北京市城六區(qū)2019屆高三期末數(shù)學(文)解答題分類匯編之導(dǎo)數(shù)Word版含答案

1、【海淀】20.(本小題滿分13分)2已知函數(shù)f(x)=aF,其中a >0.e(I)當a=3時，求曲線y=f(x)在點(1, f (1)處的切線方程;2(n)求證：當 x >0時，f(x)>.e2a - x20.解：(I)因為 f (x)= e所以 f'(x) =x2 -2x-aexx2 -2x -3當 a =3 時，f '(x) =xe所以 f'(1)=0 ,而 f(-1) =2e曲線y = f(x)在(1, f (1)處的切線方程為y=2e(n)法一：因為 f'(x) =x -2,令 f '(x) =0 ex得 X =1 - 1 a,

2、 x2 =11 a顯然當a>0時， <0, x2 >2所以x , f '(x) , f (x)在區(qū)間(0, y)上的變化情況如下表x(0，x2)x2%士)f'(x)0+f(x)極小值Zf(x2) I所以f(x)在區(qū)間(0,x2)上單調(diào)遞減，在(x2,y)單調(diào)遞增, 所以f(x)在(0,y)上的最小值為f(x2),所以只需證明因為 x22 -2x2 -a =0 ,所以 f (用)=x =舉e 2 e 2-2x 1設(shè) F(x)=x,其中 x>2 e所以F'(x)="苫=空> ee當x>2時，F(xiàn)'(x)>0,所以F(

3、x)在區(qū)間(2,F)單調(diào)遞增,一 一 2因為X2>2,所以f(X2)=F(X2)>F(1)=,問題得證 e22因為a>0,所以當x>0時，f(x)=E?>= e e2-x設(shè) F(x)=-，其中 x >0ex所以F '(x):x2 2x x(x 2)所以x , F '(x), F(x)的變化情況如下表x(0,2)2(2,fF'(x)0+F(x)極小值Z所以F(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,飛)上單調(diào)遞增, 442 2e 4所以函數(shù)F(x)在x=2時取得最小值F(2) = ',而()=>0 e e e e一,.2所

4、以 x >0時 F (x) > 一一e2 、一一所以f(x)>F(x) ,問題得證 e法三：2a - x2因為“對任意的x>0, -x”等價于“對任意的 ee2ex +e(a - x2) A0”即 “x>0, 2e +e(a_x)>0”，故只需證 “ x>0 時, e設(shè) g(x) =2ex +e(a -x2),其中 x之0所以 g'(x) =2ex -2ex設(shè) h(x) =g'(x) , h'(x) =2ex -2e,令 h'(x) =0 ,得 x =1所以x, h'(x), h(x)的變化情況如下表x(0,1)

5、1(1*)h'(x)0+h(x)極小值Z所以h(x)在x=1處取得極小值，而 h= 2e_2e=0所以h(x) _0所以x>0時，g'(x) >0 ,所以g(x)在(0,飛)上單調(diào)遞增，得g(x)>g(0)而g(0) =2>0,所以g(x)0問題得證【西城】20.(本小題滿分13分)已知函數(shù)f (x) =lnxx + a,其中a R R .(I)如果曲線 y = f (x)與x軸相切，求a的值；(n)若 a=ln2e ,證明：f(x)<x ;f (x)(m)如果函數(shù)g(x) = V 在區(qū)間(1, e)上不是單倜函數(shù)，求 a的取值范圍. x20.(本

6、小題滿分13分)解：(I)求導(dǎo)，得 f，(x)=l1=3, 1x x分因為曲線y = f (x)與x軸相切，所以此切線的斜率為 0, 2分由 f '(x) = 0 ,解得 x =1 ,又由曲線y = f(x)與x軸相切，得 f (1) = -1 + a = 0 ,解得a =1 3分(n)由題意，f(x) =lnxx+ln2e,令函數(shù) F(x) = f(x)x=lnx2x + ln2e, 4分11 -2x求導(dǎo)，得 F (x) =1 -2 =,xx, 一 1由 F (x) = 0 ,解得 x = 一， 2當x變化時，F(xiàn) '(x)與F(x)的變化情況如下表所示：x嗎12(3*)F&#

