第4章根軌跡1

1、1第四章第四章 根軌跡法根軌跡法內(nèi) 容 提 要 根軌跡是一種圖解法，它是根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡是一種圖解法，它是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)零極點(diǎn)分布開環(huán)零極點(diǎn)分布，用作圖的方法簡便地確定，用作圖的方法簡便地確定閉環(huán)系統(tǒng)的特征根與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系閉環(huán)系統(tǒng)的特征根與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而，進(jìn)而對系統(tǒng)的特性進(jìn)行定性分析和定量計(jì)算。對系統(tǒng)的特性進(jìn)行定性分析和定量計(jì)算。 根軌跡的基本條件，常規(guī)根軌跡繪制的根軌跡的基本條件，常規(guī)根軌跡繪制的基本規(guī)則，廣義根軌跡的繪制，用根軌跡圖基本規(guī)則，廣義根軌跡的繪制，用根軌跡圖確定閉環(huán)極點(diǎn)及系統(tǒng)性能指標(biāo)。確定閉環(huán)極點(diǎn)及系統(tǒng)性能指標(biāo)。2知 識 要 點(diǎn) 傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)表示，根軌跡的概傳遞函數(shù)

2、的零極點(diǎn)表示，根軌跡的概念，根軌跡的基本條件，根軌跡的基本規(guī)念，根軌跡的基本條件，根軌跡的基本規(guī)則，等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念，根軌跡定則，等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念，根軌跡定性分析系統(tǒng)性能指標(biāo)隨系統(tǒng)參數(shù)變化的趨性分析系統(tǒng)性能指標(biāo)隨系統(tǒng)參數(shù)變化的趨勢，確定系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)及系統(tǒng)性能指標(biāo)。勢，確定系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)及系統(tǒng)性能指標(biāo)。 3 線性時不變系統(tǒng)的動態(tài)性能主要取決于閉環(huán)線性時不變系統(tǒng)的動態(tài)性能主要取決于閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（閉環(huán)極點(diǎn)），所以控制系統(tǒng)系統(tǒng)特征方程的根（閉環(huán)極點(diǎn)），所以控制系統(tǒng)的動態(tài)設(shè)計(jì)，關(guān)鍵就是合理地配置閉環(huán)極點(diǎn)。調(diào)的動態(tài)設(shè)計(jì)，關(guān)鍵就是合理地配置閉環(huán)極點(diǎn)。調(diào)整開環(huán)增益是改變閉環(huán)極點(diǎn)的常用辦法

3、。整開環(huán)增益是改變閉環(huán)極點(diǎn)的常用辦法。 1948 1948年伊萬斯年伊萬斯(W.R.Evans)(W.R.Evans)提出了根軌跡法，提出了根軌跡法，它不直接求解特征方程它不直接求解特征方程, ,而用圖解法來確定系統(tǒng)的而用圖解法來確定系統(tǒng)的閉環(huán)特征根。所謂根軌跡就是系統(tǒng)的某個參數(shù)連閉環(huán)特征根。所謂根軌跡就是系統(tǒng)的某個參數(shù)連續(xù)變化時，閉環(huán)特征根在復(fù)平面上畫出的軌跡，續(xù)變化時，閉環(huán)特征根在復(fù)平面上畫出的軌跡，如果這個參數(shù)是開環(huán)增益，在根軌跡上就可以根如果這個參數(shù)是開環(huán)增益，在根軌跡上就可以根據(jù)已知的開環(huán)增益找到相應(yīng)的閉環(huán)特征根，也可據(jù)已知的開環(huán)增益找到相應(yīng)的閉環(huán)特征根，也可以根據(jù)期望的閉環(huán)特征根確

4、定開環(huán)增益。以根據(jù)期望的閉環(huán)特征根確定開環(huán)增益。 44.1 4.1 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念4.1.1 4.1.1 什么是根軌跡什么是根軌跡 圖圖4-14-1所示負(fù)反饋控制所示負(fù)反饋控制系統(tǒng)，設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)，設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)為：為：（）（）)2s)(1s( sK)s(H)s(G+ + += =0)2s)(1s( s= =+ + +該系統(tǒng)的開環(huán)特征方程為：該系統(tǒng)的開環(huán)特征方程為：解得系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)為：解得系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)為：s1=0，s2=1 ，s2=2圖圖4-1 4-1 反饋控制系統(tǒng)反饋控制系統(tǒng)50Ks2s3s23= =+ + + +該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：系統(tǒng)

