), co (0, 1),且函數(shù)有一個最高點(L, 1). 6(1)求實數(shù)3的值和函數(shù)f (x)的最小正周期；(2)求f (x)在巨，耳匕上的最大值和最小值.12619. (2015?株洲一模)已知函數(shù) f (x) =2/3-221.（i）當xqo,工時，求函數(shù)f （x）的最大值;2（n ）若 f （ a） =£ （ aq。，）,求 2 a 的值.5620. （2015?天津校級一模）已知函數(shù) F （工）=2cosx CVgsinx+cosx） +2（I ）求函數(shù)f （x）的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；（

6、n）求函數(shù)f （x）在區(qū)間0,上的最大值和最小值.2016年03月09日1032142451的高中數(shù)學組卷參考答案與試題解析一.選擇題（共11小題）TTTT1. （2015秋？衡水校級期末）當 一時，函數(shù)f（、）"6的（）A .最大值是1 ,最小值是-1 B .最大值是1 ,最小值是-士C.最大值是2,最小值是-2 D .最大值是2,最小值是-1【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用.【分析】首先對三角函數(shù)式變形， 提出2變?yōu)榉蟽山呛偷恼夜叫问?，根?jù)自變量的范圍求出括號內(nèi)角的范圍，根據(jù)正弦曲線得到函數(shù)的值域.【解答】解：一（x）如xE L， 1 ,22.f （x） q T , 2,故

7、選D【點評】了解各公式間的內(nèi)在聯(lián)系， 熟練地掌握這些公式的正用、 逆用以及某些公式變形后 的應用.掌握兩角和與差的正弦、余弦、 正切公式及其推導， 本題主要是公式的逆用和對三 角函數(shù)值域的考查.、，TU =，2. (2012?胡南)函數(shù)f (x)-()的值域為(6A. -2, 2 B. - VS, V3 C. -1, 1 D.-, 22【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用；正弦函數(shù)的定義域和值域.【專題】 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).【分析】通過兩角和的余弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達式，利用兩角差的正弦函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，求出函數(shù)的值域.【解答】解：函數(shù)f (x)-(+ 3 - +7；sinzV

8、3 (x-馬 詬】. 6 故選B.【點評】 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，正弦函數(shù)的定義域和值域，考查計算能力.3. (2011春？海淀區(qū)校級期中)已知a是第三象限角 卡-2425'B.D.【考點】【專題】【分析】弦切互化；象限角、 綜合題.由a是第三象限角,軸線角.得到“小于0,然后由a的值利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出a的值，把所求的式子利用弦切互化公式化簡后，把a和a的值代入即可求出值.【解答】解：由a是第三象限角，得到 爐-=一/21+cos a1 一上 18325故選D.【點評】此題考查學生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及弦切互化公式化簡求值, 道中檔題.4. (20

9、09?!寧)已知 0=2,貝U 2。得22 9=()B.【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用.【專題】計算題.【分析】利用2 # 0=1 ,令原式除以2從而把原式轉(zhuǎn)化成關(guān)于 。的式子，把 打2代入即 可.【解答】解：2 0 0 -0 22 0sin" +sin9 cos _ 2co s2 9si n£ 9 -Feo s 2 9故選D.【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換應用.本題利用了2。=1巧妙的完成弦切互化.25. (2008?廣東)已知函數(shù) f (x) = (12x) 2x, xCR,則 f (x)是()A.最小正周期為 兀的奇函數(shù) B.最

10、小正周期為 今的奇函數(shù)C.最小正周期為兀的偶函數(shù)D.最小正周期為端的偶函數(shù)【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用；三角函數(shù)的周期性及其求法.【分析】用二倍角公式把二倍角變?yōu)橐槐督?，然后同底?shù)哥相乘公式逆用，變?yōu)槎督钦业钠椒?，再次逆用二倍角公式，得到能求周期和判斷奇偶性的表示式，得到結(jié)論.2解：-.-f (x) = ( 12x) 222理2一看口/肝(，故選D.【點評】通過應用公式進行恒等變形，在不斷提高學生恒等變形能力的同時，讓學生初步認識形式和內(nèi)容的辯證關(guān)系.掌握兩角和、兩角差、二倍角與半角的正弦、余弦、正切公式，并運用這些公式以及三角函數(shù)的積化和差與和差化積等公式化簡三角函數(shù)式、求某些角的三

