全國初中數(shù)學競賽試題及答案(2001年)

1、D 是邊 AC 上的一點，下面四種情況中， ABD ）(C)/ ABD= / ACB(D)AB?BC AC?BDax2bx c 0的根為xb b在 ABC 中，若AC2BC2AB2，則 ABC 是銳角三角形；在 ABC和A1B1C1中，a，b，c 分別為 ABC 的三邊，引 4 工1分別為A1B16的三邊，若a a1,b b1,c&，則 ABC 的面積 S 大于A1B1C1的面積$。以上三個命題中， 假命題的個數(shù)是（）（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3&某商場對顧客實行優(yōu)惠，規(guī)定：如一次購物不超過200 元，則不予折扣；如一次購物超過 200 元但不超過 500 元

2、的，按標價給予九折優(yōu)惠；如一 次購物超過 500 元的， 其中 500 元按第條給予優(yōu)惠， 超過 500 元的部分則給予 八折優(yōu)惠。某人兩次去購物，分別付款 168 元和 423 元；如果他只去一次購物同 樣的商品，則應付款是（）（A） 522.8 元（B） 510.4 元（C） 560.4 元（D） 472.82001年全國初中數(shù)學聯(lián)賽、選擇題（每小題 7 分，共 42 分）1、 a, b, c 為有理數(shù)，且等式a b 2的值是()(A) 1999 (B) 2000 (C) 2001 (D)2、若ab 1，且有 5a2+2001a+9=0 及9b5 2 6成立，J 則 2a+999b+100

3、1c不能確定22001b 5 0，則a的值是（b2001(D)2001(A)9(B)5(C)593、已知在 ABC 中，/ ACB=900，/ ABC=150, BC=1，則 AC 的長為(A)23(B)2|(C)0 3(D)32(A)AD?BC AB?BD(B)AB2AD? AC4、如圖，在 ABC 中,ACB 不一定成立的情況是（5、在實數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程2 ；3、已知x, y是正整數(shù)，并且xy x y 23, x2yxy2120,則二、填空題（每小題 7 分，共 28 分）1、 已知點 P 在直角坐標系中的坐標為（0, 1），O 為坐標原點，/ QPO=150，且 P 到 Q 的距離

4、為 2,則 Q 的坐標為。2、 已知半徑分別為 1 和 2 的兩個圓外切于點 P,則點 P 到兩圓外公切線的距離為。x2y2=_。4、一個正整數(shù)，若分別加上 100 和 168，則可得到兩個完全平方數(shù)，這個正 整數(shù)為_ 。三、解答題(共 70 分)1、在直角坐標系中有三點 A(0, 1),B( 1,3),C(2,6);已知直線y ax b上橫坐標為 0、1、2 的點分別為 D、E、F。試求a,b的值使得 AD2+BE2+CF2達到 最大值。(20 分)(1)證明：若x取任意整數(shù)時，二次函數(shù)y ax2bx c總?cè)≌麛?shù)值，那么2a, a b,c都是整數(shù)；(2)寫出上述命題的逆命題，并判斷真假，且證

5、明你的結(jié)論。(25 分)3、 如圖， D, E 是厶 ABC 邊 BC 上的兩點， F 是 BC 延長線上的一點， / DAE= / CAF。(1)判斷 ABD 的外接圓與 AEC 的外接圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié) 論；(2)若厶ABD 的外接圓的半徑的 2 倍，BC=6, AB=4,求 BE 的長。解答題:1、如圖，EFGH 是正方形 ABCD 的內(nèi)接四邊形，兩條對角線 EG 和 FH 所夾 的銳角為B,且/ BEG 與/ CFH 都是銳角。已知 EG=k, FH =l，四邊形 EFGH 的面 積為S。(2)試用k,l,S來表示正方形的面積。2、求所有的正整數(shù) a, b , c,使得關(guān)于 x 的方程x23ax 2b 0,(1)求證:sin02S2S；3、已知x, y是正整數(shù)，并且xy x y 23, x2yxy2120,則2x 3bx 2c 0,x23cx 2a 0的所有的根都是正整數(shù)3、 在銳角 ABC 中，AD 丄 BC, D 為垂足，DE 丄 AC, E 為垂足，DF 丄 AB,F 為垂足。0 ABC 的外心。求證：(AEFABC;(2) AO 丄 EF4、 如圖，在四邊形 ABCD