7、39;(x)+0F(x)極大值 一 ，1 ,、，、一一，1 所以函數(shù)F(x)在(01)上單調(diào)遞增，在(/，收)上單調(diào)遞減，一 11、 ，1 , C C故當 x=Q 時，F(xiàn)(x) max=F() =ln 2 1+ln2e=0 ,所以任給 xW(0,8)，F(xiàn)(x) = f(x)x< 0,即 f (x)<x . 7分(出)由題意，得g(x)二曾Jnx.j a xx求導(dǎo)，得g (x)=x - 2ln x 1 - 2a3x因為xW(1, e),所以g'(x)與h(x)=x2ln x+12a的正負號相同2 x -2Xh(x)求導(dǎo)，得 h (x) =1 =x x由 h'(x) =

8、0 ,解得 x = 2 .當x變化時，h(x)與h(x)的變化情況如下表所示:x(1,2)2(2,e)h(x)0+h(x)極小值所以h(x)在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,e)上單調(diào)遞增又因為 h(1) = 22a , h(e) =e-1-2a ,所以 h(x)min =h(2)=32ln22a； h(x)max = h(1) = 2 2a . 10 分如果函數(shù)g(x)=22。在區(qū)間(1, e)上單調(diào)遞增，則當xW(1,e)時，gx)> 0 . x所以 h(x)>0 在區(qū)間(1, e)上恒成立，即 h(x) min = h(2) =3 2ln 2-2a”, 一 3-3解得a<

9、 2 -ln 2 ,且當a=2ln2時，g (x)=0的解有有限個，3即當函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,e)上單倜遞增時，a(一 ln2; 11分2如果函數(shù)g(x) =f(1x)在區(qū)間(1,e)上單調(diào)遞減，則當 xW(1,e)時，g'(x)w0, x所以 h(x)<0 在區(qū)間(1, e)上恒成立，即 h(x)max=h(1) = 22aW0,解得a>1 ,且當a=1時，g'(x)=0的解有有限個,所以當函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,e)上單調(diào)遞減時，ai> 1.(2) 12分因為函數(shù)g(x) = f (?在區(qū)間(1, e)上不是單調(diào)函數(shù)， x結(jié)合，可得3 -ln 2 &l

10、t;a <1 ,2所以實數(shù)a的取值范圍是 3_ln2<a<1. 13分2【東城】(19)(本小題13分)已知函數(shù) f (x) = axex- - x2 - x , aCR. 2(i)當a=1時，求曲線y= f(x)在點(0, f(0)處的切線方程；(n)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.(19)(共 13 分)解：(I ) f (x)的定義域為R ,f (x) = aex(x+ 1)- x- 1 = (x + 1)(aex- 1).當 a= 1 時，f'(0) = 0, f(0)= 0,所以曲線y = f(x)在點(0, f(0)處的切線方程為y = 0. .7分(n ) f (

11、x) = aex(x+ 1)- x- 1 = (x+ 1)(aex- 1).(1)當 a £0時，aex- 1< 0 ,所以當 x> - 1 時，f (x)< 0 ；當 x< - 1 時，f (x) > 0 .所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-十T),單調(diào)遞減區(qū)間為(T, +8). '(2)當 a> 0時，令 f (x) = 0 ,得 Xi 二-1 , x2 = - ln a.當-ln a = - 1,即 a = e時，f (x)3 0 ,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-十+8),無單調(diào)遞減區(qū)間;當-ln a< - 1 ,即a>

12、e時,f (x)> 0 .,lna), (- 1,+ ?)；當-ln a < x< - 1 時，f (x)< 0 ；當 x< - ln 2或乂> - 1 時,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-lna,- 1),單調(diào)遞增區(qū)間為(-?當-lna> - 1 ,即 0< a< e時，當-1< x< - ln a時，f'(x)< 0 ；當 x< - 1或乂> - ln a 時，f'(x)> 0 .所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,- lna),單調(diào)遞增區(qū)間為(-? , 1), (- lna,+ ?)

