用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解系式2

1、歡迎指導(dǎo)歡迎指導(dǎo)!用待定系數(shù)法 求二次函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)XO方法回顧n已知一次函數(shù)已知一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)，當(dāng) x=4時(shí)時(shí),y的值的值為為9；當(dāng)；當(dāng) x=2時(shí)時(shí),y的值為的值為3；求這個(gè)函；求這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式。數(shù)的關(guān)系式。n解解: 依題意得依題意得: 4k+b=9 2k+b=3解得解得k=6b=15y=6x-15設(shè)列解答教師點(diǎn)評教師點(diǎn)評n一般地，函數(shù)關(guān)系式中有幾個(gè)系數(shù)，那么一般地，函數(shù)關(guān)系式中有幾個(gè)系數(shù)，那么就需要有幾個(gè)等式才能求出函數(shù)關(guān)系式就需要有幾個(gè)等式才能求出函數(shù)關(guān)系式n 一次函數(shù)關(guān)系一次函數(shù)關(guān)系: 反比例函數(shù)關(guān)系反比例函數(shù)關(guān)系: y=kx (k0正比例函數(shù)關(guān)系) y=kx+b (其中k0

2、)）（0kxky引出新課引出新課n如果要確定二次函數(shù)的關(guān)系式，又需要幾個(gè)條件呢？n二次函數(shù)關(guān)系二次函數(shù)關(guān)系: y=ax2 (a0)y=ax2+k (a0)y=a(x-h)2+k (a0)y=ax 2+bx+c (a0)y=a(x-h)2 (a0)頂點(diǎn)式頂點(diǎn)式一般式一般式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)(a0)焦點(diǎn)式二次函數(shù)解析式常用的幾種表達(dá)式二次函數(shù)解析式常用的幾種表達(dá)式 一般式：一般式：y=ax2+bx+c 頂點(diǎn)式：頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k 交點(diǎn)式：交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)例題例題封面封面例題選講一般式：一般式： y=ax2+bx+c兩根式：兩根式：y=a(x-x1)(x

3、-x2)頂點(diǎn)式：頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k解：解： 設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c由條件得：由條件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：解方程得：因此：所求二次函數(shù)是：因此：所求二次函數(shù)是：a=2, b=-3, c=5y=2x2-3x+5已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1,10）、）、（1,4）、（）、（2,7）三點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式？）三點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式？oxy例例1例題例題封面封面例題選講解：解：設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x1)2-3由條件得：由條件得：已知拋物線的頂點(diǎn)為（已知拋物線的頂

4、點(diǎn)為（1，3），與軸交點(diǎn)為），與軸交點(diǎn)為（0，5）求拋物線的解析式？）求拋物線的解析式？yox點(diǎn)點(diǎn)( 0,-5 )在拋物線上在拋物線上a-3=-5, 得得a=-2故所求的拋物線解析式為故所求的拋物線解析式為 y=2(x1)2-3即：即：y=2x2-4x5一般式：一般式： y=ax2+bx+c兩根式：兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)頂點(diǎn)式：頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k例例2例題例題封面封面例題選講解：解： 設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x1)(x1）由條件得：由條件得：已知拋物線與已知拋物線與X軸交于軸交于A（1，0），），B（1,0）并經(jīng)過點(diǎn)并經(jīng)過點(diǎn)M（0,1），求拋物線

5、的解析式？），求拋物線的解析式？yox點(diǎn)點(diǎn)M( 0,1 )在拋物線上在拋物線上所以所以：a(0+1)(0-1)=1得：得： a=-1故所求的拋物線解析式為故所求的拋物線解析式為 y=- (x1)(x-1)即：即：y=x2+1一般式：一般式： y=ax2+bx+c兩根式：兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)頂點(diǎn)式：頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k例題例題例例3封面封面課堂小結(jié)課堂小結(jié)求二次函數(shù)解析式的一般方法：求二次函數(shù)解析式的一般方法：已知圖象上三點(diǎn)或三對的對應(yīng)值，已知圖象上三點(diǎn)或三對的對應(yīng)值， 通常選擇一般式通常選擇一般式已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)x對稱軸和最值）對稱軸和最值） 通

6、常選擇頂點(diǎn)式通常選擇頂點(diǎn)式已知圖象與已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫x1、x2， 通常選擇兩根式通常選擇兩根式y(tǒng)xo封面封面確定二次函數(shù)的解析式時(shí)，應(yīng)該根據(jù)條件的特點(diǎn)，確定二次函數(shù)的解析式時(shí)，應(yīng)該根據(jù)條件的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)剡x用一種函數(shù)表達(dá)式，恰當(dāng)?shù)剡x用一種函數(shù)表達(dá)式， n練習(xí)練習(xí)1，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1）、）、（2，4）、（）、（3，10）三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)）三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式。的關(guān)系式。 解：解：10394241cbacbac設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：y=ax2+bx+c,則有則有 15 .15 .1cbay=1.5x2-1.