11、 角函數(shù)值，證明三角恒等式等.6. (20087W南)函數(shù)f (x) 22的最小值和最大值分別為()A-c c cc c3c c |3A. 3 3, 1B. - 2, 2C. - 3,-;D. - 2,不【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用.【專題】壓軸題.【分析】用二倍角公式把二倍角變?yōu)橐槐督?，得到關(guān)于的二次函數(shù)，配方整理，求解二次函數(shù)的最值，解題時注意正弦的取值范圍.【解答】解：£ ( Q =1 _ 2el nz+2sinx= _ 2 (sinw/) ,當我口工二工時，f吟 當一1 時，(x) = - 3.故選C.【點評】三角函數(shù)值域及二次函數(shù)值域，容易忽視正弦函數(shù)的范圍而出錯.高考

12、對三角函數(shù)的考查一直以中檔題為主，只要認真運算即可7.(2008?胡南)函數(shù)f(X)二Ei 口2汨呂溫在區(qū)間k"，4上的最大值是( )A. 1 B.上辦 C.上 D. l+/522【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用；函數(shù)(3。)的圖象變換.【分析】先將函數(shù)用二倍角公式進行降哥運算，得到 f (x) 工矢口 (2k-)，然后再 2&求其在區(qū)間三上的最大值.L 42【解答】解：由f (*)二L 丁*存甌必三&歷 -三), .天 / /兀% 兀_/)_兀/5 幾.1 d 3故選C.【點評】本題主要考查二倍角公式的應用和三角函數(shù)的最值問題.二倍角公式一般都是反向考查，一定要會靈

13、活運用. a ，、一、 1“sin口 _ cos a8. (2015?南充一模)已知角 a的終邊經(jīng)過點 P (2, - 1),則=()sinCl+cosCI【考點】三角函數(shù)的化簡求值；任意角的三角函數(shù)的定義.【專題】三角函數(shù)的求值.【分析】先根據(jù)已知條件得到 %再化簡手三三代入即可得到結(jié)果.sinCl +cqs 口【解答】 解：因為角a的終邊經(jīng)過點P (2, - 1),所以tm 1二一工，2-X -1則史巴二二7二_久sinCI +crisQ tan+l _1 .1 L故選D.【點評】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，著重考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于中檔題.9. (

14、2015 秋？河源期末)若 a (0,兀)，且 GCiU+3inQ 二一 貝 U 2 a=()A- 丁B- ±-T C-T D-【考點】三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值.【專題】計算題.【分析】 通過對表達式平方，求出 a- a的值，然后利用二倍角公式求出2 a的值，得到選項.【解答】解：(a 2, sjn COG G =而 a> 0 ,99a< 0 a a=Ccos4sina ) ? -46門。com H 二一 ,J一家誓）唔故選A .本題的解答策略比【點評】本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡求值，二倍角公式的應用, 較多，注意角的范圍，三角函數(shù)的符號的確定是解題的關(guān)鍵.10

15、. （2015秋？遵義期末）已知sin （- Q）二蟲，則2爐（ 43【考點】三角函數(shù)的化簡求值.【專題】 轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值.【分析】由條件利用兩角和差的正弦公式，二倍角的正弦公式，求得 2 a的值.【解答】 解：,已知短門工Q ）二星返廠也a, .（1-2aa1， 43 223 2（x=2 a =±,故選：B.【點評】 本題主要考查兩角和差的正弦公式，二倍角的正弦公式的應用，屬于基礎(chǔ)題.11. （2015?泉州一模）若 a=2,量口口 +cnm 口sin 1 cos 口/fr 尋A. - 3B.-C.D.【考點】三角函數(shù)的化簡求值.【專題】三角函數(shù)的求值.【分析】由

