壓桿穩(wěn)定計算.

1、第16章壓桿穩(wěn)定16.1壓桿穩(wěn)定性的概念在第二章中，曾討論過受壓桿件的強度問題，并且認為只要壓桿滿足了強度條件，就能保證其正常工作。 但是，實踐與理論證明， 這個結(jié)論僅對短粗的壓桿才是正確的， 對細長壓桿不能應用上述結(jié)論，因為細長壓桿喪失工作能力的原因，不是因為強度不 夠，而是由于出現(xiàn)了與強度問題截然不同的另一種破壞形式，這就是本章將要討論的 壓桿穩(wěn)定性問題。當短粗桿受壓時（圖16-1a）,在壓力F由小逐漸增大的過程中，桿件始終保持原有的直線平衡形式，直到壓力 F達到屈服強度載荷 Fs （或抗壓強度載荷 Fb）,桿件發(fā)生強 度破壞時為止。但是，如果用相同的材料，做一根與圖 16-1a所示的同樣

2、粗細而比較 長的桿件（圖16-1b）,當壓力F比較小時，這一較長的桿件尚能保持直線的平衡形式， 而當壓力F逐漸增大至某一數(shù)值 F1時，桿件將突然變彎，不再保持原有的直線平衡形 式，因而喪失了承載能力。我們把受壓直桿突然變彎的現(xiàn)象，稱為喪失穩(wěn)定 或失穩(wěn)。此時，F(xiàn)1可能遠小于Fs （或Fb）?？梢?，細長桿在尚未產(chǎn)生強度破壞時，就因失穩(wěn)而破 壞。圖 16-1失穩(wěn)現(xiàn)象并不限于壓桿，例如狹長的矩形截面梁，在橫向載荷作用下，會出現(xiàn)側(cè)向彎曲和繞軸線的扭轉(zhuǎn)（圖16-2）;受外壓作用的圓柱形薄殼，當外壓過大時，其形狀可能突然變成橢圓（圖16-3）;圓環(huán)形拱受徑向均布壓力時，也可能產(chǎn)生失穩(wěn)（圖16-4）。本章中，

3、我們只研究受壓桿件的穩(wěn)定性。圖 16-3所謂的穩(wěn)定性是指桿件保持原有直線平衡形式的能力。實際上它是指平衡狀態(tài)的 穩(wěn)定性。我們借助于剛性小球處于三種平衡狀態(tài)的情況來形象地加以說明。第一種狀態(tài)，小球在凹面內(nèi)的 O點處于平衡狀態(tài)，如圖16-5a所示。先用外加干擾力使其偏離原有的平衡位置，然后再把干擾力去掉，小球能回到原來的平衡位置。因此，小球原有的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡。第二種狀態(tài)，小球在凸面上的 擾力使其偏離原有的平衡位置后， 小球原有的干衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡。第三種狀態(tài)，小球在平面上的 擾力使其偏離原有的平衡位置后，O點處于平衡狀態(tài)，如圖 16-5c所示。當用外加干小球?qū)⒗^續(xù)下滾， 不再回到原來的平衡

4、位置。 因此,O點處于平衡狀態(tài)，如圖16-5b所示，當用外加干把干擾力去掉后，小球?qū)⒃谛碌奈恢?Oi再次處于平圖 16-5圖 16-6衡，既沒有恢復原位的趨勢，也沒有繼續(xù)偏離的趨勢。因此。我們稱小球原有的平衡 狀態(tài)為隨遇平衡。通過上述分析可以認識到，為了判別原有平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，必須使研究對象偏 離其原有的平衡位置。因此。在研究壓桿穩(wěn)定時，我們也用一微小橫向干擾力使處于 直線平衡狀態(tài)的壓桿偏離原有的位置，如圖16-6a所示。當軸向壓力 F由小變大的過程中，可以觀察到：1）當壓力值Fi較小時，給其一橫向干擾力，桿件偏離原來的平衡位置。若去掉橫 向干擾力后，壓桿將在直線平衡位置左右擺動，最終將恢復