7、5x+1解得解得:試下再說試下再說n2，已知拋物線過三點(diǎn)（，已知拋物線過三點(diǎn)（0，-2）、（）、（1，0）、（）、（2，3），試求它的關(guān)系式。），試求它的關(guān)系式。n解：解：32402cbacbac設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：y=ax2+bx+c,則有則有 25 .15 .0cbay=0.5x2+1.5x-2解得解得:再試一下再試一下n3如圖如圖,求拋物線的函數(shù)關(guān)系式求拋物線的函數(shù)關(guān)系式.03903cbacbacyxo133解解:設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：y=ax2+bx+c 由圖知由圖知,拋物線經(jīng)過點(diǎn)拋物線經(jīng)過點(diǎn)(0,3),(1,0),(3,0),所以所以 341cba此拋物線的函數(shù)

8、關(guān)系式為此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為:y=x2-4x+3解得解得:還可用哪種方法？n4：已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（：已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），），它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和（它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和（8，9），）， 求這個(gè)二次函數(shù)的求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式。關(guān)系式。n解：解：頂點(diǎn)坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)是(8,9)可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：y=a(x-8)2+9 又又 函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)a (0-8)2+9=1 解得解得a=81函數(shù)關(guān)系式為函數(shù)關(guān)系式為:y= (x-8)2+981n5，已知拋物線的頂點(diǎn)為（，已知拋物線的頂點(diǎn)為（-1，-2），），且過（且過（1，10），試求它的關(guān)系式。）

9、，試求它的關(guān)系式。n解：解：頂點(diǎn)坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,-2)可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：y=a(x+1)2-2 又又 函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,10)a (1+1)2-2=10 解得解得a=3函數(shù)關(guān)系式為函數(shù)關(guān)系式為:y=3 (x+1)2-2再試一下n6拋物線的圖象經(jīng)過（拋物線的圖象經(jīng)過（0，0)與（與（12，0）兩點(diǎn)，）兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3，求它的函數(shù)關(guān)系式。，求它的函數(shù)關(guān)系式。y3o12x分析：頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（分析：頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（6，3）方法方法1：方法方法2：可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：y=a(x-6)2+3 設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：y

10、=ax2+bx+c 例題選講有一個(gè)拋物線形的立交橋拱，這個(gè)橋拱的最大高度有一個(gè)拋物線形的立交橋拱，這個(gè)橋拱的最大高度為為16m16m，跨度為，跨度為40m40m現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系里現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系里( (如圖所示如圖所示) )，求拋物線的解析式，求拋物線的解析式 例例4設(shè)拋物線的解析式為設(shè)拋物線的解析式為y=ax2bxc，解：解：根據(jù)題意可知根據(jù)題意可知拋物線經(jīng)過拋物線經(jīng)過(0，0)，(20，16)和和(40，0)三點(diǎn)三點(diǎn) 可得方程組可得方程組 通過利用給定的條件通過利用給定的條件列出列出a、b、c的三元的三元一次方程組，求出一次方程組，求出a、b、c的值，從而確定的值，從而確定函數(shù)

11、的解析式函數(shù)的解析式過程較繁雜，過程較繁雜， 評價(jià)評價(jià)封面封面練習(xí)練習(xí)例題選講有一個(gè)拋物線形的立交橋拱，這個(gè)橋拱的最大高度有一個(gè)拋物線形的立交橋拱，這個(gè)橋拱的最大高度為為16m16m，跨度為，跨度為40m40m現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系里現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系里( (如圖所示如圖所示) )，求拋物線的解析式，求拋物線的解析式 例例4設(shè)拋物線為設(shè)拋物線為y=a(x-20)216 解：解：根據(jù)題意可知根據(jù)題意可知 點(diǎn)點(diǎn)(0，0)在拋物線上，在拋物線上， 通過利用條件中的頂通過利用條件中的頂點(diǎn)和過原點(diǎn)選用頂點(diǎn)點(diǎn)和過原點(diǎn)選用頂點(diǎn)式求解，式求解，方法比較靈活方法比較靈活 評價(jià)評價(jià) 所求拋物線解析式為所求拋物

