五年級奧數(shù)時鐘問題

1、8.五年級奧數(shù)講義：時鐘問題第八講時鐘問題時鐘問題是研究鐘面上時針和分針關系的問題.鐘面的一周分為60格.當分針走5Q格時，時針正好走曲.所以時針的速度是分針的36。=2分Ji /針每走6U+ （1占）=651（分,與時針重合一次時鐘問題變化多端, &O 11也存在著不少的學問.這里列出一個基本公式：在初始時刻需迫趕的格數(shù)一d4> =追及時間（分件），其中，1J為分針每分鐘比時針多走的格數(shù)“例1現(xiàn)在是3點，什么時候時針與分4卜第一次重合？T分析3點時分鐘指13時針指3.分針在時針后5乂3二L5 （個）格.每分鐘分針比時針多走Q-1）格.要使分針與時針重合，即使分針比時針多走1招

2、需要1A （1-） =16言 鐘）所以，所求的時刻應為3 1 U1 14點16元分。W； 15-=16白（分鐘）1 uL 1答；所求的時刻應為3點16分，例Z在10點與11點之間.鐘面上時針和分針在什么時刻垂直7分析分兩種情況進行討論.在順時針方向上分針與時針成27/旬.在I暝時針方向上當分針與時針成270。時，分針落后時針60乂（270 + 360）=45 （個）格，而在10點整時分針落后時針5X10=50 1個）格.因此，在 這段時間內，分針要比時針多走50-45二5 （個）格，而每分鐘分針比時針多走Q-3）個格，因此由基本公式，到達這一時刻所用的時間為: 5-（1$）=* （分鐘）。在順

3、時針方向上分針與時針成9。角：在順時針方向上當分針與時針成90。角時，分針落后時針60X（90+ 360）=15（個）格，而在10點整時分針落后時針5X10二50 （個）格，因此在這 段時間內，分針要比時針多走50-15二35 （個）格，所以到達這一時12刻所用的時間為：35+ （1*）=3哈（分鐘）。解：在順時針方向上當分針與時針成270。角時：5X10-60X（270- 360）+ （1-）（分鐘。在順時針方向上當分針與時針成91角時；125X10-60X（90 + 360）* （1-） =38-（分鐘）。JL 乙BJL 1答：所求時刻為10點哈分和1。點3哈分。例3在9點與10點之間的什

4、么時刻，分針與時針在一條直線上?分析分兩種情況進行討論,分針與時針的夾角為180。角；當分針與時針的夾角為180。角時，分針落后時針60X （180-360）=30 （個）格，而在9點整時，分針落后時針5xg=45（個）格.因此，在這段時間 內分針要比時針多走45-30:15 （個）格，而每分鐘分針比時針多走（14）個格，因此，到達這一時刻所用的時間為：15 + （1-）=16白 1乙A乙L JL（分鐘）。分針與時針的夾角為0。，即分針與時針重合：9點整時，分針落后時針5X9=45 （個）格，而當分針與時針重合時，分針 小匕時針多走45個格，因此到達這一時刻所用的時間為；45-（1-y） =4

5、9（分鐘）JL L解：當分針與時針的夾角為180°角時：5X9-60X（180-360）+（1.=吟（分鐘）。當分針與時針的夾角為0。即分針與時針重合時：5X9 +。-白）=49（分鐘）。答；所求時刻為9點162分和9點49分。例4小明在7點與8點之間解了一道題，開始時分針與時針正好成一條直線，解 完題時兩針正好重合，小明解題的起始時間？小明解題共用了多少時間？分析要求小明解題共用了多少時間，必須先求出小明解題開始時是什么 時刻，解完題時是什么時刻。小明開始解題時的時刻：因為小明開始解題時，分針與時針正好成一條直線，也就是分針與時針的 夾角為180° ,此時分針落后時針60

6、X （180360）二30 （個）格，而7點整時 分針落后時針5X7= 35 （個）格，因此在這段時間內分針要比時針多走35-30 = 5 （個）格，則這一段時間為：5-（1-） = 5 （分鐘）所. 以小明開始解題時是7點舄分。小明解題結束時的時刻，因為小明解題結束時，兩針正好重合，那么從7點整到這一時刻分針要 比時許多走5乂7 = 35 （個）格，因此這一段時間為；充= ?哈（分9鐘）.所以小明解題結束時是7點38亮分。這樣小明解題所用的時間就可以求出來了Q解；先求小明開始解題的時刻;5X7-60X180 + 360）一=51（分鐘），所以小明開始解題時是7點彳分。再求小明結束解題的時刻；