5、到原來的直線平衡位置， 如圖16-6b所示。所以，該桿原有直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡。2）當壓力值F2超過其一限度Fcr時，平衡狀態(tài)的性質(zhì)發(fā)生了質(zhì)變。這時，只要有一 輕微的橫向干擾，壓桿就會繼續(xù)彎曲，不再恢復原狀，如圖 16-6d所示。因此，該桿 原有直線平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡。3）界于前二者之間，存在著一種臨界狀態(tài)。當壓力值正好等于國時，一旦去掉橫向干擾力，壓桿將在微彎狀態(tài)下達到新的平衡，既不恢復原狀，也不再繼續(xù)彎曲，如 圖16-6c所示。因此，該桿原有直線平衡狀態(tài)是隨遇平衡，該狀態(tài)又稱為臨界狀態(tài)。臨界狀態(tài)是桿件從穩(wěn)定平衡向不穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)化的極限狀態(tài)。壓桿處于臨界狀態(tài)時 的軸向壓力稱為臨界力或臨界載

6、荷，用后表示。由上述可知，壓桿的原有直線平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定，與所受軸向壓力大小有關。當 軸向壓力達到臨界力時，壓桿即向失穩(wěn)過渡。所以，對于壓桿穩(wěn)定性的研究，關鍵在 于確定壓桿的臨界力。16.2兩端較支細長壓桿的臨界力圖16-7a為一兩端為球形較支的細長壓桿，現(xiàn)推導其臨界力公式。圖 16-7根據(jù)前節(jié)的討論，軸向壓力到達臨界力時，壓桿的直線平衡狀態(tài)將由穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)?不穩(wěn)定。在微小橫向干擾力解除后，它將在微彎狀態(tài)下保持平衡。因此，可以認為能 夠保持壓桿在微彎狀態(tài)下平衡的最小軸向壓力，即為臨界力。選取坐標系如圖l6-7a所示，假想沿任意截面將壓桿截開，保留部分如圖 16-7b 所示。由保留部分的平衡得Mx

7、Fcrv(a)在式(a)中，軸向壓力Fcr取絕對值。這樣，在圖示的坐標系中彎矩 M與撓度v的符號總 相反，故式(a)中加了一個負號。當桿內(nèi)應力不超過材料比例極限時，根據(jù)撓曲線近似 微分方程有2(b)d v M x FcrVdx2 EI EI由于兩端是球較支座，它對端截面在任何方向的轉(zhuǎn)角都沒有限制。因而，桿件的微小I應該是橫截面的最彎曲變形一定發(fā)生于抗彎能力最弱的縱向平面內(nèi)，所以上式中的 小慣性矩。令式（b）可改寫為此微分方程的通解為式中C1、C2為積分常數(shù)。將式代入式（e）,得C2式（g）代入式（h）,有k2d 2v dx2FcrEI(c)k2v 0(d)C1sinkx C2coskx由壓桿兩

8、端較支這一邊界條件Cisinkx(e)(f)(g)(h)在式（i）中，積分常數(shù)Ci不能等于零,Csinkl0否則將使有v 0 ,這意味著壓桿處于直線平衡狀(i)態(tài)，與事先假設壓桿處于微彎狀態(tài)相矛盾，所以只能有sinkl 0(j)由式(j)解得kl n n0,12kU(k)因為n可取0, 1, 2,k2F cr22n F crl2EI普 n 0,1,2(l)中任一個整數(shù)，所以式（1）表明，使壓桿保持曲線形態(tài)平衡的壓力，在理論上是多值的。而這些壓力中，使壓桿保持微小彎曲的最小壓力，才是臨界力。取n=0 ,沒有意義，只能取n=1。于是得兩端較支細長壓桿臨界力公式式（16-1）又稱為 歐拉公式。Fcr

9、2eil2(16-1)在此臨界力彳用下，k= -p,則式（h）可寫成xv C1 sin l可見，兩端錢支細長壓桿在臨界力作用下處于微彎狀態(tài)時的撓曲線是條半波正弦曲線。將x 2-代入式（m）,可得壓桿跨長中點處撓度，即壓桿的最大撓度(m)vmaxv l C1 sin - -C1x 2l 2Cl是任意微小位移值。 Cl之所以沒有一個確定值，是因為式 （b）中采用了撓曲線的近 似微分方程式。如果采用撓曲線的精確微分方程式，那么Ci值便可以確定。這時可得到最大撓度Vmax與壓力F之間的理論關系，如圖 16-8的OAB曲線。此曲線表明，當 壓力小于臨界力Fcr時，F(xiàn)與Vmax之間的關系是直線 OA ,說