12、線解析式為 封面封面練習(xí)練習(xí)例題選講有一個(gè)拋物線形的立交橋拱，這個(gè)橋拱的最大高度有一個(gè)拋物線形的立交橋拱，這個(gè)橋拱的最大高度為為16m16m，跨度為，跨度為40m40m現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系里現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系里( (如圖所示如圖所示) )，求拋物線的解析式，求拋物線的解析式 例例4設(shè)拋物線為設(shè)拋物線為y=ax(x-40 ）解：解：根據(jù)題意可知根據(jù)題意可知 點(diǎn)點(diǎn)(20，16)在拋物線上，在拋物線上， 選用兩根式求解，選用兩根式求解，方法靈活巧妙，過方法靈活巧妙，過程也較簡捷程也較簡捷 評價(jià)評價(jià)封面封面練習(xí)練習(xí)不知不覺又學(xué)兩種方法不知不覺又學(xué)兩種方法, ,整理下先整理下先. .n根據(jù)近幾年的

13、中考要求重點(diǎn)考察如下兩種形式：（1）給出三點(diǎn)坐標(biāo):（2）給出兩點(diǎn)，且其中一點(diǎn)為頂點(diǎn):) 0(2acbxaxy) 0()(2akhxay一般式一般式頂點(diǎn)式頂點(diǎn)式中考模擬考場中考模擬考場n1已知二次函數(shù)已知二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn)的圖象經(jīng)過點(diǎn) （0，1），（），（2，-1）兩點(diǎn)。）兩點(diǎn)。cbxxy2（1）求）求b與與c的值。的值。 解：依題意得解：依題意得: c=1 4+2b+c=1解得解得b=3c=1b=-3,c=1.中考模擬考場中考模擬考場（2）試判斷點(diǎn)）試判斷點(diǎn)P（-1，2）是否在此函數(shù)圖象）是否在此函數(shù)圖象 上。上。解：由（解：由（1）可得）可得 當(dāng)當(dāng)x=-1時(shí)，時(shí)，132xxy點(diǎn)點(diǎn)P（-1

14、，2）不在此函數(shù)圖象上。）不在此函數(shù)圖象上。261) 1(3) 1(2y中考模擬考場中考模擬考場n2已知拋物線的對稱軸是已知拋物線的對稱軸是x=1 ，拋物線，拋物線與與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為4，并且經(jīng)過，并且經(jīng)過 點(diǎn)點(diǎn)(2,3)，求拋物線的函數(shù)關(guān)系式。，求拋物線的函數(shù)關(guān)系式。yo1xAB.C(2,3)課后練習(xí)一個(gè)二次函數(shù)，當(dāng)自變量一個(gè)二次函數(shù)，當(dāng)自變量x= -3時(shí)，函數(shù)值時(shí)，函數(shù)值y=2當(dāng)自變量當(dāng)自變量x= -1時(shí)，函數(shù)值時(shí)，函數(shù)值y= -1，當(dāng)自變量，當(dāng)自變量x=1時(shí)時(shí)，函數(shù)值，函數(shù)值y= 3，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式？，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式？已知拋物線與已知拋物線與

15、X軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是、，軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是、，與與Y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，求這個(gè)拋物線的解析式？，求這個(gè)拋物線的解析式？32121、2、封面封面小結(jié)小結(jié)二次函數(shù)解析式常用的幾種表達(dá)式二次函數(shù)解析式常用的幾種表達(dá)式 一般式：一般式：y=ax2+bx+c 頂點(diǎn)式：頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k 交點(diǎn)式：交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)例題例題封面封面熟記熟記以以40m/s的速度將小球沿與地面成的速度將小球沿與地面成30角的方向擊出時(shí)角的方向擊出時(shí),球的飛行路線將是一條拋物線球的飛行路線將是一條拋物線.如果不考慮空氣阻力如果不考慮空氣阻力,球球的飛行高度的飛行高度h(單位