5、閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：K)2s)(1s( sK)s(G1)s(G)s(R)s(C)s(+ + + += =+ += = = 如果將系統(tǒng)的開環(huán)增益如果將系統(tǒng)的開環(huán)增益K（根軌跡增益）從（根軌跡增益）從0向向 變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根在復(fù)平面上的變化情況繪制變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根在復(fù)平面上的變化情況繪制為曲線，如圖為曲線，如圖4-2所示。這樣獲得的曲線稱為所示。這樣獲得的曲線稱為K從從0向向 變化時系統(tǒng)的根軌跡。從根軌跡圖可以看到：當(dāng)變化時系統(tǒng)的根軌跡。從根軌跡圖可以看到：當(dāng)0K0.385時有兩個閉環(huán)極點(diǎn)成為共軛復(fù)數(shù)，只要時有兩個閉環(huán)極點(diǎn)成為共軛復(fù)數(shù)，只要0K=,)ps).(ps)(ps

6、()zs).(zs)(zs(K)s(H)s(Gnm4.2.1 4.2.1 開環(huán)零極點(diǎn)與相角條件開環(huán)零極點(diǎn)與相角條件式中式中p1，p2，pn為開環(huán)極點(diǎn)，為開環(huán)極點(diǎn)，z1，z2，zm 為開環(huán)為開環(huán)零點(diǎn)。零點(diǎn)。17這樣，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可以表示為：這樣，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可以表示為： 0)ps).(ps)(ps()zs).(zs)(zs(K1n21m21= =+ +以以K為參變量的根軌跡上的每一點(diǎn)都必須滿足該方為參變量的根軌跡上的每一點(diǎn)都必須滿足該方程，相應(yīng)地，我們稱之為程，相應(yīng)地，我們稱之為典型根軌跡方程典型根軌跡方程。上。上式也可以寫成：式也可以寫成：1)ps()zs(Kn1iim1ll= =

7、 = =-18這時，將這時，將幅值條件具體化為：幅值條件具體化為：m1lln1ii)zs()ps(K= = = =將將相角條件具體化為：相角條件具體化為： ,2 ,1 ,0k180)1k2()ps()zs(0in1ilm1l= =+ + = = = =19 按相角條件繪制根軌跡圖的依據(jù)。具體方法是：按相角條件繪制根軌跡圖的依據(jù)。具體方法是：在復(fù)平面上選足夠多的試驗(yàn)點(diǎn)，對每一個試驗(yàn)點(diǎn)檢在復(fù)平面上選足夠多的試驗(yàn)點(diǎn)，對每一個試驗(yàn)點(diǎn)檢查它是否滿足相角條件，如果是則該點(diǎn)在根軌跡上，查它是否滿足相角條件，如果是則該點(diǎn)在根軌跡上，如果不是則該點(diǎn)不在根軌跡上，最后將在根軌跡上如果不是則該點(diǎn)不在根軌跡上，最后將

8、在根軌跡上的試驗(yàn)點(diǎn)連接就得到根軌跡圖。以下列的試驗(yàn)點(diǎn)連接就得到根軌跡圖。以下列4 4階系統(tǒng)為階系統(tǒng)為例：例： )()()()()()(43211pspspspszsKsHsG20 先在復(fù)平面上標(biāo)出開環(huán)極點(diǎn)先在復(fù)平面上標(biāo)出開環(huán)極點(diǎn)p1,p2,p3,p4和開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)零點(diǎn)z1如圖如圖4-3。對試驗(yàn)點(diǎn)。對試驗(yàn)點(diǎn)S，如果它在根軌跡上，就應(yīng)，如果它在根軌跡上，就應(yīng)當(dāng)滿足相角條件當(dāng)滿足相角條件 ：, 2 , 1 , 0180) 12(043211kk 量出或計(jì)算出量出或計(jì)算出5個角度，就知道試驗(yàn)點(diǎn)個角度，就知道試驗(yàn)點(diǎn)s是否在根軌是否在根軌跡上。判別了一個試驗(yàn)點(diǎn)，再判別其它試驗(yàn)點(diǎn)跡上。判別了一個試驗(yàn)點(diǎn)，再