10、明壓桿一直保持直線平衡狀 態(tài)。當壓力超過臨界力 Fcr時，壓桿撓度急劇增加。 CiVmax圖 16-8在以上討論中，假設壓桿軸線是理想直線，壓力F是軸向壓力，壓桿材料均勻連續(xù)。這是一種理想情況，稱為理想壓桿。但工程實際中的壓桿并非如此。壓桿的軸線難以避免有一些初彎曲，壓力也無法保證沒有偏心，材料也經(jīng)常有不均勻或存在缺陷的情況。實際壓桿的這些與理想壓桿不符的因素，就相當于作用在桿件上的壓力有一個微小的偏心距 e。試驗結(jié)果表明，實際壓桿的 F與Vmax的關系如圖16-8中的曲線OD表示，偏心距愈小，曲線OD愈靠近OAB。16.3不同桿端約束細長壓桿的臨界力壓桿臨界力公式（16-1）是在兩端錢支的情

11、況下推導出來的。由推導過程可知，臨 界力與約束有關。約束條件不同，壓桿的臨界力也不相同，即桿端的約束對臨界力有 影響。但是，不論桿端具有怎樣的約束條件，都可以仿照兩端錢支臨界力的推導方法 求得其相應的臨界力計算公式，這里不詳細討論，僅用類比的方法導出幾種常見約束 條件下壓桿的臨界力計算公式。16.3.1 一端固定另一端自由細長壓桿的臨界力圖16-9為一端固定另一端自由的壓桿。當壓桿處于臨界狀態(tài)時，它在曲線形式 下保持平衡。將撓曲線 AB對稱于固定端 A向下延長，如圖中假想線所示。延長后撓 曲線是一條半波正弦曲線，與本章第二節(jié)中兩端較支細長壓桿的撓曲線一樣。所以，對于一端固定另一端自由且長為l的

12、壓桿，其臨界力等于兩端錢支長為21的壓桿的臨界力，即16.3.2 兩端固定細長壓桿的臨界力在這種桿端約束條件下，撓曲線如圖16-10所示。該曲線的兩個拐點 C和D分別 在距上、下端為 L處。居于中間的-長度內(nèi)，撓曲續(xù)是半波正弦曲線。所以，對于兩42端固定且長為1的壓桿，其臨界力等于兩端錢支長為；的壓桿的臨界力，即2EIF cr2J_216.3.3 一端固定另一端較支細長壓桿的臨界力在這種桿端約束條件下，撓曲線形狀如圖16-11所示。在距較支端 B為0.71處，該曲線有一個拐點Co因此，在0.71長度內(nèi)，撓曲線是一條半波正弦曲線。所以，對于一端固定另一端錢支且長為1的壓桿，其臨界力等于兩端錢支長

13、為0.71的壓桿的臨界力，即F cr2EI0.7l 2綜上所述，只要引入相當長度的概念，將壓桿的實際長度轉(zhuǎn)化為相當長度，便可 將任何桿端約束條件的臨界力統(tǒng)一寫Fcr2EI(16-2)稱為歐拉公式的一般形式。由式 （16-2）可見，桿端約束對臨界力的影響表現(xiàn)在系數(shù)上。稱 為長度系數(shù)，l為壓桿的相當長度，表示把長為l的壓桿折算成兩端錢支壓桿后的長度。幾種常見約束情況下的長度系數(shù)列入表16-1中。表16-1壓桿的長度系數(shù)壓桿的約束條件長度系數(shù)兩端錢支=1一端固定，另一端自由=2兩端固定=1/2一端固定，另一端錢支= 0.7表16-1中所列的只是幾種典型情況，實際問題中壓桿的約束情況可能更復雜, 對于

