經(jīng)典幾何中線段和差最值

1、幾何中線段和，差最值問題一、解決幾何最值問題的通常思路兩點(diǎn)之間線段最短；直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線段中，垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（重合時(shí)取到最值）是解決幾何最值問題的理論依據(jù)，根據(jù)不同特征轉(zhuǎn)化是解決最值問題的關(guān)鍵. 通 過轉(zhuǎn)化減少變量，向三個(gè)定理靠攏進(jìn)而解決問題；直接調(diào)用基本模型也是解決幾 何最值問題的高效手段.幾何最值問題中的基本模型舉例軸 對(duì) 稱 最 值圖形原理兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短三角形三邊關(guān)系特征A, B為定點(diǎn)，l為定 直線，P為直線l上 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 AP+BP的最小值A(chǔ), B為定點(diǎn)，l為定直 線，MN為直線l上的一 條動(dòng)線段，求

2、AM+BN的 最小值A(chǔ), B為定點(diǎn)，l為定 直線，P為直線l上的 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|AP-Bp 的最大值轉(zhuǎn)化作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān) 于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)先平移AM或BN使M N 重合，然后作其中一個(gè) 定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì) 稱點(diǎn)作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于 定直線l的對(duì)稱點(diǎn)折 疊 最 值圖形原理兩點(diǎn)之間線段最夕豆特征在4ABC中,M N兩點(diǎn)分別是邊AB, BC上的動(dòng)點(diǎn)，將 BMN& MN® 折，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B',連接AB',求AB'的最小值.轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成求AB'+B'N+NC的最小值一般處理方法:常用定理：兩點(diǎn)之間，線段最短（已知兩個(gè)定點(diǎn)時(shí)）垂線段最短（已知一

3、個(gè)定點(diǎn)、一條定直線時(shí)）三角形三邊關(guān)系（已知兩邊長固定或其和、差固定時(shí)）PA+PB最小，需轉(zhuǎn)化，使點(diǎn)在線異側(cè)|PAPB最大，需轉(zhuǎn)化，使點(diǎn)在線同側(cè)二、典型題型1 .如圖：點(diǎn)P是/ AO時(shí)一定點(diǎn)，點(diǎn)M N分別在邊OA OB上運(yùn)動(dòng)，若/ AO=45° , OP=3應(yīng),則 PMN勺周長的最小值為6.2 .如圖，當(dāng)四邊形PABN勺周長最小時(shí)，a=_-一43 .如圖，A、B兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)，點(diǎn)A到直線的距離AM=4,點(diǎn)B到直線的距離 BN=1,且Ml=4, P為直線上的動(dòng)點(diǎn),| PA- PB的最大值為 5.4 .動(dòng)手操作：在矩形紙片 ABCDfr, AB=3, AD=5.如圖所示，折疊紙片，使點(diǎn)

4、A 落在BC邊上的A處，折痕為PQ當(dāng)點(diǎn)A'在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng).若限定點(diǎn)P、Q分別在AR AD邊上移動(dòng)，則點(diǎn)A在BC邊上可移 動(dòng)的最大距離為二.5 .如圖，直角梯形紙片ABCD ADLAB, AB=8, AD=CD=4,點(diǎn)E、F分別在線段AR AD上，將4AEF沿EF翻折，點(diǎn)A的落點(diǎn)記為P.當(dāng)P落在直角梯形ABC西部時(shí)， PD的最小值等于 475-8 .6 .如圖，/ MON90。，夕!形ABCD勺頂點(diǎn)A、B分別在邊OM ON上，當(dāng)B在邊 ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在OM±運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD勺形狀保持不變，其中AB=2, BC=1, 運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的

5、最大距離為晚1.7 .如圖，線段AB的長為4, C為AB上一動(dòng)點(diǎn)，分別以AG BC為斜邊在AB的同 側(cè)作等腰直角 AC麗等腰直角 BCE那么DE長的最小值是 2.8 .如圖，菱形 ABCW, AB=2, /A=120。，點(diǎn) P, Q, K分別為線段 BQ CQ BD 上的任意一點(diǎn)，則PKfQK的最小值為99 .如圖所示，正方形ABCD勺邊長為1,點(diǎn)P為邊BC上的任意一點(diǎn)（可與B、C重 合），分別過B C D作射線AP的垂線，垂足分別為B'、C'、D',則 BB' +CC +DD的取值范圍是衣 BB +CC +DD 2.10 .如圖，菱形ABCDK ZA=60&#