9、判別其它試驗(yàn)點(diǎn)。 21 為了盡快把握繪制根軌跡的要領(lǐng)，請牢記并理解為了盡快把握繪制根軌跡的要領(lǐng)，請牢記并理解三句話：繪制根軌跡三句話：繪制根軌跡依據(jù)的是開環(huán)零極點(diǎn)分布，依據(jù)的是開環(huán)零極點(diǎn)分布，遵循的是不變的相角條件，畫出的是閉環(huán)極點(diǎn)的軌跡。遵循的是不變的相角條件，畫出的是閉環(huán)極點(diǎn)的軌跡。 圖圖4-3 4-3 相角條件的圖示相角條件的圖示 22 純粹用試驗(yàn)點(diǎn)的辦法手工作圖，工作量是十分純粹用試驗(yàn)點(diǎn)的辦法手工作圖，工作量是十分巨大的，而且對全貌的把握也很困難，于是人們研巨大的，而且對全貌的把握也很困難，于是人們研究根軌跡圖的基本規(guī)則，以便使根軌跡繪圖更快更究根軌跡圖的基本規(guī)則，以便使根軌跡繪圖更快

10、更準(zhǔn)。概括起來，以開環(huán)增益準(zhǔn)。概括起來，以開環(huán)增益K為參變量的根軌跡圖為參變量的根軌跡圖主要有下列基本規(guī)則：主要有下列基本規(guī)則： 4.2.2 基本規(guī)則基本規(guī)則23規(guī)則規(guī)則1 ：起點(diǎn)和終點(diǎn)起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡一定開始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。根軌跡一定開始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。 因?yàn)楦壽E是閉環(huán)特征方程的根，當(dāng)因?yàn)楦壽E是閉環(huán)特征方程的根，當(dāng)K=0時時方程的根就是它的方程的根就是它的n個開環(huán)極點(diǎn)，當(dāng)個開環(huán)極點(diǎn)，當(dāng)K時方程時方程的根就是它的的根就是它的m個開環(huán)零點(diǎn)。根軌跡的起點(diǎn)和終個開環(huán)零點(diǎn)。根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)是根軌跡的特殊點(diǎn)。點(diǎn)是根軌跡的特殊點(diǎn)。 當(dāng)當(dāng)n=m時，開始于時，開始于n個開環(huán)極點(diǎn)的

11、個開環(huán)極點(diǎn)的n支根軌跡，支根軌跡，正好終止于正好終止于m個開環(huán)零點(diǎn)。個開環(huán)零點(diǎn)。 24 當(dāng)當(dāng)nm時，開始于時，開始于n個開環(huán)極點(diǎn)的個開環(huán)極點(diǎn)的n支根軌跡，支根軌跡，有有m支終止于開環(huán)零點(diǎn)，有支終止于開環(huán)零點(diǎn)，有n-m支終止于無窮遠(yuǎn)處。支終止于無窮遠(yuǎn)處。用式（用式（4-9）可以解釋這一規(guī)則：終點(diǎn)就是）可以解釋這一規(guī)則：終點(diǎn)就是K的的點(diǎn)，要點(diǎn)，要K只有兩種情況，一是只有兩種情況，一是s=zl(l=1,2,m)，二是二是s。這時，無窮遠(yuǎn)處也稱為。這時，無窮遠(yuǎn)處也稱為無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)。 當(dāng)當(dāng)nm時，根軌跡一定有時，根軌跡一定有nm支趨向無窮遠(yuǎn)；支趨向無窮遠(yuǎn)；當(dāng)當(dāng)nm的一般情況下，可以的一般情況下，

12、可以有不同形式的表示有不同形式的表示mjjniizsKps1*1)()(個根之和：閉環(huán)特征方程個極點(diǎn)之和總是等于取何值，開環(huán)無關(guān)，無論系數(shù)與項(xiàng)時，特征方程第二項(xiàng)（當(dāng)nnKKsmnn)2 1111apsniinii41在開環(huán)極點(diǎn)確定的情況下，這是一個不變的常數(shù)。在開環(huán)極點(diǎn)確定的情況下，這是一個不變的常數(shù)。所以，隨著所以，隨著 的增大的增大(或減小或減小)，若一些閉環(huán)特征，若一些閉環(huán)特征根在根在s平面上向左移動，則另一些閉環(huán)特征根必平面上向左移動，則另一些閉環(huán)特征根必向右移動，且在任一向右移動，且在任一 下，閉環(huán)特征根之和保持下，閉環(huán)特征根之和保持常數(shù)不變。常數(shù)不變。此規(guī)則可用于判斷根軌跡的走向。