14、這些復雜約束的長度系數(shù)可以從有關設計手冊中查得。16.4歐拉公式的適用范圍經(jīng)驗公式16.4.1 臨界應力和柔度將式（16-2）的兩端同時除以壓桿橫截面面積A,得到的應力稱為壓桿的臨界應力F cr cr A2EIl 2 A(a)引入截面的慣性半徑i(16-3)將上式代入式（a）,得cr2E2l若令(16-4)則有cr2E(16-5)式（16-5）就是計算壓桿臨界應力的公式，是歐拉公式的另一表達形式。式中，J稱為壓桿的柔度或長細比，它集中反映了壓桿的長度、約束條件、截面尺寸和形狀等因素對臨界應力的影響。從式（16-5）可以看出，壓桿的臨界應力與柔度的平方成反比，柔度越大，則壓桿的臨界應力越低，壓桿

15、越容易失穩(wěn)。因此，在壓桿穩(wěn)定問題中，柔 度 是一個很重要的參數(shù)。16.4.2 歐拉公式的適用范圍在推導歐拉公式時，曾使用了彎曲時撓曲線近似微分方程式駕 "，而這個dx2EI方程是建立在材料服從虎克定律基礎上的。試驗已證實，當臨界應力不超過材樹比例極限p時，由歐拉公式得到的理論曲線與試驗曲線十分相符，而當臨界應力超過p時，兩條曲線隨著柔度減小相差得越來越大（如圖16-12所示）。這說明歐拉公式只有在臨界應力不超過材料比例極限時才適用，即圖 16-12cr與?；虍a(chǎn)P(b)若用p表示對應于臨界應力等于比例極限p時的柔度值,則(16-6 )p僅與壓桿材料的彈性模量E和比例極限p有關。例如，對

16、于常用的Q235鋼，E=200GPap =200MPa ,代入式（16-6）,得200 109 .200 10699.3從以上分析可以看出：當p時，cr p ,這時才能應用歐拉公式來計算壓桿的臨界力或臨界應力。滿足p的壓桿稱為細長桿或大柔度桿。16.4.3 中柔度壓桿的臨界應力公式在工程中常用的壓桿，其柔度往往小于pO實驗結(jié)果表明，這種壓桿喪失承載能力的原因仍然是失穩(wěn)。但此時臨界應力cr已大于材料的比例極限p ,歐拉公式已不適用，這是超過材料比例極限壓桿的穩(wěn)定問題。對于這類失穩(wěn)問題，曾進行過許多理 論和實驗研究工作，得出理論分析的結(jié)果。但工程中對這類壓桿的技算，一般使用以 試驗結(jié)果為依據(jù)的經(jīng)驗

17、公式。在這里我們介紹兩種經(jīng)常使用的經(jīng)驗公式：直線公式和 拋物線公式。1.直線公式把臨界應力與壓桿的柔度表示成如下的線性關系。cr a b(16-7)式中a、b是與材料性質(zhì)有關的系數(shù)，可以查相關手冊得到。由式(16-7)可見，臨界應力cr隨著柔度的減小而增大。«直線公式的票款。和*楮料的單位為MPh)114372* 一304L 1Z,鼻 471優(yōu)-4412.568 =3065784 744格制蝴SHOT癖祖1454強常JT32. 15摘7d 19必須指出，直線公式雖然是以p的壓桿建立的，但絕不能認為凡是p的壓桿都可以應用直線公式。因為當 值很小時，按直線公式求得的臨界應力較高，可 能早

18、已超過了材料的屈服強度 s或抗壓強度 b,這是桿件強度條件所不允許的。因此，只有在臨界應力cr不超過屈服強度若以塑性材料為例，它的應用條件可表示為s （或抗壓強度 b）時，直線公式才能適用。cr a b ci若用S表示對應于 s時的柔度值，則這里，柔度值鋼來說，ss是直線公式成立時壓桿柔度235 MPa,a=304MPa , b304當壓桿的柔度值滿足s稱為中柔度桿或中長桿。2.拋物線公式把臨界應力cr與柔度式中s是材料的屈服強度,sb的最小值，它僅與材料有關。對(16-8)Q2351.12MPa。將這些數(shù)值代入式（16-8）,得s 卡 61.6p條件時，臨界應力用直線公式計算，這樣的壓桿被的

