九年級數(shù)學圓中的計算問題華東師大版知識精講

1、九年級數(shù)學圓中的計算問題華東師大版【同步教育信息】一.本周教學內容：圓中的計算問題【知識與技能】1 .探索歸納圓的弧長、扇形面積公式，會恰當運用公式進行弧長、扇形面積的有關計算。2 . 了解圓柱、圓錐的特征，認識圓柱、圓錐的側面展開圖分別是矩形、扇形，并會計算 側面積及全面積?！具^程與方法】在探索歸納弧長、扇形面積公式時，體現(xiàn)了 “從特殊到一般”的數(shù)學思維方法。【情感、態(tài)度、價值觀】在探求公式過程中，提高推理、歸納能力及應用意思，培養(yǎng)與他人合作能力，進一步 發(fā)展我們對立體圖形的了解，同時也增強空間立體感。【教學過程】n r1 .弧長公式：l 180n表示“ 1。”的圓心角的倍數(shù)，在應用公式計算

2、時,注意：(1)在弧長公式中, 和“ 180”不應再寫單位。(2)在計算時，若題目中沒有標明精確度， 可以用“ ”表示弧長，如弧長是315等。(3)在弧長公式中已知1、n、r中的任意兩個量都可以求出第三個量。2 .扇形：(1)定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形。如圖:(2)周長：扇形的周長等于弧長加上兩個半徑的長，即 1 2r。 2(,_ n r 3 c 1 I(3)面積：S 或 S -1r3602注意：公式S n±-中的“ n”與弧長公式中“ n”的意義一樣，表示“ 1?！眻A心 360角的倍數(shù)，參與計算時不帶單位。1 1 .S 11r與三角形面積公式

3、S 1ah十分相似，為了便于記憶，可以把扇形看作曲2 2邊三角形，把弧長看作底，半徑r看作底邊上的高。2 n r 如：已知半徑r、圓心角度數(shù)求 S,用S -注意二個公式的區(qū)別。360一， 一 , e 1已知半徑r、弧長l求S,用S lr。2已知：S、1、n、r四個量中任意兩個量，可以求出另外兩個量。3 .圓柱的側面積與全面積(1)側面展開圖是矩形，一組對邊等于母線長，另一組對邊等于底面圓的周長。(2) S柱側 2 rh (r為底面半徑，h為高)(3)S Sfiij 2s底注意：圓柱有無數(shù)條母線，母線長等于圓柱的高。4 .圓錐的有關概念圓錐是由一個底面和一個側面圍成的，如圖(1),我們把圓錐底面

4、圓周上任意一點與圓錐頂點的連線叫做圓錐的母線，連結頂點與底面圓心的線段叫做圓錐的高。(1)用心 愛心專心5 .圓錐的側面積和全面積沿著圓錐的母線，把圓錐的側面展開，得到一個扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面 的周長，而扇形的半徑等于圓錐的母線長。如圖(2)所示，若圓錐的底面半徑為r,母線長為a,則它的側面積:1a 2 r a2S側S底rara注意：圓錐有無數(shù)條母線,圓錐的母線長不等于圓錐的高。圓錐的母線長為側面展開后扇形的半徑，注意與圓錐底面半徑區(qū)分。6 .陰影部分面積的求法常用的有公式法、割補法，還有等積變形法、方程法、對稱法等?！镜湫屠}】例1. 一圓弧的圓心角為 300。，它所對的弧長等于

5、半徑為6cm的周長，求該圓弧所在圓的半徑。分析：已知弧長與圓周長之間的關系，考慮運用弧長公式和圓周長公式。解：設弧所在圓的半徑為 R300 R根據(jù)題意得：2 6180解得：R 72 (cm)說明：弧長公式中l(wèi) nR中，三個量1、n、R已知其中兩個量，都可以求出第三個 180量，其中n沒有單位，1與R的單位要一致。例2.如圖，正 ABC內接于。O,邊長為4cm,求圖中陰影部分的面積。A分析：連結OA、OC,陰影部分面積看作是扇形 AOC與4AOC的面積之差，所以關 鍵是求。的半徑及/ AOC。此題考查組合圖形面積的求法及扇形面積公式等。解：連結BO并延長交AC于E,連結OA、OC. ABC是正三