7、1225X7+。5）=38 （分鐘），所以小明結束解題時是7點38a分 L jL I1 X最后求小明解題所用的時間：7點3哈分一7點不分=32（分鐘）管：小明解題共用了32V分鐘。例5 一只鐘的時針與分針均指在4與6之間，且鐘面上的“5”字恰好在時針與 分針的正中央，問這時是什么時刻？分析由于現(xiàn)在可以是4點多，也可以是5點多，所以分兩種情況進行討 論：先設此時是4點多:4點整時，時針指4,分針指12.從4點整到現(xiàn)在“5在時針與分針的正中 央”，分針走的格數(shù)多于25,少于30,時針走不足5格.由于5到分針的格數(shù)等 于5到時針的格數(shù)，所以時針與分針在這段時間內共走30格.又由于時針的速度是分針的白

8、，所以從4點整到上圖（a）鐘面上這種狀態(tài)共用了： 1乙30-。+ 得）=27,（分鐘），1乙1D所以這時是4點27（分。再設此時是5點多：出，號吃全嘉分步削2.從5點整到現(xiàn)在“5在時針與分針的正中 鬻翁蠢郡蜉所以時針與分針在這晶'儡叁5智刷19這種狀態(tài)共用了25 + （1+*） =235（分鐘）。 JI 乙A J所川匕時是5點23福分。解；如果此時是4點多，則從4點整到上頁圖（a）鐘面上這種狀態(tài)共用，30* （1 + 卷）=27-（分鐘）e 141 D如果此時是5點多，則從5點整到上頁圖（b）鐘面上這種狀態(tài)共用;25- （1十焉）=23焉（舟恒。因此，這時可以是4點27/分，也可以是5

9、點231分。例6 一只舊鐘的分鐘和時針每65分鐘（標準時間的65分鐘）重合一次,問這只 舊鐘一天（標準時間24小時）慢或快幾分鐘？分析前面己知標準鐘每65亮標準分鐘時針、分針重合一次.舊鐘每65分鐘重合一次，顯然舊鐘此本題的難點在于從舊鐘兩針的重合所耗用的65標 準分鐘推算出舊鐘時針或分針的旋轉速度（每標掛分鐘旋轉多少格），進而推 算出舊鐘的針24標準小時旋轉多少格，它與標準鐘的針用24標準小時所走的格 數(shù)的差就是舊鐘鐘面上顯示的比標準鐘快的時間讀數(shù)。設舊鐘分針每標準分鐘走漢格那么，每走1格用1標準分鐘.如用復合 X單位表示：舊鐘分針速度為X （格/標準分）.舊鐘分針走60格時針走5格，時針速

10、度總是分針的卷，所以舊鐘時針速度為森（格/標準分）,每次重合 耗用65標準分鐘，而且兩次重合之間分針趕超了前針60格，列方程：60 (x - -yx) = 65。14解此方程，黑如,得一臺等標準時間一天有60乂24=1440標準分，一天內日鐘分針走的格數(shù)為:19X19H X 60x 24但是我們只須求出舊鐘分針比標準鐘分針多走了多少格，即 16X J112X1?減去1440個(標準鐘的)格，所以有M60X2H 60X21 15X11(12x12 144 743= 6-1 x 60 x 24 =><60x24 13x1113x11602410 人裕找、但讀者一定明白，這10捐只是舊鐘

11、上顯示的多走的格數(shù)，也是舊鐘的非 標準分鐘數(shù).并非標準的分鐘數(shù)9解：設這只舊鐘的分針用標準時間1分鐘走X格，則舊鐘的時針速度為焉X格/標準分614根據(jù)舊鐘的時針與分針每重合一次耗用65標準分鐘，列方程得，60 +3幺)=65, 1乙標準時間一天有60 X 24標準分,標準時間一天內舊鐘分針走的格數(shù)為:144區(qū)1Ts 2電這只舊鐘的分針標準時間一天所走的格數(shù)與標準鐘分針一天走的格數(shù)差 卻14410X60X260X24 = 10-（舊鐘格）。答：這只舊鐘在標準時間一天內快10工分鐘（按舊鐘上的時間）O143五年級奧數(shù)講義下：時鐘問題習題習題A1 .在6點和7點之間，兩針什么時刻重合？2現(xiàn)在是2點1