13、此規(guī)則可用于判斷根軌跡的走向。*K*K 閉環(huán)特征根之積與開環(huán)零、極點(diǎn)有如下關(guān)系：閉環(huán)特征根之積與開環(huán)零、極點(diǎn)有如下關(guān)系：mjjniiniizKps1*11)()()(對應(yīng)于某一對應(yīng)于某一 值，若已知某些閉環(huán)特征根，利值，若已知某些閉環(huán)特征根，利用上述結(jié)論有助于求出其它閉環(huán)特征根。利用上用上述結(jié)論有助于求出其它閉環(huán)特征根。利用上述結(jié)論，也可估計(jì)當(dāng)述結(jié)論，也可估計(jì)當(dāng) 變化時，根軌跡的走向。變化時，根軌跡的走向。*K*K424.3 繪制根軌跡舉例繪制根軌跡舉例有了以上繪制根軌跡的基本法則，在已有了以上繪制根軌跡的基本法則，在已知系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)知系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)(開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù))的的情

14、況下，利用這些基本法則，就可以迅情況下，利用這些基本法則，就可以迅速準(zhǔn)確地確定出根軌跡的主要特征和大速準(zhǔn)確地確定出根軌跡的主要特征和大致圖形。如果需要，再利用根軌跡方程致圖形。如果需要，再利用根軌跡方程的相角條件。利用試探法確定若干點(diǎn)，的相角條件。利用試探法確定若干點(diǎn)，就可以繪制出準(zhǔn)確的根軌跡。就可以繪制出準(zhǔn)確的根軌跡。繪制根軌跡的一般步驟為：繪制根軌跡的一般步驟為：43根據(jù)給定的開環(huán)傳遞函數(shù)，求出開環(huán)零、極點(diǎn)，根據(jù)給定的開環(huán)傳遞函數(shù)，求出開環(huán)零、極點(diǎn)，并將它們標(biāo)在復(fù)平面上；并將它們標(biāo)在復(fù)平面上；確定根軌跡的分支數(shù)及趨于無窮遠(yuǎn)處根軌跡的確定根軌跡的分支數(shù)及趨于無窮遠(yuǎn)處根軌跡的條數(shù)；條數(shù)；確定實(shí)

15、軸上的根軌跡；確定實(shí)軸上的根軌跡；確定根軌跡的漸近線；確定根軌跡的漸近線；確定根軌跡的分離點(diǎn)；確定根軌跡的分離點(diǎn)；計(jì)算根軌跡的出射角和入射角；計(jì)算根軌跡的出射角和入射角；確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；44大體繪出根軌跡的概略形狀；大體繪出根軌跡的概略形狀；利用對稱性畫出上、下復(fù)平面的根軌跡；利用對稱性畫出上、下復(fù)平面的根軌跡；利用閉環(huán)特征根之和、之積的性質(zhì)估計(jì)根軌利用閉環(huán)特征根之和、之積的性質(zhì)估計(jì)根軌跡的走向；跡的走向；利用相角條件試探確定根軌跡上某些點(diǎn)；利用相角條件試探確定根軌跡上某些點(diǎn)；某些系統(tǒng)在復(fù)平面上的根軌跡為圓或圓的一某些系統(tǒng)在復(fù)平面上的根軌跡為圓或圓的一部分時，求

16、出圓心和半徑。部分時，求出圓心和半徑。必要時，對根軌跡進(jìn)行修正，以畫出系統(tǒng)精確根必要時，對根軌跡進(jìn)行修正，以畫出系統(tǒng)精確根軌跡。軌跡。45 根軌跡的上述規(guī)則對繪制根軌跡很有幫助，尤根軌跡的上述規(guī)則對繪制根軌跡很有幫助，尤其是手工繪圖，根據(jù)規(guī)則其是手工繪圖，根據(jù)規(guī)則14就能很快地畫出大致就能很快地畫出大致形狀，再按規(guī)則形狀，再按規(guī)則7求出臨界增益求出臨界增益K0，這樣的根軌跡圖，這樣的根軌跡圖就很有用了，我們稱這樣的根軌跡圖為概略圖，一就很有用了，我們稱這樣的根軌跡圖為概略圖，一般手工畫根軌跡的習(xí)題（考題）就是指這種概略圖。般手工畫根軌跡的習(xí)題（考題）就是指這種概略圖。 除非系統(tǒng)階次很低，否則手

