蘇教版九年級一元二次方程復(fù)習(xí)專題

1、一元二次方程、本章知識結(jié)構(gòu)框圖二、具體內(nèi)容(一)、一元二次方程的概念1 .理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個數(shù)為1,未知數(shù)的最高次數(shù)為 2,整式方程，可化為一般形式；2 .正確識別一元二次方程中的各項及各項的系數(shù)(1)讓學(xué)生明確只有當(dāng)二次項系數(shù)a 0時，整式方程ax2 bx c 0才是一元二次方程。(2)各項的確定(包括各項的系數(shù)及各項的未知數(shù) ).(3)熟練整理方程的過程3 . 一元二次方程的解的定義與檢驗一元二次方程的解4 .列出實際問題的一元二次方程(二)、一元二次方程的解法1 .明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法 為手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)

2、化為一元一次方程求解；2 .根據(jù)方程系數(shù)的特點，熟練地選用配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法解一 元二次方程；3 .體會不同解法的相互的聯(lián)系；4 .值得注意的幾個問題：22開平方法：對于形如x n或(ax b) n(a 0)的一元二次方程， 即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個非負(fù)數(shù)，可用開平方法求解形如x2 n的方程的解法：當(dāng) n 0 時，x 7n ；當(dāng) n 0時，x1 x2 0；當(dāng)n 0時，方程無實數(shù)根。(2)配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為(x m)2 n的方程，再運用開平方法求解。配方法的一般步驟：移項：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項移到方程

3、的左邊，常數(shù)項移到方程的右邊；“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項的系數(shù)化為1;配方：將方程兩邊分別加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程變形為(x m)2 n的形式;求解：若n 0時，方程的解為x m Jn,若n 0時，方程無實數(shù)解。 公式法：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根x,2b . b 4ac2a2當(dāng)b 4ac 。時，方程有兩個實數(shù)根，且這兩個實數(shù)根不相等；- 2b當(dāng)b 4ac 。時，方程有兩個實數(shù)根，且這兩個實數(shù)根相等，寫為xi X22a當(dāng)b2 4ac 。時，方程無實數(shù)根.公式法的一般步驟： 把一元二次方程化為一般式；確定a,b,c的值；代入b2 4ac中 計算其值，判斷方程

4、是否有實數(shù)根； 若b2 4ac 0代入求根公式求值，否則，原方程無 實數(shù)根。(因為這樣可以減少計算量。另外，求根公式對于任何一個一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。)(4)因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個因式的積等于0,那么這兩個因式至少有一個為0,即：若ab 0,則a 0或b 0；因式分解法的一般步驟：將方程化為一元二次方程的一般形式； 把方程的左邊分解為兩個一次因式的積， 右邊等于 0；令每一個因式都為零， 得到兩個一元一次方程； 解出這兩個一元一次方程的解可得到原方程的兩個解。（ 5 ）選用適當(dāng)方法解一元二次方程對于無理系數(shù)的一元二次方程， 可選用因式

5、分解法， 較之別的方法可能要簡便的多， 只不過應(yīng)注意二次根式的化簡問題。方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡便，若整理為一般式再解就較為麻煩。（ 6 ）解含有字母系數(shù)的方程（ 1 ）含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項系數(shù)，以確定方程的類型；（ 2 ）對于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時一定不要忘記對字母的取值進(jìn)行討論。（三） 、根的判別式1 了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。（ 1） = b 2 4ac2）根的判別式定理及其逆定理：對于一元二次方程ax2bx c

6、0 （ a 0 ）a當(dāng)00時方程有實數(shù)根；數(shù)根； ）0方程有兩個不相等的實數(shù)根；0時0方程有兩個相等的實0時當(dāng) a00時方程無實數(shù)根；從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2 常見的問題類型（ 1 ）利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況（ 2 ）已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍（ 3 ）應(yīng)用判別式，證明一元二次方程根的情況先計算出判別式（關(guān)鍵步驟）；用配方法將判別式恒等變形；判斷判別式的符號；總結(jié)出結(jié)論.例：求證：方程（a21）x22ax （a2 4） 0無實數(shù)根。（ 4 ）分類討論思想的應(yīng)用：如果方程給出的時未指明是二次方程，后

7、面也未指明兩個根，那一定要對方程進(jìn)行分類討論，如果二次系數(shù)為0，方程有可能是一元一次方程；如果二次項系數(shù)不為0 ，一元二次方程可能會有兩個實數(shù)根或無實數(shù)根。（ 5 ）一元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式（組）等知識綜合命題，解答時要在全面分析的前提下，注意合理運用代數(shù)式的變形技巧（ 6 ）一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合（ 7 ）判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點問題（四） 、一元二次方程的應(yīng)用1 . 數(shù)字問題：解答這類問題要能正確地用代數(shù)式表示出多位數(shù)，奇偶數(shù)，連續(xù)整數(shù)等形式。2 .幾何問題：這類問題要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)、特征、定理或法則來尋找等量關(guān)系，構(gòu)建方程，對結(jié)果要結(jié)

8、合幾何知識檢驗。3 .增長率問題（下降率）：在此類問題中，一般有變化前的基數(shù)（ a ） ，增長率（ x ） ，變化的次數(shù)（ n ） ，變化后的基數(shù)（ b） ,這四者之間的關(guān)系可以用公式a（1 x）n b 表示。4 .其它實際問題（都要注意檢驗解的實際意義，若不符合實際意義，則舍去）。（五）新題型與代幾綜合題例 1.有 100 米長的籬笆材料， 想圍成一矩形倉庫， 要求面積不小于600平方米， 在場地的北面有一堵 50 米的舊墻， 有人用這個籬笆圍成一個長 40 米、 寬 10 米的倉庫， 但面積只有400 平方米，不合要求，問應(yīng)如何設(shè)計矩形的長與寬才能符合要求呢?例2.讀詩詞解題(列出方程，并

9、估算出周瑜去世時的年齡)：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物，而立之年督東吳，英年早逝兩位數(shù)，十位恰小個位三, 個位平方與壽符，哪位學(xué)子算得準(zhǔn)，多少年華屬周瑜？例3.已知：a,b,c分別是 ABC的三邊長，當(dāng)m 0時，關(guān)于x的一元二次方程22c(x m) b(x m) 2jmax 0有兩個相等的實數(shù)根，求證：ABC是直角三角形。例4.已知：a,b,c分別是 ABC的三邊長，求證：方程 b2x2 (b2 c2 a2)x c2 0沒 有實數(shù)根。例5.當(dāng)m是什么整數(shù)時，關(guān)于x的一元二次方程mx2 4x 4 0與22x 4mx 4m 4m 5 0的根都是整數(shù)？例6.已知關(guān)于x的方程x2 2x m一1 0 ,其中m為實數(shù)，(1)當(dāng)m為何值時, x 2x 2m方程沒有實數(shù)根？ ( 2)當(dāng)m為何值時，方程恰有三個互不相等的實數(shù)根？求出這三個實數(shù)根。例7.已知關(guān)于x的一元二次方程 x2(2k+1)x + k2 + 2k= 0有兩個實數(shù)根x1，x2.(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)是否存在k使得xx2x12 x220成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由.例8. (2013 威海)要在一塊長52 m,寬48 m的矩形綠地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的 甬路，下面分別是小亮和小穎的設(shè)計方案.陽圖小亮設(shè)計的方案如圖所示