6、176; , AB=3, OA> OB的半徑分別為2和1, P、 E、F分別是邊CD。A和。B上的動(dòng)點(diǎn)，則P&PF的最/卜俏是3.11 .點(diǎn)A、B均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.若P是x軸上使得PA PB|的值最大的點(diǎn)，Q是y軸上使得QAQB的值最小的點(diǎn)，則OP OQ =3.第11題圖第12題圖12 .如圖，在ABC, AB=6, AC=8, BC=10, P 為邊 BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE±AB于 E, PF±AC于F, M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為.13 .如圖，點(diǎn)P在第一象限， ABP是邊長為2的等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)A在

7、x軸的 正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B隨之在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P到原點(diǎn)的 最大距離是_73 1.若將 ABP中邊PA的長度改為2yp2 ,另兩邊長度不 變，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的最大距離變?yōu)?痣1.14 .動(dòng)手操作：在矩形紙片 ABCM, AB=3,A，5.如圖所示，折疊紙片，使點(diǎn) A 落在BC邊上的A處，折痕為PQ當(dāng)點(diǎn)A'在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q 也隨之移動(dòng).若限定點(diǎn)P、Q分別在AR AD邊上移動(dòng)，則點(diǎn)A在BC邊上可移 動(dòng)的最大距離為二.解答題：1 .如圖，直角梯形紙片 ABCD ADLAB, AB=8, AD=CD=4,點(diǎn)E、F分別在線段 AR AD上，將 AEF沿EF翻折

8、，點(diǎn)A的落點(diǎn)記為P.(1)當(dāng)P落在線段CD上時(shí)，PD的取值范圍為8-473 PD 4_;(2)當(dāng)P落在直角梯形ABC西部時(shí)，PD的最小值等于多少？ 4v5-82 .如圖，四邊形ABCD1正方形， AB皿等邊三角形，M為對(duì)角線BD (不含B 點(diǎn))上任意一點(diǎn)，將B幡點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN連接EN AM CM (1)當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，A吠CM勺值最??；中點(diǎn)(2)當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AqBW CM勺值最小，并說明理由.EC與BD的交點(diǎn)為M連接MN則三角形BM時(shí)等邊三角形，BMC BMA BNE所以MC=MA=EN,即AqBMCM=EN+MN+M®BWCM勺值最小時(shí)，E,N,M,C四

9、點(diǎn)在同一直線上3 .如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A (2,-3), B (4,-1).(1)若P (p, 0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)p= 7 時(shí)，4PAB的周 - 2長最短；(2)若C (a、0)、D (a+3、0)是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、則當(dāng)a= -4時(shí)，四邊形ABDC勺周長最短；(3)設(shè)M, N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請問：是否存在這樣的點(diǎn)M (m, 0), N (0, n),使四邊形ABMN勺周長最短？若存在，請寫出 m和n的值；若不存 在，請說明理由.55m=- ,n=-23課堂作業(yè)：幾何中的最值問題1 .如圖，在梯形 ABCg, AB/ CD /BA®

10、90° , AB=6,對(duì)角線 AC平分/ BAD 點(diǎn)E在AB上，且AE=2 (AE< AD，點(diǎn)P是AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+ PB的最小值 是 2V1o.第1題圖第2題圖第3題圖第4題圖第5題圖2 .在邊長為2cm的正方形ABCDK點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上 一動(dòng)點(diǎn)，連接PR PQ則PBC0長的最小值為 非1 cm (結(jié)果不取近似值).3 .如圖，一副三角板拼在一起，。為AD的中點(diǎn)，AB=a.將ABO BO寸折于 A' BQ點(diǎn)M為BC上一動(dòng)點(diǎn)，則A M的最小值為/ , 62、(-)a444 .如圖，在銳角 ABC中，AB 4夜，ZBA(=45° , /

11、 BAC勺平分線交BC于 點(diǎn)D,點(diǎn)M N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值為 4:5 .在 RtzXAC-, / AC390° , AC=6, BC=8, P、Q兩點(diǎn)分別是邊 AG BC上的 動(dòng)點(diǎn)，將PCQ& PQ翻折，C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C',連接AC',則AC的最小值 是 _2:6 .如圖，在4ABC中，ZACB：90o , AC=4, BC=2,點(diǎn)A C分別在x軸、y軸上, 當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是2、2 2 .第6題圖7 . 一次函數(shù)yi=kx-2與反比例函數(shù)y2=m (n<0)的圖象交于A, B兩點(diǎn)，其中 x點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-6, 2)2(1)求 m, k 的值；m=-12,k=-3(2)點(diǎn)P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)|PAPB的值最大？并求出最大值.3 . 58.已知點(diǎn)A (3, 4),點(diǎn)