17、工解方程求分離點(diǎn)除非系統(tǒng)階次很低，否則手工解方程求分離點(diǎn)決非易事；手工求出射角和入射角也不太好操作，決非易事；手工求出射角和入射角也不太好操作，并且出射角和入射角的意義并不大，因?yàn)樗鼉H僅反并且出射角和入射角的意義并不大，因?yàn)樗鼉H僅反映了開環(huán)極、零點(diǎn)處根軌跡的走向，稍遠(yuǎn)一點(diǎn)就不映了開環(huán)極、零點(diǎn)處根軌跡的走向，稍遠(yuǎn)一點(diǎn)就不起作用了。起作用了。 46按按7個基本規(guī)則繪制根軌跡圖個基本規(guī)則繪制根軌跡圖 解：首先，系統(tǒng)有三個無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)，有三個開環(huán)極點(diǎn)：解：首先，系統(tǒng)有三個無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)，有三個開環(huán)極點(diǎn)：p1=0,p2=-1,p3=-2，將它們標(biāo)在復(fù)平面上（見圖，將它們標(biāo)在復(fù)平面上（見圖4-5），），開環(huán)極點(diǎn)

18、的位置用開環(huán)極點(diǎn)的位置用表示（開環(huán)零點(diǎn)的位置一般用表示（開環(huán)零點(diǎn)的位置一般用表示）。根據(jù)表示）。根據(jù)規(guī)則規(guī)則1和和2，根軌跡將有，根軌跡將有3支，分別開始于支，分別開始于這三個開環(huán)極點(diǎn)，趨向無窮遠(yuǎn)。這三個開環(huán)極點(diǎn)，趨向無窮遠(yuǎn)。 繪圖示例繪圖示例圖圖4-1 4-1 反饋控制系統(tǒng)反饋控制系統(tǒng)例例2：試?yán)L制圖：試?yán)L制圖4-1所示負(fù)反所示負(fù)反饋控制系統(tǒng)的饋控制系統(tǒng)的K變化時閉環(huán)變化時閉環(huán)根軌跡略圖，設(shè)其開環(huán)傳遞根軌跡略圖，設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)為：函數(shù)為：（）（）)2s)(1s( sK)s(H)s(G+ + += =47 根據(jù)根據(jù)規(guī)則規(guī)則3 3，根軌跡有，根軌跡有3 3根漸近線，它們與實(shí)軸根漸近線，它們與實(shí)

19、軸的夾角是：的夾角是： 0201000300,180,602 , 1 , 0,3180) 12(kkk所有漸近線交于實(shí)軸上的一點(diǎn)，其坐標(biāo)為：所有漸近線交于實(shí)軸上的一點(diǎn)，其坐標(biāo)為： 1321048 根據(jù)根據(jù)規(guī)則規(guī)則4，實(shí)軸上的，實(shí)軸上的-1,0段是根軌跡的一部分，段是根軌跡的一部分，實(shí)軸上的實(shí)軸上的(-,-2段也是根軌跡的一部分，實(shí)際上后者段也是根軌跡的一部分，實(shí)際上后者就是從開環(huán)極點(diǎn)就是從開環(huán)極點(diǎn)p3出發(fā)趨向無窮遠(yuǎn)的一支，與漸近線出發(fā)趨向無窮遠(yuǎn)的一支，與漸近線的分析一致，這一支已經(jīng)是精確圖形了。的分析一致，這一支已經(jīng)是精確圖形了。 根據(jù)根據(jù)規(guī)則規(guī)則7，可以確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，我，可以確定根

20、軌跡與虛軸的交點(diǎn)，我們先用勞斯判據(jù)，們先用勞斯判據(jù)， 根據(jù)特征方程系數(shù)列出勞斯陣列根據(jù)特征方程系數(shù)列出勞斯陣列為：為： KsKsKss012336321 使第一列中使第一列中s1項(xiàng)等于零，可項(xiàng)等于零，可以求得以求得K=6。通過求解由。通過求解由s2行得行得出的輔助方程出的輔助方程 ：063322sKs 可以求得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為可以求得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為 ，虛軸，虛軸上交點(diǎn)處的頻率為上交點(diǎn)處的頻率為 。 2js . 249 另外一種確定根軌跡與虛軸交點(diǎn)的方法是令特另外一種確定根軌跡與虛軸交點(diǎn)的方法是令特征方程中的征方程中的s= =j得：得： 0)2()3(2)(3)(3223jKKjjj