6、角形且內接于。 O BEX AC1AE AC 2cm2/AOC = 120° , /AOE = 60°在OARt AEO 中,AEsin 603cm 3OE1 -OA 223cm3S扇形AOC2n R212016360360S 陰S扇 AOCS AOC216一334、33332cm本題還可另解:S陰影SOOABC例3.如圖，。A、OB、OC、OD、OE相互外離，它們的半徑都是1,順次連接五個圓心得五邊形 ABCDE ,求圖中五扇形（陰影部分）的面積之和。分析：由已知可知圖中每個扇形面積不能單獨求出，因為不知圓心角的度數(shù)。仔細分析可得五個扇形的圓心角恰為五邊形ABCDE的五個

7、內角，因此，可以利用“整體代入”法來完成。解:SK由扇形面積公式R2360 n R2360n R2360S360R2 .360n R2,得陰影部分面積為:2180R2360c1R23602說明：“整體代入”的方法是一種常用的、新穎的方法。例4.如圖，圓柱的高為 50厘米，底面圓的周長為 120cm, 一只螞蟻從 A點出發(fā)繞圓柱 的側面，爬到圓柱的母線AB的另一端B,求螞蟻爬行的最短路線長。A分析：螞蟻爬行的路線是一條曲線，如何求呢？若將圓柱的側面沿母線AB展開，則螞蟻爬行的路線即矩形上 A到B的連線，由兩點之間線段最短，可求得最短路線長。解：將圓柱側面沿母線 AB展開，則 AC 120厘米，B

8、C 50厘米在Rt ACB中，由勾股定理得：AB , AC2 BC2130 （cm）所以螞蟻的最短路線長為 130cm。例5.在手工課上甲、乙兩名同學合作，將半徑為1米，圓心角為90。的扇形薄鐵片圍成 一個圓錐筒，在計算圓錐的容積時（接縫忽略不計），甲認為圓錐的高就等于扇形的圓心 。到弦AB的距離OC （如圖），乙說這樣計算不正確，你同意誰的說法？把正確的計算過 程寫出來。分析：只要對照一下圓錐高的定義，就知道甲的想法是錯誤的，乙的說法正確。解：在圖（1）中，OC因為在圖（2）中，。O'的周長等于圖（1）中AB的長一一 90 . OA1所以，2 O'A , OA 1, O

9、9;A 一1804一22152所以，OO' 、OA2 O'A242故：甲的說法不正確例6.若圓柱的側面展開圖是一個矩形，如圖，對角線 AC=8, Z CAB =30° ,求圓柱的 底面積。DcQ 30°AB分析：已知AC =8, / CAB =30° ,可求出矩形的邊長。圓柱側面展開圖是矩形，矩 形一邊長為母線長，另一邊等于底面圓周長。解：在 Rt ABC 中，AC =8, / CAB = 30°BCAC sin 308 1 42AB,3AC - cos30 8 4v13 2設圓柱的底面半徑為 R（1）若AD為母線長，則 AB為底面圓的周

10、長2 R2 34V3, R S24 312R（2）若AB為母線，則AD為底面圓的周長22 R 4, R S R2.1234故圓柱的底面積為 或一說明：本題主要應理解圓柱的側面展開圖為矩形，相鄰兩邊為母線長和底面圓的周長, 因此在題目中沒有指明哪一邊為母線（或底面周長）時，該類型必有兩種情況。例7.如圖，已知半圓的直徑 AB = 12厘米，點C、D是這個半圓的三等分點，求弦 AC、AD和CD圍成的陰影部分面積。（結果用表示）分析：連 OC、OD,則可證 CD/AB, / COD = 60 ° 則 S COD S CADS陰S扇形COD解：連OC、ODC、D是半圓的三等分點/ CDA =

