利用信息技術(shù)探究行星運(yùn)動的周期規(guī)律

1、利用信息技術(shù)探究行星運(yùn)動的周期規(guī)律北京教科院基教研中心 邵澤義內(nèi)容簡介：本文提供了利用信息技術(shù)開展物理探究學(xué)習(xí)的一個案例，通過查閱資料獲得太陽系九大行星的觀測數(shù)據(jù)，利用Excel和MATLAB工具處理這些數(shù)據(jù)，得到行星周期與軌道半徑關(guān)系的表達(dá)式，即開普勒第三定律。問題引入：高中物理教材在組織“萬有引力定律”的教學(xué)內(nèi)容時，直接引用了開普勒第三定律。開普勒是在天文學(xué)家第谷長期天文觀測的基礎(chǔ)上，經(jīng)過十余年時間總結(jié)得出這一定律的。歷史不能再現(xiàn)，但我們能不能利用計算機(jī)強(qiáng)大的數(shù)值計算功能，在比較短的時間內(nèi)再發(fā)現(xiàn)這一定律呢？研究方案：查閱比較權(quán)威的大百科全書，獲得太陽系九大行星的周期和軌道半徑的觀測數(shù)據(jù)，然

2、后利用Excel的計算功能、圖象功能和函數(shù)擬合功能，歸納得到行星周期與軌道半徑的關(guān)系表達(dá)式，即普勒第三定律。研究過程1 查閱資料：獲得九大行星的天文觀測數(shù)據(jù)如表1所示。表1 九大行星數(shù)據(jù)*行星半長軸r周期T水星57.988金星108.2224.7地球149.6365.256火星227.9687木星778.34331.82土星142710759.424天王星2869.630686.5海王星4496.660189.984冥王星590090473.232*單位：R：×106Km，T：day2 利用Excel嘗試T r是否是正比關(guān)系根據(jù)表1直接觀察Tr 的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)隨著r的增加T也增加。兩者

3、之間是否有一個簡單的關(guān)系呢？我們期望Tr 之間存在最簡單的關(guān)系，即有形如T=Kr的表達(dá)式，其中K是常量。直接觀察證明不了是否有這種關(guān)系，可利用EXCEL軟件處理。處理方法是計算與描點繪圖與相結(jié)合，處理結(jié)果如表2和圖1表示。表2 T與 r比值表行星半長軸周期T / r水星57.9881.519861831金星108.2224.72.076709797地球149.6365.2562.441550802火星227.96873.014480035木星778.34331.8165.565740717土星142710759.4247.53989068天王星2869.630686.510.69365068海

4、王星4496.660189.98413.38566561冥王星590090473.23215.3344461觀察Excel的計算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)T與 r的比值是不是常量。 圖1 行星周期與距離關(guān)系圖1也表明 T r不是正比關(guān)系。以上處理表明，T與 r的關(guān)系不能用T=Kr來描述。3 利用MATLAB嘗試T=Kra的關(guān)系較之正比例再復(fù)雜一些的關(guān)系是T = Kra，其中K、a是常量，假設(shè)存在這種關(guān)系。由于這是非線性關(guān)系，為便于處理，可先用對數(shù)把它變成下式：logT = a log r + log K顯然log T 和log r 是線性關(guān)系。從原始觀測數(shù)據(jù)出發(fā)，利用MATLAB描繪logT與logr的關(guān)系圖

5、象，如果兩者確實呈線性關(guān)系，就證明了T = Kra 關(guān)系成立假設(shè)。描點語句如下，所繪關(guān)系圖象如圖2所示。%kaipule law researchclearr=5.79 10.8 14.9 22.8 77.8 143 287 450 590*10;%1e6kmt=88 225 365 687 4332 10759 30686 60190 90473;%dayt2=log10(t);r2=log10(r);figure(3)plot(r2,t2,'o-')圖2 log(T)與log(r)關(guān)系圖描點結(jié)果表明log(T)與log(r)有良好的線性關(guān)系，這就證明了確實有關(guān)系T=Kra存

6、在。4 利用MATLAB確定系數(shù)K和a前面用描點的方法證明了周期與距離存在關(guān)系T=Kra，如果確定了系數(shù)K和a，那么我們就“發(fā)現(xiàn)”了行星周期定律。利用MATLAB軟件，用一次函數(shù)去擬和觀測數(shù)據(jù)，就可以得到K和a，擬和語句如下%kaipule law researchclearr=5.79 10.8 14.9 22.8 77.8 143 287 450 590*10;%1e6kmt=88 225 365 687 4332 10759 30686 60190 90473;%dayt2=log10(t);r2=log10(r);figure(3)plot(r2,t2,'o-')gri

7、d onm=polyfit(r2,t2,1)a=m(1)b=m(2);k=10b運(yùn)行結(jié)果為 a = 1.4991 k =0.2009 可以近似取 a =1.5 k =0.2，于是有：T=0.2r1.5 或 T2=0.04r3這就是我們“發(fā)現(xiàn)”的普勒第三定律：行星饒?zhí)栠\(yùn)動周期T的平方與橢圓軌道的半長軸r的立方成正比。結(jié)果評價采用兩種方法比較驗證，一是用EXCEL處理觀測數(shù)據(jù)，如表4，觀察各行星是否T2=0.04r3的關(guān)系；二是利用歸納得到的關(guān)系式T2=0.04r3，給出r值，計算T值，觀察與實際觀測值的離散程度。表3 T2/r3 比值表行星半長軸周期r3T2T2/r3水星57.98819410

8、4.53977440.0399金星108.2224.71266723.36850490.090.0399地球149.6365.2563348071.936133411.94550.0398火星227.968711836763.644719690.0399木星778.34331.816471455917.718764629.860.0398土星142710759.4242905841483115765204.80.0398天王星2869.630686.523630020098941661282.30.0399海王星4496.660189.9849091860602136228341740.039

9、8冥王星590090473.2322.05379E+1181854057090.0399顯然，行星饒?zhí)栠\(yùn)動周期T的平方與橢圓軌道的半長軸r的立方成正比，T2/r3=K，K于0.04的近似程度十分好。這證明T2=0.04r3的關(guān)系是正確的。利用MATLAB計算的語句和結(jié)果如下；%kaipule law researchclearr=5.79 10.8 14.9 22.8 77.8 143 287 450 590*10;%1e6kmT=0.2*r.1.5運(yùn)行結(jié)果為：88 224 364 689 4340 10815 30751 60374 90638與觀測數(shù)據(jù)比較：88 225 365 687

10、4332 10759 30686 60190 90473可以進(jìn)一步用EXCEL處理如表5表4 計算值與觀測數(shù)據(jù)的對比觀測值88225365687433210759306866019090473計算值88224364689434010815307516037490683差值011-2-8-56-65-184-210相對誤差00.440.27-0.29-0.18-0.52-0.21-0.31-0.23有表5可見，計算值與觀測數(shù)據(jù)的近似程度相當(dāng)好。方法總結(jié)對本課題的研究思路、過程和結(jié)果總結(jié)如下：1 問題：行星饒?zhí)栠\(yùn)動的周期T與其軌道的半長軸r有什么普適關(guān)系2 研究方案：利用天文觀測數(shù)據(jù)，借助計算機(jī)工具，歸納得出規(guī)律3 查閱天文資料，獲得相關(guān)的觀測數(shù)據(jù)4 假設(shè)有關(guān)系T=Kr，被否定5 假設(shè)有關(guān)系T=