離散數(shù)據(jù)的曲線擬合ppt課件

1、第二章 插值與擬合2.5 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合離散數(shù)據(jù)的曲線擬合 總結(jié)總結(jié)2.5.3 正交多項式擬合正交多項式擬合2.5.2 多項式的擬合多項式的擬合2.5.1 最小二乘擬合最小二乘擬合第二章 插值與擬合2.5 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合離散數(shù)據(jù)的曲線擬合學(xué)習(xí)目的：學(xué)習(xí)目的：了解曲線擬合最小二乘法的意義。掌握線了解曲線擬合最小二乘法的意義。掌握線性擬合和二次多項式擬合的方法。性擬合和二次多項式擬合的方法。第二章 插值與擬合2.5 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2.5.1 最小二乘擬合最小二乘擬合對于知的對于知的m+1的離散數(shù)據(jù)的離散數(shù)據(jù) 和權(quán)數(shù)和權(quán)數(shù) ，記，記 在延續(xù)函數(shù)空間在延續(xù)函數(shù)空間Ca,b

2、中選定中選定n+1個線性無關(guān)的基函數(shù)個線性無關(guān)的基函數(shù) ，并記由它們生成的子空間并記由它們生成的子空間 。假設(shè)。假設(shè)存在存在miiiyx0,mii0imiimixbxa00max,minmkkx0)()(),(),(10 xxxspann使得使得,)(0* nkkxa )(*x (2.5.1) niiixniiixyxy02)(02*)(min)( 那么稱那么稱 為離散數(shù)據(jù)為離散數(shù)據(jù) 在子空間中帶權(quán)在子空間中帶權(quán) 的最小二乘擬合。的最小二乘擬合。)(*x miiiyx0, mii0 函數(shù)函數(shù) 在離散點處的值為在離散點處的值為)(x ., 1 ,0, )()(0mixaxnkkki 第二章 插值

3、與擬合因此，因此，2.5.1右邊的和式是參數(shù)右邊的和式是參數(shù) 的函數(shù)，記作的函數(shù)，記作naaa,10. )(),(20010 minkikkiinxayaaaI 2.5.2 這樣，求極小值問題這樣，求極小值問題2.5.1的解的解 ,就是求多元二次函數(shù)就是求多元二次函數(shù)的極小點的極小點 使得使得)(*x ),(10naaaI),(*1*0naaa).,(min),(10,*1*010nRaaanaaaIaaaIn 由求多元函數(shù)極值的必要條件有由求多元函數(shù)極值的必要條件有.,1 ,0,0)( )(200njxxayaIijminkikkiij 按內(nèi)積的定義，上式可寫為按內(nèi)積的定義，上式可寫為.,

4、1 ,0),(),(0njyajnkjkk 2.5.3第二章 插值與擬合可以證明，這樣得到的可以證明，這樣得到的 ，對于任何，對于任何 ，都有，都有)(*x )(x,)()(0202* niiiniiixyxy 這方程稱為法方程這方程稱為法方程(或正規(guī)方程或正規(guī)方程)。這里，。這里， .,1 ,0,)(niyxyii 由于由于 線性無關(guān)，故線性無關(guān)，故2.5.3的系數(shù)矩陣非奇特，方程的系數(shù)矩陣非奇特，方程組組2.5.3存在獨一的解存在獨一的解 從而得從而得,00n , 1 , 0,*nkaakk .)()(0* xaxknkk 故故 是所求的最小二乘擬合。記是所求的最小二乘擬合。記 ，顯然，平

5、方誤差，顯然，平方誤差 或或 均方誤差均方誤差 越小，擬合的效果越好。平方誤差有與越小，擬合的效果越好。平方誤差有與2.4.15一樣一樣方式的表達(dá)式。方式的表達(dá)式。)(*x )(*xy 22 2 第二章 插值與擬合2.5.2 多項式的擬合多項式的擬合 例例 2.13 用多項式擬合表用多項式擬合表2-7中的離散數(shù)據(jù)。中的離散數(shù)據(jù)。 yi 0.10 0.35 0.81 1.09 1.96 xi 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 i 0 1 2 3 4表表2-7即在多項是空間即在多項是空間 中作曲線擬合，稱為多項式擬合。中作曲線擬合，稱為多項式擬合。這是一種特定的線性模型，因此可用上