21、令上式中的實(shí)部和虛部分別等于零，可以得令上式中的實(shí)部和虛部分別等于零，可以得到到=0,=0,K=0=0或或 。因此，根軌跡在。因此，根軌跡在 處與虛軸相交，并且交點(diǎn)處處與虛軸相交，并且交點(diǎn)處=0=0。實(shí)軸上。實(shí)軸上的根軌跡的根軌跡K= =6處也與虛軸相交。處也與虛軸相交。 6,2K250 根軌跡在實(shí)軸上的根軌跡在實(shí)軸上的-1-1，00段一定有一個分離段一定有一個分離點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)，根據(jù)規(guī)則規(guī)則5 5 021111整理得整理得 02632解得解得=- -0.423, , =-=-1.577 ，顯然只有，顯然只有- -0.423在根軌在根軌跡上，所以分離點(diǎn)為跡上，所以分離點(diǎn)為- -0.423。 根軌跡

22、從根軌跡從p1, ,p2, ,p3 3出發(fā)的出射角已經(jīng)很明確，為出發(fā)的出射角已經(jīng)很明確，為了驗(yàn)證了驗(yàn)證規(guī)則規(guī)則6 6，我們還是計(jì)算一下：，我們還是計(jì)算一下： 00003002001180180180180, 01800180,18000180ppp與實(shí)際完全一致。與實(shí)際完全一致。 51圖圖4-5 4-5 繪制根軌跡圖示例繪制根軌跡圖示例 52例例 若已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為： 試?yán)L制系統(tǒng)的概略根軌跡。解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：) 15(2 . 0) 1(sssK)(sR)(sC)2 . 0() 1()2 . 0() 1() 15(2 . 0) 1()(*sssKsssKsssKsGK53KK *11z

23、2 . 0021pp，1 2 . 00，開環(huán)零點(diǎn)：開環(huán)極點(diǎn)：實(shí)軸上的根軌跡：漸近線：1條，負(fù)實(shí)軸方向分離點(diǎn)：8 . 012 . 01111dddd分離角：2/3 , 2/畫出根軌跡如圖所示，在復(fù)平面上，有一部分根軌跡為一圓，其圓心為（-1，j0) ，半徑為8 . 0R54-0.2-1sj-21z1p2p55 例例2 單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解：由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)得：) 121)(131() 15 . 0()(2sssssKsG)22)(3()2()22)(3()2(3)(2*2sssssKsssssKsGKK3*56 開環(huán)零點(diǎn)： ， 開環(huán)極點(diǎn)：將它們標(biāo)注于復(fù)平面

24、上；實(shí)軸上的根軌跡：漸近線： 條21zjppp1304, 321，320，314114)2()1130(11jjmnzpmjjniia3) 12() 12(kmnka57 時， 時， 時，起始角：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：0k603/a1k2k180a603/5a)(180431113343jjppjpzppjj6 .26)906 .26135(4518058系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為：將 代入上式，整理可得：聯(lián)立求解得：02)6(85*234KsKsssjs 0)6(5)28(*3*24KjK0)6(5028*3*24KK00*LK66. 12*LK59 畫出概略根軌跡如圖所示：-1sj-21z1p2

25、p-33p4pa604.5 利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能 控制系統(tǒng)的根軌跡繪制完畢后，當(dāng)參數(shù)值控制系統(tǒng)的根軌跡繪制完畢后，當(dāng)參數(shù)值k確定確定之后，即可確定閉環(huán)傳遞函數(shù)，進(jìn)而分析系統(tǒng)的控之后，即可確定閉環(huán)傳遞函數(shù)，進(jìn)而分析系統(tǒng)的控制性能。下面以例題進(jìn)行說明。制性能。下面以例題進(jìn)行說明?！纠纠?】：已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為】：已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試應(yīng)用根軌跡法分析開環(huán)放大倍數(shù)試應(yīng)用根軌跡法分析開環(huán)放大倍數(shù)K對系統(tǒng)性能的影對系統(tǒng)性能的影響，并計(jì)算響，并計(jì)算K5時，系統(tǒng)的動態(tài)指標(biāo)。時，系統(tǒng)的動態(tài)指標(biāo)。)15s. 0( sK)s(G )2s( sk)2s(