19、關系表示為如下形式cr s 1 a c(16-9)a是與材料性質(zhì)有關的系數(shù)，c是歐拉公式與拋物線公式適用范圍的分界柔度，對低碳鋼和低鎰鋼c "Es(16-10)16.4.4小柔度壓桿當壓桿的柔度滿足s條件時，這樣的壓桿稱為小柔度桿或短粗桿。實驗證明，小柔度桿主要是由于應力達到材料的屈服強度s（或抗壓強度 b）而發(fā)生破壞，破壞時很難觀察到失穩(wěn)現(xiàn)象。這說明小柔度桿是由于強度不足而引起破壞的，應當以材料的屈服強度或抗壓強度作為極限應力，這屬于第二章所研究的受壓直桿的強度計算問題。若形式上也作為穩(wěn)定問題來考慮，則可將材料的屈服強度s （或抗壓弓度 b）看作臨界應力 cr ,即crs (或 b

20、)16.4.5臨界應力總圖綜上所述，壓桿的臨界應力隨著壓桿柔度變化情況可用圖16-13的曲線表示，該曲線是采用直線公式的臨界應力總圖，總圖說明如下：圖 16-131）當 p時，是細長桿，存在材料比例極限內(nèi)的穩(wěn)定性問題，臨界應力用歐拉公式計算。2）當s （或b） < p時，是中長桿，存在超過比例極限的穩(wěn)定問題，臨界應力用直線公式計算。3）當 s （或b）時，是短粗桿，不存在穩(wěn)定性問題，只有強度問題，臨界應力就是屈服強度s或抗壓弓II度 bo由圖16-13還可以看到，隨著柔度的增大，壓桿的破壞性質(zhì)由強度破壞逐漸向失 穩(wěn)破壞轉(zhuǎn)化。由式（16-5）和式（16-9）,可以繪出采用拋物線公式時的臨界

21、應力總圖，如圖 16-14 所示。圖 16-1416.5壓桿穩(wěn)定性計算從上節(jié)可知，對于不同柔度的壓桿總可以計算出它的臨界應力，將臨界應力乘以壓桿橫截面面積，就得到臨界力。值得注意的是，因為臨界力是由壓桿整體變形決定的，局部削弱（如開孔、槽等）對桿件整體變形影響很小，所以計算臨界應力或臨界力時可采用未削弱前的橫截面面積A和慣性矩I。壓桿的臨界力Fcr與壓桿實際承受的軸向壓力 F之比值，為壓桿的工作安全系數(shù) n, 它應該不小于規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)nst。因此壓桿的穩(wěn)定性條件為n 卷 nst（16-11）由穩(wěn)定性條件便可對壓桿穩(wěn)定性進行計算，在工程中主要是穩(wěn)定性校核。通常，nst規(guī)定得比強度安全系數(shù)高

22、，原因是一些難以避免的因素 （例如壓桿的初彎曲、 材料不均勻、壓力偏心以及支座缺陷等 ）對壓桿穩(wěn)定性影響遠遠超過對強度的影響。式（16-11）是用安全系數(shù)形式表示的穩(wěn)定性條件，在工程中還可以用應力形式表示穩(wěn)定性條件st(a)其中st式中 st為穩(wěn)定許用應力。由于臨界應力crnstcr隨壓桿的柔度而變，而且對不同柔度的(b)壓桿又規(guī)定不同的年I定安全系數(shù)nst ,所以， st是柔度 的函數(shù)。在某些結(jié)構(gòu)設計中，常常把材料的強度許用應力乘以一個小于1的系數(shù) 作為穩(wěn)定許用應力st,即st幾種常用材料壓桿的折減系數(shù)列于表式中 稱為折減系數(shù)。因為 st是柔度 的函數(shù)，所以 也是 的函數(shù)，且總有 1。 16

23、-3中，引入折減系數(shù)后，式（a）可寫為(16-12)致I&3 Q 234幅和AN銅中心受壓構(gòu)件的聽流系做中OI2345e78§0JC20304Q505070&0.90100120“1翻140160170190S1O220230240£5。L 000 0. 995 0. 9sl Oh班 0. 927 0."片 0- 84 之 0, 7M Ci. m0. 604 0. 53£ oim a tot 0. 349 值 30d0. 272 0. E43 0. 7.K 0. 197 (1. l&O 旬-小 0. 15 Q. 139 0-0*

