圓錐曲線設而不求法典型試題剪輯

1、圓錐曲線設而不求法典型試題剪輯例1,弧ADB為半圓，AB為直徑，。為半圓的圓心，且 OD垂直于AB , Q為半徑OD的中點，已知 AB長為4, 曲線C過Q點，動點P在曲線C上運動且始終保持/PA/+/PB/的值不變。過點 D的直線與曲線 C交于不同的兩點M、N,求三角形OMN面積的最大值。2例2:已知雙曲線x2-y2/2=1,過點M(1,1)作直線L,使L與已知雙曲線交于 Qi、Q2兩點，且點 M是線段Q1Q2的中 點，問：這樣的直線是否存在？若存在，求出 L的方程；若不存在，說明理由。解：假設存在滿足題意的直線L,設Qi(Xi,Yi), Q2(X2,Y2)代人已知雙曲線的方程，得xi2- y

2、i2/2=l，x22-y22/2=1-，得(x2-xi)(x2+xi)-(y 2-yi)(y2+yi)/2=0。當xi=x2時，直線L的方程為x=i,此時L與雙曲線只有一個交點(i,0)不滿足題意;當 xi 歡2 時，有(y2-yi)/(x2-xi)=2(x2+xi)/(y2+yi)=2.故直線L的方程為y-i=2(x-i)檢驗：由 y-i=2(x-i) , x2-y2/2=i,得 2x2-4x+3=0，其判別式=-8 <0,此時L與雙曲線無交點。綜上，不存在滿足題意的直線 例3,已知，橢圓C以過點A (i, 3),兩個焦點為(i, 0) (i, 0)。2(1)(2)求橢圓C的方程；AE

3、的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值,E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線 并求出這個定值。(I)解 由題意，c=i,可設橢圓方程為因為A在橢圓上，所以x2所以橢圓方程為一4ii b22L i.3i 9 4b2b22y4b2i,解得b2,23 人，=3, b = 一(舍去)。4(II)證明設直線AE方程：得yk(xi),代入24/223(3+4k2) x +4k(3 2k)x 4( 2k)2i2 0設 E ( xe , Ye ), F ( xf , Yf3,一-)在橢圓上,所以xE3 o4(2 k)2 123 4k2'yEkxE又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，

4、在上式中以4(2 k)2 123 4k2所以直線EF的斜率kEF 注莊 上土一生)一2k 1xF xExF xE2即直線EF的斜率為定值,一 1其值為1。22xa4,已知直線x 2y 2 0經過橢圓C:和橢圓C上位于x軸上方的動點，直線,(1)求橢圓C的方程；(2)求線段MN的長度的最小值;2AS, BS與直線10八，、l : x 分別交于M , N兩點凸34 1(a b 0)的左頂點A和上頂點D,橢圓C的右頂點為B ,點S b2解 方法一 (1)由已知得，橢圓 C的左頂點為A( 2,0),上頂點為D(0,1), a 2,b 1故橢圓C的方程為(2)直線AS的斜率從而M (一, 310 16k

5、2x 2.1 y 1k顯然存在，且k 0,y k(x 2)故可設直線AS的方程為y k(x 2),設 S(x1,y)貝U( 2),x2x416k22 得(1y2 1224 24k )x 16k x-216k4 0,即S(2 8k24k2 ,11 (x4k1031 4k28k22 ,從而y14k24k1 4k20,當且僅當4k竺f 又 B(2,0)4k| MN |16k2)得10313k10Nq，1 一)故|MN | 3k16k13 3k3 3k16k3工，即13k2 16k 1 3 3k1,一時等號成立41k -時，線段MN的長度取最小值 43例5.已知點OA,OB滿足x2, y2) (x1x

6、2 0)是拋物線 y22 px( p 0)上的兩個動點,O是坐標原點，向量22.設圓C的萬程為x y(xi x?)x (yi 幻、00(1)證明線段AB是圓C的直徑；(2)當圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為 生5時，求p的值口22OA OB,OA2 2成員 OB2 OA2 2OA OB OB 整理得：OA OB解析：(I)證明1:，xi x2yi y20設M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點 即(x xi)(x x2) (y yi)(y y 0 整理得：x2 y2 (xi x2)x (yi y2)y 0，則故線段AB是圓證明2:尚同 向 可,(OA OB)2 (OA OB

7、)OA2 2OA OBXi X2yi y200.(1)設(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則即 y一y2 y_y_i(x xi, x x2)X X2 x xi去分母得：(X Xi)(x X2) (y yi)(y y) 0點(xi, yi),(xi, y2),( X2, yi)(x2, y?)滿足上方程，展開并將(i)代入得：22X y(Xi X2)x (yi y)1 0故線段AB是圓證明3:'OA OB|, 7、Oa2 21曷 OB2 Oa2 20A OB Ob 整理得：OA OBOB)2OB)2xi x2yi y00(i)以線段AB為直徑的圓的方程為(xxix2)2(yYiy2 2

8、i22) Z(XiX2)(yiy2)展開并將(i)代入得：22X y (Xi X2)x (yi y2)y 0故線段AB是圓C的直徑(II)解法i：設圓xix2C的圓心為C(x,y),則%x22yi y222pxi,y2222yi y22 Px?(p 0)4P2X2yi y2X X2yi y222yi y25, Xi X2yi y20,XiX 2X24p2，yi4p2 i4py2(yi22 y22yiy2y2 2y1y2)- 4pi 22(y2 2p2)p所以圓心的軌跡方程為2PX 2 p設圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則d IX 2y| d .5I(y p)2i 22I 一(y2 2p2

9、) 2y| p5p2 I當y=p時,d有最小值 上,由題設得 P 、.55p 2.解法2:設圓C的圓心為C(x,y),則yI yiXiX2Xi X22yi y2222pXi,y22 pX2(p22yi y20)y2 2py 2 p2 |2.55又因XiX24p2yi y20Xi X2yi y2, Xi X2yi y2X2yi y222yi y24p20, yi y2X24p2i ,2(yi4p2 y2i /2(yi4py222yly2)第pX 2p2i 22一(y 2p ) p所以圓心的軌跡方程為設直線X-2y+m=0到直線X-2y=0的距離為2 .5皿，則5m 2因為 X-2y+2=0 與 y2pX 2 p2無公共點所以當X-2y-2=0與y222.5pX 2 p僅有一個公共點時，該點到直線X-2y=0的距離最小值為X 2y 2 0| I(2)y2 px 2p2 ”(3)將(2)代入(3)得 y2 2py 2p2 2p 02_2_|( 4p 4(2 p 2p) 01P 0p 2.解法3:設圓C的圓心為C(x,y),則XiX22yiy22圓心C到直線X-2y=0的距離為d,則XiX2I 2(yiy2)IXlX2、.522pXi,y22 PX2(p 0)22yi y2又因