12、5分，再過幾分鐘，時針和分針第一次重合？3 2點鐘以后，什么時刻分針與時針第一次成直角？工在7點與8點之間（包含7點與8點）的什么時刻，兩針之間的夾角為 1200 ?5,在1Q點與11點之間，兩針在什么時刻成一條直線？6, 一舊鐘鐘面上的兩針每66分鐘重合一次，這只舊鐘在標準時間的一天中 快或慢幾分鐘？，李叔叔下午要到工廠上3點的班.他估計快到上班時間了，到屋里看鐘， 可是鐘早在12點M分就停了.他上足發(fā)條后忘了撥針，匆匆離家，到工廠一看 離上班時間還有10分鐘.冽、時工作后夜里11點下班，李叔叔回到家里，一看鐘 才9點整.假定他上班和下班在路上用的時間相同，那么他家的鐘停了多長時 間？五年級

13、奧數(shù)講義：時鐘問題習題解答習題八解答1 .解：在6點整時，分針落后時針5X6= 30 （個）格，到分針與時針 重合時.分鐘要比時針多走30個格，而每分鐘分針比時針多走Q.白）個 格，所以到達這一時刻所用的時間為：30+ （1 .3）=32（分鐘）.因此J M1 1所求的時刻為6點32得分。答：在6點322分時分針與時針重合。2 .解：在2點整時，分針落后時針5X2= 10 （個）格，到分針與時針重合 時，分針要比時針多走10個格，所以到達這一時刻所用的時間為；10 +（1-磊）=1哈（分鐘），因為畔場 所以2點嗎分不是所求的 時刻.現(xiàn)在看3點整時，分針落后時針5X3=15 （個）格，到分針與時

14、針重合針 時，分針要比時針多走15個格，這樣到達這一時刻所用的時間為：4 .解！當分針落后時針而與時針成120。角時，當分針落后時針而與時針成120。角時，分針落后時針60乂 （120-360） = 20（個）格，而7點整時分針落后時針5X7=351個）格，因此在這段時間內 分針要比時針多走3520二15，個）格，所以到達這一時刻所 用的時間為：15- （14）=16 （分鐘）.因此，在7點吟分時，兩針 之間的夾角為120。°當分針超過時針而與時針成120。角時：當分針超過時針而與時針成120。角時，分針超過時針20格，而7點整時分 針落后時針35格，因此在這段時間內分針要比時針多走

15、35十20二55 （個） 格，所以到達這一時刻所用的時間為，乃。白）=60 1分鐘）.因此， 在7點60分即8點整時，兩針之間的夾角為120。°答：在7點16（分與8點整時，兩針之間的夾角為120。°5 .解，當分針與時針的夾角為180。角時：當分針與時針的夾角為180。角時，分針落后時針60X （180360）二30 （個）格，而10點整時分針落后時針5X 10=50 （個）格，因此在這段時間內分 針要比時針多走50-30=20 （個）格，所以到達這一時刻所用的時 間為：20 +。1）=2+ 1分鐘）.因此在10點2斗分時分針與時針在 14A JL1條直線上。當分針與時針

16、的夾角為0。即分針與時針重合時:1。點整時分針落后時針5。個格，因此當分針與時針重合時分針要比時 針多走50個格，所以到達這一時刻所用的時間為：50-（1-） = 54 （分 鐘）.因此在10點54微分時分針與時針在一條直線上。96答：在10點215分與10點545分時分針與時針在一條直線上。6 .解：設舊鐘在分針用標準時間1分鐘走x格，則舊鐘的時針速度為Jx1乙格衍準分。根據(jù)舊鐘的時針與分針每重合一次耗用66標準分鐘，列方程得：60-Cx-X)=66, 1乙190標準時間一天有60X24標準分，標準時間一天內舊鐘走的格數(shù)為：嶄X 60 乂 24格。則這只舊鐘標準時間一天慢:12010960義24 愣義60義24 = 11署（舊鐘格），答，這只舊鐘在標準時間一天內慢11言分鐘（按舊鐘上的時間）67 .解法1：依題意，鐘停的時間與上班路上用的時間之和為：14點50分-12 點10分二160 1分鐘）.鐘信的時間與下班路上用的時間之差為：11點-9點=120（分鐘）;因