24、120hooo 0.9940. 979i 0.制 a 923a. FX4 dH37 a 781 &您0網(wǎng)6 5970. 529O.39U0. 3440. 3030.州K a 240Oud 196a 17Ad ISO 0. 1380. 126LttJO6 993 二977 外,需3 0. 920 0 *79 Q.H32 0. 778 0*7190. 4S7 0,59! 0* 5210.390 口, 34。 0. »99 以球 0. 237 o zu 0 1<H 0. 17S 儂 Q*“9 0. 37 0* 1HLOGO 0. 992 . 975 0. !»S0

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27、. HO弓0. 749 o. 6鄴 O. «Zid 4酎 4工。4 318 0l281 0.251 a 225 0. 2CS Q.儂0. 1690. 1550. )43O. 132Q* 1*30. 997 孰995 0. 9«30, 9344 896 “ «51Ck «00 0. 743 d 682Utl75 550 0做 0- 413 0. 359 丁 1Ud. 27R a80.223Q，201 0- 18 JO H7 0.154G. 131 0-122G： 99G a 9«j 0. 261 (M3】 0.SS2 0 M7 0. 795 0.

28、737 0.676 a. Ell0. 543 0.473 0U07 0.3S4 0.310 0.575U. 320 a «« d )Si a 16« 0.152 gMl 0.1300. 121.-'例16-1 圖16-15為一用20a工字鋼制成的壓桿， 材料為Q235鋼，E=200Mpa ,p =200MPa ,壓桿長度I =5m , F=200kN 。若nst=2，試校核壓桿的穩(wěn)定性。出圖 16-15解(1)計算由附錄中的型鋼表查得2i y 2.12cm, iz 8.51cm , A=35.5cm。壓桿在i取小的縱向平面內(nèi)抗號剛度取小,max的縱向平面內(nèi)

29、lmaxi y0.5 52.12 10 2117.9(2)計算臨界應力，校核穩(wěn)定性_ 9200 109200 10699.3因為max p ,此壓桿屬細長桿，要用歐拉公式來計算臨界應力2Ecr2max23200 102117.92MPa 142MPaF cr A cr435.5 10142610 N504.13 10 N 504.1kNn反叫2.57F 200nst柔度最大，臨界應力將最小。因而壓桿失穩(wěn)一定發(fā)生在壓桿所以此壓桿穩(wěn)定。其 E=200MPa , p =200MPa ,例16-2 如圖16-16所示連桿，材料為Q235鋼,235MPa ,承受軸向壓力 F=110kN 。若nt=3 ,

30、試校核連桿的穩(wěn)定性。圖 16-16解 根據(jù)圖16-16中連桿端部約束情況，在xy縱向平面內(nèi)可視為兩端錢支；在XZ平面內(nèi)可視為兩端固定約束。又因壓桿為矩形截面，所以I y Iz根據(jù)上面的分析，首先應分別算出桿件在兩個平面內(nèi)的柔度，以判斷此桿將在哪 個平面內(nèi)失穩(wěn)，然后再根據(jù)柔度值選用相應的公式來計算臨界力。(1)計算在xy縱向平面內(nèi)，1, z軸為中性軸Iz h 6iz . cm 1.732cmA2.32；3在xz縱向平面內(nèi),lz 丁i z0.5, y軸為中性軸14 54.31.732iy2.5cm 0.722cm2.30.5 900.72262.3y 62.3。連桿若失穩(wěn)必發(fā)生在 xz縱向平面內(nèi)。

31、(2)計算臨界力，校核穩(wěn)定性maxp,該連桿不屬細長桿，不能用歐拉公式計算其臨界力。這里采用直線公式， 查表 16-2Q235 鋼的 a 304MPa,b 1.12MPaa s 304 235s 61.6b 1.12maxp,屬中等桿，因此cr ab max 304 1.12 62.3 MPa 234.2MPaFcrA cr 6 2.5 10 4 234.2 103kN 351.3kNcicinstFcr351.33.2F 110n st該連桿穩(wěn)定。例16-3螺旋千斤頂如圖16-17所示。起重絲杠內(nèi)徑 d 5.2cm ,最大長度l 50cm。材料為 Q235 鋼，E=200GPa,s 240M