6、面討論的方法求解。子空間這是一種特定的線性模型，因此可用上面討論的方法求解。子空間 得基得基函數(shù)為函數(shù)為 前面討論了子空間前面討論了子空間 中的最小二乘擬合。這是一種線性擬合模型。在離中的最小二乘擬合。這是一種線性擬合模型。在離散說據(jù)散說據(jù) 的最小二乘擬合中，最簡單、最常用的數(shù)學(xué)模型是多項式的最小二乘擬合中，最簡單、最常用的數(shù)學(xué)模型是多項式 miiiyx0, .)(10nnxaxaax , 1nxxspan n。kxxkk, 1 , 0,)( 第二章 插值與擬合解解 作數(shù)據(jù)點的圖形如圖作數(shù)據(jù)點的圖形如圖2-2，從圖形看出用二次多項式擬合比較適宜。這，從圖形看出用二次多項式擬合比較適宜。這時時n

7、=2，子空間，子空間 的基函數(shù)的基函數(shù) 。數(shù)據(jù)中沒有給。數(shù)據(jù)中沒有給出權(quán)數(shù)，無妨都取為出權(quán)數(shù)，無妨都取為1，即，即 。2210)(,)(, 1)(xxxxx 4 , 1 , 0, 1 ii o y 1.961 x*圖圖2-2按按2.5.3有有 7975. 227. 331. 43828. 15625. 1875. 15625. 1875. 15 . 2875. 15 . 25210aaa 解此方程組得解此方程組得 。從而，擬。從而，擬合多項式為合多項式為2114. 1,5726. 0,1214. 0*2*1*0 aaa,2114.15726.01214.0)(2*xxxx 第二章 插值與擬合其

8、平方誤差其平方誤差 。擬合曲線。擬合曲線 的圖形見圖的圖形見圖2-2。0337. 022 )(*x 在許多實踐問題中，變量之間的關(guān)系不一定能用多項式很好的擬合。如何找到更符合實踐情況的數(shù)據(jù)擬合，一方面要根據(jù)專業(yè)知識和閱歷來確定擬合曲線的方式，另一方面要根據(jù)數(shù)據(jù)點的圖形性狀及特點來選擇適當(dāng)?shù)那€擬合這些數(shù)據(jù)。 例例 2.14 知函數(shù)知函數(shù)y=f(x)的數(shù)據(jù)如表的數(shù)據(jù)如表2-8。試選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進展擬合。試選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進展擬合。yi 4.00 6.41 8.01 8.79 9.53 9.86 10.33 10.42 10.53 10.61xi 1 2 3 4 6 8 10 12 14 1

9、6 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 表表2-8第二章 插值與擬合 解 (1)察看數(shù)據(jù)點的圖形(見圖2-3),選擇二次多項式作為擬合模型。取一切權(quán)數(shù)為1，按2.5.3有.01.853059.75749.881404341039682610396826768267610210 aaa解得解得 ，從而擬合函數(shù)為，從而擬合函數(shù)為048320. 01436. 11490. 4*2*1*0 aaa，2*048320. 01436. 11490. 4)(xxx平方差平方差 的圖形見圖的圖形見圖2-3。有平方誤差和。有平方誤差和 的的圖形可見，擬合的效果不佳。因此，不宜直接選用多項式作擬合。圖形可

10、見，擬合的效果不佳。因此，不宜直接選用多項式作擬合。)(,9486. 3*22x )(*x y113o116 T*第二章 插值與擬合(2)從數(shù)據(jù)的圖形看，可以選用指數(shù)函數(shù)進展擬合。設(shè)從數(shù)據(jù)的圖形看，可以選用指數(shù)函數(shù)進展擬合。設(shè) ，其中其中 。這是一個非線性模型，。這是一個非線性模型， 不能直接用上面討論的方法求解。不能直接用上面討論的方法求解。對于普通的非線性最小二乘問題對于普通的非線性最小二乘問題.，用常規(guī)方法求解的難度較大。這里的非，用常規(guī)方法求解的難度較大。這里的非線性模型比較簡單，可以把它轉(zhuǎn)化成線性模型，然后用上面討論的方法求解。線性模型比較簡單，可以把它轉(zhuǎn)化成線性模型，然后用上面討論