26、s2K)15s. 0( sK)s(G 解：解：將開環(huán)傳遞函數(shù)將開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)化為根軌跡法的常用形式，即化為根軌跡法的常用形式，即（式中（式中 k=2K）61該系統(tǒng)的根軌跡圖如圖所示。該系統(tǒng)的根軌跡圖如圖所示。 按根軌跡圖分析，按根軌跡圖分析，k為任意值為任意值時，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。時，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。當(dāng)當(dāng)0k1時，系統(tǒng)具有兩個不相等時，系統(tǒng)具有兩個不相等的負(fù)實(shí)根。的負(fù)實(shí)根。當(dāng)當(dāng)k=1時，系統(tǒng)具有兩個相等的負(fù)時，系統(tǒng)具有兩個相等的負(fù)實(shí)根，這時系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)是非振實(shí)根，這時系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)是非振蕩的。蕩的。當(dāng)當(dāng)1k時，系統(tǒng)具有一對共軛復(fù)時，系統(tǒng)具有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，則系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)是振蕩數(shù)極點(diǎn)，

27、則系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)是振蕩的。的。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：k)2s( sk)s(G1)s(G)s(R)s(C)s( 62解得閉環(huán)系統(tǒng)的特征根：解得閉環(huán)系統(tǒng)的特征根：0s2sk2ss)s(G1)s(D2nn22 閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：2nn1,21jk11s 當(dāng)當(dāng)K=5(k=10)時，代入上式解得系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為時，代入上式解得系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為j311jk11s2nn1,2 由此得由此得101,10n 63于是得系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)：于是得系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)：超調(diào)量：超調(diào)量：上升時間：上升時間：峰值時間：峰值時間：過渡過程時間：過渡過程時間：35%ee05. 1-1

28、p2 63s. 01arccost2ndr 05s. 11t2ndp 5%)3s(3tds 64控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是閉環(huán)極點(diǎn)均在控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是閉環(huán)極點(diǎn)均在s平面的平面的左半平面，左半平面，而根軌跡是所有閉環(huán)極點(diǎn)的集合，因此，而根軌跡是所有閉環(huán)極點(diǎn)的集合，因此，只要控制系統(tǒng)的根軌跡位于只要控制系統(tǒng)的根軌跡位于s平面的左半平面平面的左半平面,控制系控制系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則就是不穩(wěn)定的。當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)變統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則就是不穩(wěn)定的。當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)變化引起系統(tǒng)的根軌跡從左半平面變化到右半平面時，化引起系統(tǒng)的根軌跡從左半平面變化到右半平面時，系統(tǒng)從穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定，根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的參數(shù)系統(tǒng)

29、從穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定，根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的參數(shù)值就是系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界值。因此，根據(jù)根軌跡與虛軸值就是系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界值。因此，根據(jù)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)可以確定保證系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍。根軌的交點(diǎn)可以確定保證系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍。根軌跡與虛軸之間的相對位置，反映了系統(tǒng)穩(wěn)定程度的大跡與虛軸之間的相對位置，反映了系統(tǒng)穩(wěn)定程度的大小，根軌跡越是遠(yuǎn)離虛軸，系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越大，反小，根軌跡越是遠(yuǎn)離虛軸，系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越大，反之則越小。之則越小。 1.基于根軌跡的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析基于根軌跡的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析652.基于根軌跡的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能分析基于根軌跡的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能分析 對于典型輸入信號，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與開環(huán)對于典型輸入信號，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與開環(huán)放大倍數(shù)放大倍數(shù)K和系統(tǒng)的型別和系統(tǒng)的型別v有關(guān)。在根軌跡圖上，有關(guān)。在根軌跡圖上，位于原點(diǎn)處的根軌跡起點(diǎn)數(shù)就對應(yīng)于系統(tǒng)的型位于原點(diǎn)處的根軌跡起點(diǎn)數(shù)就對應(yīng)于系統(tǒng)的型別別v,而根軌跡增益與開環(huán)增益僅僅相差一個比而根軌跡增益與開環(huán)增益僅僅相差一個比例常數(shù)。因此，利用靜態(tài)誤差系數(shù)法可得到典例常數(shù)。因此，利用靜態(tài)誤差系數(shù)法可得到典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。663.基于根軌跡的系統(tǒng)動態(tài)性能分析基于根軌跡的系統(tǒng)動態(tài)性能分析對單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn)就是開環(huán)零點(diǎn)，所以閉對單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn)就是