11、 / BAD , / COD = 60°.CD / ABS CAD S CODccc2S陰S扇COD 6（平方厘米）360說明：本題運用的方法叫等面積變換法，這是一個重要的方法。例8.如圖，在 ABC中，/ C = 90° ,AC>BC,若以AC為底面圓半徑,BC為高的圓錐的側面積為S1 ,以BC為底面圓半徑,AC為高的圓錐的側面積為 S2，則（A. &C. S1S2S2CB. S1S2D. S1、S2的大小關系不確定分析：分別算出&、S2再進行比較。解：S1S2AC AC AB BC - ABBCSiS2選B說明：圓錐也可以看做是直角三角形繞一條直角

12、邊旋轉一周而成的圖形。例9.在半彳5為27米的圓形廣場中央點 O的上空安裝一個照明光源S, S射向地面的光束是圓錐形，其軸截面SAB的頂角為120° （如圖所示），求光源離地面的垂直高度SO（精確到0.1米）（72 1.414, J3 1.732,而 2.236,以上數(shù)據(jù)供參考）AA O分析：BO = 27 米，/ BSA=120° ,則/ BSO = 60° , 解：在4SAB 中，SA=SB, Z ASB = 120°.SOX AB.O 為 AB 中點，且/ ASO = /BSO = 60°在 Rt ASO 中，OA = 27 米一 一一、

13、.3SO OA - cot ASO 27 - cot 6027 一答：光源離地面的垂直高度為15.6 米。說明：本題的實質是解RtAo由此不難求 SO。9J3 15.6 (米)3【模擬試題】 一.選擇題。1 .在半彳至為3的。O中,弦MN=3,則MN的長為（A. 一2B.2 .扇形的周長為16,圓心角為3C.2360D. 2,則扇形的面積為（A. 16B. 32C. 64D. 163.如果圓柱的高為2A. 100 cm2C. 500 cm1 、，一一-,那么這個圓柱的側面積是（4A. 1 a2B. 120厘米，底面半徑是高的2B. 200 cm2D. 200 cm4 .已知圓錐的底面半徑是3,

14、高是4,則這個圓錐的側面展開圖的面積是（）A. 12 B. 15 C. 30 D. 245 .如圖，ABCD是正方形，邊長為 a,以B為圓心，以BA為半徑畫弧，則陰影面積為D.C.填空題。1 .直徑為12cm的圓，60°圓周角所對的弧的弧長為 厘米。2 .如圖，在 ABC中，Z ACB =90°，/ B= 15° ,以C為圓心，CA為半徑的圓交 AB于D點，若AC = 6cm,則AD的長為 厘米。B3 . 一個扇形的弧長為 20厘米，面積為240 cm2,則該扇形的圓心角為 度。4 .已知圓柱母線與底面圓的直徑相等，且底面積為4 cm2,則圓柱的側面積為 2cm。

15、5 .若圓錐的母線長為6cm,側面展開圖是圓心角為300。的扇形，則圓錐底面半徑為cm。6 .圓錐底面半徑為 4 cm,母線長為24cm,則側面展開圖中扇形的圓心角為 。7 .若用半徑為15cm,圓心角為 216。的扇形圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐的高為cm o三.解答題。1 .已知AB的長為6厘米，所對的圓周角/ ACB =60° ,求弦AB的長。O* jrA2 .如圖，在 ABC 中，/ BAC =105° , / B = 45° , AB 2& ， AD ±BC,垂足為 D,以A為圓心，AD為半徑畫弧EF ,求圖中陰影部分的面積。3 .如

16、圖，Rt ABC中，/ C=90° , AC = BC= J2cm,分別以A、B、C為圓心畫弧,使DE、DF、EF所在的圓兩兩外切。求:(1)(2)DE、DF、 EF 的長;陰影部分的面積。4 .如圖，圓柱的高為 12cm,底面直徑為10cm,求圖中圓錐的全面積。A(0；一C【試題答案】一.選擇題。1. B 2. A 3. B 4. B 5. D 二.填空題。2. 42.(厘米)3. 1504.165. 56.60°7. 12三.解答題。1 .由條件可求得：/ AOB =120°及。O的半徑過。作AB的垂線，構造直角三角形可求出ABAB 9 . 3cm2 . S陰影 S ABCS扇形AEF曲線面積的求法常轉化為有公式可求的圖形面積的代數(shù)和3.S陰影(1) 所以,72 2