算法案例說課稿教案教學(xué)設(shè)計

1、算法案例三維目標(biāo)1 .知識與技能(1)理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中蘊含的數(shù)學(xué)原理，并能根據(jù)這些原理進(jìn)行算法分析.(2)基本能根據(jù)算法語句與程序框圖的知識設(shè)訃完整的程序框圖并寫出算法程序.(3) 了解秦九韶算法的計算過程，并理解利用秦九韶算法可以減少計算次數(shù)提高計算效率的實 質(zhì).2 .過程與方法在輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的學(xué)習(xí)過程中對比我們常見的約分求公因式的方 法，比較它們在算法上的區(qū)別，并從程序的學(xué)習(xí)中體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，領(lǐng)會數(shù)學(xué)算法計算機(jī)處理的結(jié) 合方式，初步掌握把數(shù)學(xué)算法轉(zhuǎn)化成計算機(jī)語言的一般步驟.3 2)模仿秦九韶算法，體會古人計算構(gòu)思的巧妙.4 3)通過對秦九韶算法的學(xué)習(xí)，了解

2、中國古代數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，充分認(rèn)識到我國文化歷史 的悠久.通過對排序法的學(xué)習(xí)，領(lǐng)會數(shù)學(xué)計算與計算機(jī)訃算的區(qū)別，充分認(rèn)識信息技術(shù)對數(shù)學(xué)的促 進(jìn).5 .情感、態(tài)度與價值觀(1)通過閱讀中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例，體會中國古代數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn).(2)在學(xué)習(xí)古代數(shù)學(xué)家解決數(shù)學(xué)問題的方法的過程中培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，在利用算法解 決數(shù)學(xué)問題的過程中培養(yǎng)理性的精神和動手實踐的能力.重點難點重點：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的方法及秦九韶算法的特點.難點：把輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的方法轉(zhuǎn)換成程序框圖與程序語言.教學(xué)建議在學(xué)生學(xué)習(xí)了算法的初步知識，理解了表示算法的算法步驟、程序框圖和程序三

3、種不同方式以 后，再結(jié)合典型算法案例，讓學(xué)生經(jīng)歷設(shè)計算法解決問題的全過程，體驗算法在解決問題中的重要 作用，體會算法的基本思想，提高邏借思維能力，發(fā)展有條理地思考與數(shù)學(xué)表達(dá)能力.建議充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用和教師的主導(dǎo)作用，采用啟發(fā)式，并遵循循序漸進(jìn)的教學(xué)原則. 這有利于學(xué)生掌握從現(xiàn)象到本質(zhì)，從已知到未知逐步形成概念的學(xué)習(xí)方法，有利于發(fā)展學(xué)生抽象思 維能力和邏輯推理能力.以問題為載體，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程和發(fā)展過程，從而突出教學(xué)重點，通過齊種教學(xué)媒 體(計算機(jī))調(diào)動學(xué)生參與課堂教學(xué)的主動性與積極性，增加課堂容量，有利于學(xué)生活動的充分展開.學(xué)生在課堂上要多觀察、討論、思考、分析、動手操作、自主

4、探索、合作學(xué)習(xí)多種形式相 結(jié)合，教師要引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層而認(rèn)識事物，突破教學(xué)難點.課標(biāo)解讀1通過案例，進(jìn)一步體會算法的思想.2理解輾轉(zhuǎn)相除法、更相減損術(shù)、秦九韶算法 的原理.（重點）3 二種算法的木翦及程序應(yīng)用.（難點）知識1輾轉(zhuǎn)相除法【問題導(dǎo)思】1. 36與60的最大公約數(shù)是多少？你是如何得到的？【提示】先用兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來即為最大公約數(shù)由于3 5 ,故36與60的最大公約數(shù)為2x2x3=12.2.觀察下列等式8 251=6 105x1+2 146,那么8 251與6 105這兩個數(shù)的公約數(shù)和6 105與2 146 的公約數(shù)