32、Pa ,千斤頂起重量 F=100kN 。若nst= 3.5,試校核絲杠的穩(wěn)定性。圖 16-17解計算絲杠可簡化為下端固定，上端自由的壓桿4I d4 64d'A, d 4 444 2 505.277(2)計算Fcr ,校核穩(wěn)定性0.57200 1090.57 240 106120c,采用拋物線公式計算臨界應力Fcr A cr5.22 4Fcr nst ”二 197.5-3_103kN 419.5kN任4.2100nst千斤頂?shù)慕z杠穩(wěn)定。例16-4 某液壓缸活塞桿承受軸向壓力作用。已知活塞直徑D 65mm ,油壓p 1.2MPa。活塞桿長度l 1250mm，兩端視為較支，材料為碳鋼,p 2

33、20MPa ,E=210GPa。取n st 6 ,試設計活塞直徑 d。解(1)計算Fcr活塞桿承受的軸向壓力2_ _ 3 2_ _ 6 .F -D2p - 65 10 31.2 106 N 3982N44活塞桿工作時不失穩(wěn)所應具有的臨界力值為Fcr nstF 6 3982N 23892N(2)設計活塞桿直徑因為直徑未知，無法求出活塞桿的柔度，不能判定用怎樣的公式計算臨界力。為 此，在計算時可先按歐拉公式計算活塞桿直徑，然后再檢查是否滿足歐拉公式的條件F cr2E d42eie 64I T-6423892Nl 2l2_ _264 23892 1.252 m 0.0246m3 210 109可取d

34、25mm ,然后檢查是否滿足歐拉公式的條件2cr s 1ac2401 0.43 77-MPa 197.5MPa1204 12502002597由于p ,所以用歐拉公式計算是正確的。16-5 簡易吊車搖臂如圖16-18所示，兩端錢接的 AB桿由鋼管制成，材料為Q235鋼，其強度許用應力140MPa ,試校核 AB桿的穩(wěn)定性。圖 16-18解(1)求AB桿所受軸向壓力，由平衡方程Mc 0, F 1500 sin 302000FQ 0得F 53.3KN (2)計算I 1 12i ,、.D2 dA 42一2502 402 mm416mm1500li(3)校核穩(wěn)定性據(jù) 108,查表16-3得折減系數(shù)st

35、cos 30108160.55,穩(wěn)定許用應力0.55 140MPa 77MPaAB桿工作應力MPa75.4MPa53.3 1022502 402104st，所以AB桿穩(wěn)定。例166由壓桿撓曲線的微分方程， 導出一端固定，另一端錢支壓桿的歐拉公式。解一端固定、另一端錢支的壓桿失穩(wěn)后，計算簡圖如圖16-19所示。為使桿件平衡,上端錢支座應有橫向反力F o于是撓曲線的微分方程為設k2號，則上式可寫為以上微分方程的通解為由此求出v的一階導數(shù)為FcrF圖 16 19d2v M (x)dx2 EIF crvF(l x)EIEId2vdx2k2v一(lEIx)F ，、v Asinkx Bcoskx (l x

36、) FcrdvdxAkcoskx Bksin kxFFcr0,dv dx壓桿的邊界條件為x 0 時， vx l 時， v把以上邊界條件代入B l 0FcrAk 0F crAsin kl Bcoskl 0這是關于A ,B和 E 的齊次線性方程組。因為A ,B和工不能都為零，所以其系FcrFcr數(shù)行列式應等于零，即01lk010sinklcoskl0展開得tgkl kl上式超越方程可用圖解法求解。以kl為橫坐標，作直線y kl和曲線y tgkl （圖16-20）,其第一個交點得橫坐標Kl = 4.49顯然是滿足超越方程得最小根。由此求得16.6提高壓桿穩(wěn)定性的措施通過以上討論可知，影響壓桿穩(wěn)定性的