16、單位:m)與飛行時(shí)間與飛行時(shí)間t (單位單位:s)之間具有關(guān)系之間具有關(guān)系.tth2520 考慮以下問題考慮以下問題:(1)球的飛行高度能否達(dá)到球的飛行高度能否達(dá)到15m?如能如能, 需要多少飛行時(shí)間需要多少飛行時(shí)間?(2)球的飛行高度能否達(dá)到球的飛行高度能否達(dá)到20m?如能如能, 需要多少飛行時(shí)間需要多少飛行時(shí)間?(3) 球的飛行高度能否達(dá)到球的飛行高度能否達(dá)到20.5m?為什么為什么?(4)球從飛出到落地要用多少時(shí)間球從飛出到落地要用多少時(shí)間?(1)球的飛行高度能否達(dá)到球的飛行高度能否達(dá)到15m?如能如能, 需要多少飛行時(shí)間需要多少飛行時(shí)間?解解: (1)解方程解方程3, 10345201

17、52122tttttt當(dāng)球飛行當(dāng)球飛行1s和和3s時(shí)時(shí),它的高度為它的高度為15m.為什么在兩個(gè)時(shí)間為什么在兩個(gè)時(shí)間球的高度為球的高度為15m呢呢?(2)球的飛行高度能否達(dá)到球的飛行高度能否達(dá)到20m?如能如能, 需要多少飛行時(shí)間需要多少飛行時(shí)間?解解: (2)解方程解方程2044520202122tttttt當(dāng)球飛行當(dāng)球飛行2s時(shí)時(shí),它的高度為它的高度為20m.為什么只在一個(gè)時(shí)間為什么只在一個(gè)時(shí)間內(nèi)球的高度為內(nèi)球的高度為20m呢呢?(3) 球的飛行高度能否達(dá)到球的飛行高度能否達(dá)到20.5m?為什么為什么?.5 .20., 01 . 4401 . 445205 .20) 4(222mtttt球

18、的飛行高度達(dá)不到此方程無解解解: (3)解方程解方程解解: (4)解方程解方程(4)球從飛出到落地要用多少時(shí)間球從飛出到落地要用多少時(shí)間?4, 00452002122tttttt當(dāng)球飛行當(dāng)球飛行0s和和4s時(shí)時(shí),它的高度為它的高度為0m,即即0s時(shí)球從地面飛出時(shí)球從地面飛出, 4s時(shí)球落回地面時(shí)球落回地面.為什么在兩個(gè)時(shí)間為什么在兩個(gè)時(shí)間球的高度為球的高度為0m呢呢?., 034034,).034(34, 34:.,222222的值求自變量的值為函數(shù)又可以看作已知二次解方程反過來即可以解一元二次方程的值求自變量的值為二次函數(shù)如可轉(zhuǎn)化為一元二次方程則二次函數(shù)的值時(shí)當(dāng)給定當(dāng)二次函數(shù)xxyxxxxx

19、yycbxayxxxxxx觀察觀察1) 3(96)2(2) 1 (?,?,?,?222xyxyxyxxxxx程的根嗎得出相應(yīng)的一元二次方你能由此函數(shù)的值是多少點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)取公共當(dāng)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是多少如果有軸有公共點(diǎn)嗎下列二次函數(shù)的圖象與解解: :.01,1)3(. 3096. 0,3. 3,96)2(. 1, 202. 0, 1, 2,2) 1 (2221222122沒有實(shí)數(shù)根方程由此可知軸沒有公共點(diǎn)與拋物線實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等的由此得出方程函數(shù)的值是時(shí)當(dāng)這點(diǎn)的橫坐標(biāo)是軸有一個(gè)公共點(diǎn)與拋物線根是由此得出方程函數(shù)的值是取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)當(dāng)它的橫坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)與拋物線xxxyxxxxyxxxxyx

20、xxxxxxxxxw二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖象和的圖象和x x軸交點(diǎn)有軸交點(diǎn)有三種情況三種情況: :w(1)(1)有兩個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)交點(diǎn)w(2)(2)有一個(gè)交點(diǎn)有一個(gè)交點(diǎn)w(3)(3)沒有交點(diǎn)沒有交點(diǎn)二次函數(shù)與一元二次方程b2 4ac 0b2 4ac= 0b2 4ac0,c0時(shí)時(shí),圖象與圖象與x軸交點(diǎn)情況是軸交點(diǎn)情況是( )A 無交點(diǎn)無交點(diǎn) B 只有一個(gè)交點(diǎn)只有一個(gè)交點(diǎn) C 有兩個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)交點(diǎn) D不能確定不能確定DC3.如果關(guān)于如果關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程 x2-2x+m=0有兩個(gè)相等有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的實(shí)數(shù)根,則則m=,此時(shí)拋物線此時(shí)拋物線 y=x2