16、條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得所給式子的值.解答解：.行2,則 .口tan" + l 2+1 3, sin口 一，口一 口 tan 口 1 2 - 1【點評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應用，屬于基礎(chǔ)題.二.解答題（共9小題）TTQ12. （2016?北京）已知口£ （.兀），且人口白二（n）求85 （白十）的值.3【考點】三角函數(shù)的化簡求值.【專題】 轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值.【分析】（I）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得。的值，可得。的值.（n ）由條件利用兩角和的余弦公式，求得 cos （日十衛(wèi)）的值.3【解答】解：（I ） 白E （二，死

17、），且式門9二至，°= Ji - sin2 9 =-，25 V5工-1 ton白二一上，4故答案為：-自.4（n） .（ 9 ¥） 匹- 匹-上-E?，Jj= - 4+.333 5 2 5 210【點評】 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的余弦公式的應用，屬于基礎(chǔ)題.13. （2015?揭陽校級三模）已知函數(shù) F （工）二屹xER.（1）求f （x）的最大值和最小正周期；（2）若f （巴-工）=亞，a是第二象限的角，求 2a. 2 S 2【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用；三角函數(shù)的周期性及其求法.【專題】 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).【分析】（1）利用兩角和的正弦公式對

18、解析式化簡，由正弦函數(shù)的最值和三角函數(shù)的周期公式求出函數(shù)的最大值和周期；（2）將2-21代入由（1）求出的解析式，化簡后求出正弦值，再由角的范圍和平方關(guān)系 28求出余弦值，再代入二倍角的正弦公式求值即可.【解答】解（1）由題意得，f （義）-2 （聿029*皿7T=2 (2), 4.f (x)的最大值為2,且函數(shù)的最小正周期為兀,(2)由(1)知，f (k) =2ain (2科，公indT，即a= 又a是第二象限的角，爐一也- -i n2 U =-2 a=2 a =2 望X( = -.448【點評】本題考查了倍角公式和兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)綜合應用，考查了的知識點較多，需要熟練掌

19、握.14. (2015?漳州一模)已知函數(shù) f(x)翡(今(I )求 f (x)(n)求函數(shù)f的最小正周期 T;(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(m)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,空上的取值范圍.| 3【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用；正弦函數(shù)的圖象.【專題】 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).【分析】(I )由三角函數(shù)公式化簡可得 f (x) (2x-)+1,可得周期 62-2L+2k-K<2x得 2 算 - -7- E -.672k冗解不等式可得單調(diào)遞增區(qū)間;,不冗,進而可得sin(2x- E - A, 1 ,可得62函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是7T2(出)由 kE Oj. _汨 兀 _2kw得一口上打TTn

20、 f 冗 L k E £ ；)E -，1, F(k) EM -|,仁1iu二.函數(shù)f (x)在區(qū)間0,上的取值范圍為0,保.【點評】 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬基礎(chǔ)題.15. (2015?沈陽模擬)已知函數(shù) f (x) =3222x.(1)求f (x)的最大值，并求出此時 x的值；(2)寫出f (x)的單調(diào)區(qū)間.三角函數(shù)中的恒等變換應用；正弦函數(shù)的圖象. 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).(1)化簡可得f (x) =Jsdn (2x+-) +2,可得f (x)的最大值和此時x的值;(2)由2k丸-現(xiàn)耳七下和配冗2k+分別可解得函數(shù)的單調(diào)遞增和單調(diào)遞減區(qū)間.【解答】解

21、：(1)化簡可得f (力二3 f1+cos2k)11 cos2xM i_ 門2 " *n222=2sin (2算十牛")+2.f (x)的最大值為2+近，此時 2, 4J k£2;O(2)由2kn2gn2可解得kn-JT匠+=D.f (x)單調(diào)增區(qū)間為:Hn一斐，及五十書，kG2 ;l_!8，可解得伊兀, f (x)單調(diào)減區(qū)間為:r7T 1 ekH+F kH +【點評】 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的最值和單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.16. (2015?沈陽一模)已知函數(shù) f (x) =2 (717(1)求函數(shù)f (x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;x qo,IT時