11、的方法求解。0, 0 xex )(對說函數(shù)對說函數(shù) 的兩邊取之然對數(shù)，得的兩邊取之然對數(shù)，得 。假設(shè)令，那么有假設(shè)令，那么有z=A+t。這是一個線性。這是一個線性模型。將此題離散數(shù)據(jù)作相應(yīng)的轉(zhuǎn)換，見表模型。將此題離散數(shù)據(jù)作相應(yīng)的轉(zhuǎn)換，見表2-9。xex )(xxln)(ln ln),(ln,1 Axzxtti 1.0000 0.5000 0.33333 0.2500 0.1667 0.1250 0.1000 0.0833 0.0714 0.0625 zi 1.3863 1.8575 2.0807 2.1736 2.2544 2.2885 2.3351 2.3437 2.3542 2.3681

12、i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 表表2-9第二章 插值與擬合對表對表2-9種的數(shù)據(jù)，作線性擬合，這時種的數(shù)據(jù)，作線性擬合，這時n=1，子空間，子空間的基函數(shù)為的基函數(shù)為 。易得發(fā)方程。易得發(fā)方程, 1)(0 xxx )(1.9586. 44362.2149302. 16923. 26923. 210A解得解得A=2.4284,=-1.0579,從而從而 。于是，所求的擬合函數(shù)為。于是，所求的擬合函數(shù)為3411.11Ae,3411.11)(0579.1*xex平方誤差為平方誤差為 。它比如法。它比如法1的的 小得多，擬小得多，擬合效果較好。合效果較好。1109.022 9486.32

13、2 第二章 插值與擬合2.5.3 正交多項式擬合正交多項式擬合 普通地，用最小二乘法得到的方程組2.5.3，其系數(shù)矩陣是病態(tài)的。適用的曲線擬合方法是采用正交函數(shù)作的基。 假設(shè)點集 中至少有n+1個互異，那么可用三項遞推公式(2.4.4)和(2.4.5)求出正交多項式序列 ,它們可以作為子空間=span 的一組基。求出多項式序列 后，可以建立擬合模型 miix0 nkkx0nxx, 1 nkkx0 nkkkxax0 此時，對應(yīng)的法方程為此時，對應(yīng)的法方程為 有有由于按法方程由于按法方程。它的解為它的解為。aynkyankyajnkjkkjkkkkkkkk, 3 . 5 . 2 , 1 , 0,

14、1 , 0, 0 第二章 插值與擬合 按上述求離散數(shù)據(jù)按上述求離散數(shù)據(jù) 的擬合多項式的擬合多項式 的方法，稱為正交多項的方法，稱為正交多項式擬合。根據(jù)獨一性，所得結(jié)果與用前面的方法所得的結(jié)果一樣，但數(shù)值計算式擬合。根據(jù)獨一性，所得結(jié)果與用前面的方法所得的結(jié)果一樣，但數(shù)值計算比前者穩(wěn)定。比前者穩(wěn)定。miiiyx0, x 。因此平方誤差為。因此平方誤差為即即njyj, 1 , 0, 0, 。2222022202222, , ,-y yayyayyyyynkkkknkkk解解 知離散數(shù)據(jù)為知離散數(shù)據(jù)為 .96. 1 ,09. 1 ,81. 0 ,35. 0 , 1 . 0,1 ,75. 0 , 5 . 0 ,25. 0 , 00440iiiiyx例例 2.15 用正交化方法求例用正交化方法求例2.13中的離散數(shù)據(jù)的二次多項式擬合。中的離散數(shù)據(jù)的二次多項式擬合。第二章 插值與擬合最后得擬合多項式最后得擬合多項式。211428571.1a 784.1a ,862.0a 210 ,06625. 0, ,115.1, ,31.4y, 210 yy 進而有進而有 對權(quán)數(shù)對權(quán)數(shù) ,在例在例2