13、. 13分【朝陽】20.(本小題滿分13分)已知函數(shù) f (x) = xex - m(x 1)2( m _ 0).2(i)當m=0時，求函數(shù)f(x)的極小值；(n)當m>0時，討論f(x)的單調(diào)性；(m)若函數(shù)f (x)在區(qū)間(-g,1)上有且只有一個零點，求 m的取值范圍.20.(本小題滿分13分)解：(I)當 m=0時：f'(x) =(x+1)ex,令 f'(x) =0解得 x = T ,又因為當xW(0°,T), f'(x)<0,函數(shù)f(x)為減函數(shù)；當x11,")，f'(x) A0,函數(shù)f(x)為增函數(shù).1所以，f(x)的

14、極小值為f(1) = . 3分e(n) f (x) =(x +1)(ex -m).當 m > 0時，由 f '(x) = 0 ,得 x = T 或 x = ln m.1.v 1()若m ,則f (x) =(x+1)(ex )之0 .故f (x)在(卬尸)上單調(diào)遞增； ee1(ii)右 m a，則 ln m >1.故當 f (x) a 0 時，x < 一1 或x > ln m ；e當 f(x)<0時，1<x<lnm.所以f(x)在(-i,-1 ), (lnm,收 件調(diào)遞增，在(1,ln m)單調(diào)遞減.，一 13)若0 <m <-，則

15、ln m< -1.故當 f (x) a0時，x <ln m或 x> -1 ； e當 f '(x) <0時，In m<x<1.所以f (x)在(-«,lnm ), (-1,代)單調(diào)遞增，在(lnm,-1)單調(diào)遞減.8分(出)(1)當 m = 0時，f(x) =xex,令 f (x) =0 ,得 x = 0.因為當 x<0時，f(x)<0,當 x>0時，f(x)>0,所以此時f(x)在區(qū)間(8,1)上有且只有一個零點.(2)當 m>0時：11(i)當m =時，由(n)可知f (x)在(*尸)上單倜遞增，且f (1)

16、 = < 0 , ee2f(1)=e_£>0,此時f(x)在區(qū)間(口,1)上有且只有一個零點.e,1 , ，(ii)當 mA 時，由(n)的單調(diào)性結(jié)合f (1)<0 ,又 f(ln m) < f(-1)<0,e只需討論f (1) = e2m的符號：.1e當一 <m<一時，f (1)>0 , f (x)在區(qū)間(一°0 ,1)上有且只有一個零點；e2e當m之鼻時，f(1)<0 ,函數(shù)f(x)在區(qū)間(*,1)上無零點.1(iii )當 0cm<1 時，由(n)的單調(diào)性結(jié)合f(1)<0 , f(1) = e 2m&g

17、t;0 ,ef (ln m) =mln2 mm <0 ,此時f (x)在區(qū)間(一°0,1 )上有且只有一個零點2 2綜上所述，0Wm<£. 13分2【豐臺】20.(本小題13分)已知函數(shù)f(x)=xsinx.(I)求曲線y=f(x)在點(3 f(3)處的切線方程;22(n)求證：當 xw(0,3)時，0<f(x)<1x3. 2620.(共 13 分)解：(I )因為 f(X)=1 cosx.所以 f (2)=1 , f(-)=-1 ,22222，22整理得：xy1=05分所以曲線y = f(x)在點(三，fd)處的切線方程y_ +1=(x_2I).(

18、n)先證 f(x) 0.因為 f'(x) =1 cosx , x(0,-), 2所以f(x) 0.所以函數(shù)f(x )在(0，)上單調(diào)遞增, 2所以 f(x)>f(0)=0,即 x sinx >0.再證 f (x) - x3.6、-1 3設(shè) g(x) =f (x )-x ,61 2貝U g (x) =1 cosx一x ,2設(shè) h(x) =1 -cosx _；x2,則 h (x) =sin xx ,由可知 h(x)<0,所以h(x)在(0,-)上單調(diào)遞減，h(x) < h(0) = 0. 2所以 xW (0,1)時，g'(x)<0.TT所以g(x)在(0,二)上單調(diào)遞減，g(x) Mg(0) = 0.21 3即f x x .6綜合可知：當xW(0一)時，0<f(x)<°x3.26【石景山】20.(本小題13分)已知函數(shù) f (x) =(x+a)ln x .(I)當a =0時，求