5、有什么關(guān)系?【提示】8 251的最大約數(shù)是2 146的約數(shù)，同樣6 105與2 146的公約數(shù)也是8 251的約數(shù)，故8 251與6 105的最大公約數(shù)也是6 105與2 146的最大公約數(shù).輾轉(zhuǎn)相除法的算法步驟第一步，給左兩個正整數(shù)加、“第二步，計算加除以H所得的余數(shù)F.第二步，加,a.第四步，若廠=9,則加1、”的最大公約數(shù)等于些否則返回第二步.知識2更相減損術(shù)【問題導(dǎo)思】設(shè)兩個正整數(shù)加（”?“），若百,則加與77的最大公約數(shù)和77與寵的最大公約數(shù)相 等，反復(fù)利用這個原理，可求得98與63的最大公約數(shù)是多少？【提示】98 63 = 35,63 35 = 2&35 - 28 = 7,

6、28 7=21,21 7= 14,14 一 7 = 7, A98 與63的最大公約數(shù)為7.更相減損術(shù)的算法步驟第一步，任意給泄兩個正整數(shù)，判斷它們是否都是偶數(shù).若是,用左約簡；若不是，執(zhí)行第3二步.第二步，以較大的數(shù)建去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以主數(shù)減塵 數(shù),繼續(xù) 這個操作，直到所得的差與減數(shù)顯為止，則這個數(shù)（等數(shù)）或這個數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所求的最 大公約數(shù).知識3秦九韶算法將金）改寫成如卜形式：7（*） = （.忒+夕卜小+% 2）x+.+ai）x+ao.具體算法如下：（1）訃算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項式的值，即二（2）由內(nèi)向外逐層計算多項式的值，即V2 = V x + a

7、”-2,V3 = V2x + m-3,Vw=vw-ix4-t7o-類型1用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)例1用輾轉(zhuǎn)相除法求228與1 995的最大公約數(shù).【思路探究】 使用輾轉(zhuǎn)相除法可根據(jù)+ 丁,反復(fù)相除直到口。為止.解：1 995=8x228+171,228= 1x171 +57,171=3x57,228與1 995的最大公約數(shù)為57.規(guī)律方法利用輾轉(zhuǎn)相除法求給左的兩個數(shù)的最大公約數(shù)，即利用帶余除法，用數(shù)對中較大的數(shù)除以較小 的數(shù)，若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的數(shù)對，再利用帶余除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡， 則這時的較小數(shù)就是原來兩個數(shù)的最大公約數(shù).變式訓(xùn)練用輾轉(zhuǎn)相除法求779和209的最大公

8、約數(shù).解：779=209x3 + 152,209= 152x1 +57,152 = 57x2 + 38,57=38x1+19,779與209的最大公約數(shù)為19.類型2用更相減損術(shù)求最大公約數(shù)例2用更相減損術(shù)求154,484的最大公約數(shù).【思路探究】解答本題可先將兩數(shù)約簡然后按更相減損術(shù)的步驟反復(fù)相減直至得出結(jié)果.解：154 2 = 77,484-2=242,下面用更相減損術(shù)，求77與242的最大公約數(shù).242 77= 165,165 77 = 88,8877 = 11,77-11=66,66-11 =55,5511 =44,44 11 = 33,33-11=22,22-11 = 11,故77與

9、242的最大公約數(shù)為11,M 154與484的最大公約數(shù)為11x2=22.規(guī)律方法更相減損術(shù)的步驟：1 .判斷兩數(shù)是否為偶數(shù)，若是，則都除以2直到所得的兩數(shù)不全為偶數(shù)：2 .用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，將差和較小的數(shù)構(gòu)成一對新數(shù)繼續(xù)用較大的數(shù)減去較小數(shù)，重 復(fù)執(zhí)行；3 .當(dāng)差和較小數(shù)相等時，結(jié)束執(zhí)行，此時差（或較小數(shù)）為不全為偶數(shù)的兩數(shù)的最大公約數(shù).注意：原先兩數(shù)的最大公約數(shù)是兩式相減所得公約數(shù)與約簡的因數(shù)的乘積.變式訓(xùn)練用更相減損術(shù)求576與246的最大公約數(shù).解：用2約簡576和246得288與123.288-123 = 165,165 123=42,123T2 = 81.81 42=39.4