37、因素有：壓桿的截面形狀，壓桿的長度、 約束條件和材料的性質(zhì)等。因而，當討論如何提高壓桿的穩(wěn)定件時，也應從這幾方面 入手。1 .選擇合理截面形狀從歐拉公式可知，截面的慣性I越大，臨界力Fcr越高。從經(jīng)驗公式可知。柔度越小，臨界應力越高。由于 ,所以提高慣性半徑i的數(shù)值就能減小的數(shù)值。i可見，在不增加壓桿橫截面面積的前提下，應盡可能把材料放在離截面形心較遠處， 以取得較大的I和i,提高臨界壓力。例如空心圓環(huán)截面要比實心圓截面合理如果壓桿在過其主軸的兩個縱向平面約束條件相同或相差不大，那么應采用圓形 或正多邊形截面；若約束不同，應采用對兩個主形心軸慣性半徑不等的截面形狀，例如矩形截面或工字形截面，以

38、使壓桿在兩個縱向平面內(nèi)有相近的柔度值。這樣，在兩個相互垂直的主慣性縱向平面內(nèi)有接近相同的穩(wěn)定性。2 .盡量減小壓桿長度由式（16-4）可知，壓桿的柔度與壓桿的長度成正比。在結(jié)構(gòu)允許的情況下，應盡可能減小壓桿的長度；甚至可改變結(jié)構(gòu)布局，將壓桿改為拉桿（如圖16-21a所示的托架改成圖16-21b的形式）等等。圖 16-213 .改善約束條件從本章第三節(jié)的討論看出，改變壓桿的支座條件直接影響臨界力的大小。例如長 ,2EI為l兩端錢支的壓桿，其1, Fcr 廠。若在這一壓桿的中點增加一個中間支座l2或者把兩端改為固定端（圖16-22）。則相當長度變?yōu)閘 :,臨界力變?yōu)?一2 一EI 4 EIFcr2

39、2J_ l2圖 16-22可見臨界力變?yōu)樵瓉淼乃谋丁Ｒ话阏f增加壓桿的約束，使其更不容易發(fā)生彎曲變形, 都可以提高壓桿的穩(wěn)定性。4.合理選擇材料由歐拉公式（16-5）可知，臨界應力與材料的彈性模量E有關。然而，由于各種鋼材的彈性模量E大致相等，所以對于細長桿，選用優(yōu)質(zhì)鋼材或低碳鋼并無很大差別。對于中等桿，無論是根據(jù)經(jīng)驗公式或理論分析，都說明臨界應力與材料的強度有關，優(yōu)質(zhì)鋼材在一定程度上可以提高臨界應力的數(shù)值。至于短粗桿，本來就是強度問題，選 擇優(yōu)質(zhì)鋼材自然可以提高其強度。16-1 圖示各根壓桿的材料及直徑均相同，試判斷哪一根最容易失穩(wěn)，哪一根最 不容易失穩(wěn)。16-2圖示壓桿的材料為 Q235鋼，

40、在圖a平面內(nèi)彎曲時兩端為錢支，在圖b平面內(nèi)彎曲時兩端為固定，試求其臨界力。題16-2圖16-3 圖中所示為某型飛機起落架中承受軸向壓力的斜撐桿。桿為空心圓管，外徑 D=52mm 內(nèi)徑 d=44mm , l 950mm 。材料為 30CrMnSiNi2A , b 1600MPa ,crp 1200MPa , E=210GPa。試求斜撐桿的臨界壓力Fcr和臨界應力題16-3圖16-4三根圓截面壓桿，直徑均為d=160mm ,材料為 Q235鋼，E=200GPa ,s 235MPa。兩端均為錢支，長度分別 小12和13,且li 212 4卜5m ,試求各桿 的臨界壓力Fcr。16-5無縫鋼管廠的穿孔頂桿如圖所示。桿端承受壓力。桿長 1 4.5m ,橫截面直 徑d=15cm。材料為低合金鋼，E=210GPa。兩端可簡化為較支座，規(guī)定的穩(wěn)定安全系 數(shù)為nst 3.3。試求頂桿的許可載荷。題16-5圖題16-6圖16-6由三根鋼管構(gòu)成的支架如圖所示。鋼管的外徑為30mm ,內(nèi)徑為22mm ,長度1 2.5m , E=210GPa。在支架的頂點三桿錢接