22、，求f (x)的值域.2【考點】 【專題】【分析】 增區(qū)間,三角函數(shù)中的恒等變換應用；三角函數(shù)的周期性及其求法.計算題；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).(1)運用兩角和差公式和二倍角公式，化簡整理，再由周期公式和正弦函數(shù)的單調(diào) 即可得到；x的范圍,I兀， rI 一，可得2x-二的范圍，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到值域.解：(1)f (x) =2 (7T=2 (噴 V32V3(1 - ccs2x)嫦(2xT由 2k 二一解得，kn-工去兀+，125H17則函數(shù)f (x)的最小正周期,kCZ,則f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k兀-(2)當x可0,兀2時，2x 工可一三337133, i,則

23、f (x)的值域為0, 1+鳥2【點評】本題考查三角函數(shù)的化簡和求值,考查二倍角公式和兩角和差的正弦公式，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性和值域，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.17. (2015?陜西模擬)已知函數(shù)f (x)二加武亂(aCR, a為常數(shù))，(I )求函數(shù)f (x)的周期和單調(diào)遞增區(qū)間;(n)若函數(shù) f (x)在JL, E 46上的最小值為4,求a的值.三角函數(shù)中的恒等變換應用；復合三角函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)的最值. 計算題.(I)先利用二倍角公式和兩角差的正弦公式，將函數(shù)再利用三角函數(shù)周期公式計算其周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,的單調(diào)區(qū)間；()先求內(nèi)層函數(shù)的值域，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求

24、函數(shù) 已知列方程即可解得 a的值f (x)化為(w 6型函數(shù),通過解不等式求得此函數(shù)f (x)的最大值，利用【解答】解：(I ) f (x)二炳sinZx -班亂V32x - ( 12x)=2 (-工2x) - 1TT=2'.：: r: +6二n由2kn一2H712立珠冗JTjr，單調(diào)遞增區(qū)間為k冗上九+=,kEZ 1 win (2萬-專)JT,由 f (x) -2-1=4當 sin -)二一1【點評】本題主要考查了三角變換公式在三角化簡和求值中的應用, 性質(zhì)應用，整體代入的思想方法，屬中檔題(3 6型函數(shù)的圖象和18. (2015?安徽一模)已知函數(shù) f (x) =2(22cox-1

25、) 2co (4*)，co (0, 1), 一個最高點(三，1).6(1)求實數(shù)3的值和函數(shù)f(X)的最小正周期；(2)求f (x)在三，旦L上的最大值和最小值.12 6【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用；三角函數(shù)的周期性及其求法.【專題】 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).【分析】(1)直接利用二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)：f (x) (4)，然后,3高點(工，1),從而確定且函數(shù)有結(jié)合最3=從而求解； (2)直接利用三角函數(shù)的單調(diào)性進行求解.K4tv【解答】解：(1) f (x) =2 (22ox-1) 2 CO;函數(shù)有一個最高點(1), 6.、4兀叮 ，一 4 w 勺門 2k 兀，k Z ,0 J

26、£. .3k, kCZ,4co (0, 1), ,_1, 3= 4， 1.f (x)(-2.1- f (x)的最小正周期 2兀;(2) .xQ一,旦1,126.三亞生3 126.f(X)在巨，互1上的最大值i和最小值-12 62【點評】本題重點考查了三角公式、三角恒等變換公式、二倍角公式、周期公式，三角函數(shù) 的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題.19. (2015?株洲一模)已知函數(shù) f (x) =2/5-221.(I)當xqo,二，時，求函數(shù)f (x)的最大值;(n )若 f ( a) =± ( aq。，工),求 2 a 的值.56【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用；二倍角的余弦.【專題】 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).1T【分析】(1)根據(jù)已知，化簡得到 f (x) =y2siji2K _ gos2k=2sin (2耳-"),然后,結(jié)合xq。，2,求解其最大值；2(2)根據(jù)f (a)二±得到Ein 12m -三)=A 然后結(jié)合a E