10、2 39=3,393=36,363 = 33,33 3 = 30,30 3=27,273=24,243=21,21 3 = 18,183 = 15,15 3= 12,123=9,9 一 3=6.63=3.576與246的最大公約數(shù)為3x2=6.類型3秦九韶算法的應(yīng)用例3用秦九韶算法求多項式用）=706 +4中+3工一 M+x-5,當(dāng)x=3時的值.【思路探究】解答本題首先要將原多項式化成/(x)=(7x-6)x+0)x+4)x+3)x2)x+l)x5 的形式.苴次再弄清 vo, vi,力，刃分別是多少，最后進(jìn)行計算-解:7(x)=(7x-6)x+0)x+4)x+3)x-2)x+l)x-5,vo=

11、7, vi = 7x3 6=15； ¥2= 15x3 + 0=45：力=45x3+4= 139：內(nèi)= 139><3 + 3=420；J 5=420x3 2=1 25& w=l 258x3 + 1 = 3 775；刃=3 775x3 5=11 320.當(dāng)x=3時，多項式的值為11 320.規(guī)律方法秦九韶算法的步驟：變式訓(xùn)練用秦九韶算法il 算多項式Ax)=x6-1 2x5+60x4- 1 60x3+240x2- 192x+64,x=2 時的值.解：將改寫為AO=(x - 12)x+60)% 160)x+240)x-192)x+64>由內(nèi)向外依次計算一次多項式當(dāng)

12、x=2時的值，vo=l>vi = lx212 = 10, 二一 10x2 + 60=40, V3=40x2160= 80, w= - 80x2+240=80, v5=80x2-192=-32, P 6= 32x2+64=0.V(2)=0,即x=2時,原多項式的值為0.對秦九韶算法中的運算次數(shù)理解錯誤典例已知冗丫)=*$+2八+3”+4工+5： 1+6,用秦九韶算法求這個多項式當(dāng)x=2時的值時，做了幾次乘 法？幾次加法？【錯解】根據(jù)秦九韶算法，把多項式改寫成如下形式AX)=(X+2)X+3)A+4)A + 5)a- +6.按照從內(nèi)到外的順序，依次計算一次多項式當(dāng)x=2時的值：力=2+2=4

13、："=2力+3=11：力=2 巾+4=26； P 4=2勺 + 5=57： V5=2v4+6=120.顯然，在力中未做乘法，只做了 1次加法：在V2, V3, g, V5中各做了 1次加法7次乘法. 因此，共做了 4次乘法，5次加法.【錯因分析】在力中雖然、1=2+2=4"，而計算機(jī)還是做了 1次乘法>=2x1+2= 4”.因為用秦九 韶算法計算多項式加)二伽中+伽一】一】+加+他當(dāng)x=xo時的值時，首先將多項式改寫成/(x)= <.(g+an-i)x+. + ai)x+ao,然后再計算 v=anX-1-1, V2=via- +a"-2,勺=1»+3,vw=vn-ix+oo- 無論a”是不是1,這次的乘法都是要進(jìn)行的.【防范措施】1 將多項式寫成一次多項式的形式時，如果多項式中“次項不存在，可將”次 項看作0 0-2.直接法乘法運算的次數(shù)最多可達(dá)-1，加法最多“次，秦九韶算法通過轉(zhuǎn)化把乘法運算的 次數(shù)減少到最多“次，加法最多”次.【正解】 由以上分析，共做了 5次乘法，5次加法.課堂小結(jié)1 .輾轉(zhuǎn)相除