第三章 電路定理

1、第三章第三章 電路定理電路定理 疊加定理疊加定理 替代定理替代定理 戴維南定理（諾頓定戴維南定理（諾頓定理理) 最大功率傳輸定理最大功率傳輸定理 特勒根定理特勒根定理 互易定理互易定理 對偶原理。對偶原理。 線性電阻電路分析的一些規(guī)律可以當做一般性定理線性電阻電路分析的一些規(guī)律可以當做一般性定理來使用。它們分別是：來使用。它們分別是：第一節(jié)第一節(jié) 疊加定理疊加定理 一定理陳述及其解釋性證明一定理陳述及其解釋性證明1線性電路線性電路中，任一支路的響應(yīng)是各個中，任一支路的響應(yīng)是各個分別作用分別作用時在該支路中產(chǎn)生響應(yīng)的時在該支路中產(chǎn)生響應(yīng)的代數(shù)和代數(shù)和。313S1312S31311S33133S2

2、11S11aRRURRRIRRRRURRRRUIRUUS 313S312S3311S11S1aRRURRIRRRURUUI aR1R3+ US1 - - I1IS2- -US3 +R1R3I1US1a;311S3 ,311S1aRRURURRUI US1 單獨作用時單獨作用時(IS 開路，開路，US 短路短路) R1R3IS2I1;31231 ,31231aRRIRRURRIRISS IS2 單獨作用時單獨作用時 ;313S1 ,313S1aRRURURRUI US3 單獨作用時：單獨作用時： R1R3- - US3 +I1111aaaUUUUa 1111IIII 有有 aR1R3+ US1

3、- - I1IS2- -US3 +R1R3I1US1aR1R3IS2I1R1R3- - US3 +I1111疊加原理證明疊加原理證明解釋性證明：解釋性證明： 線性電路獨立變量方程是線性代數(shù)方程，由克萊姆法則知線性電路獨立變量方程是線性代數(shù)方程，由克萊姆法則知獨立變量是各獨立電源的線性函數(shù)，再由支路獨立變量是各獨立電源的線性函數(shù)，再由支路VAR可知各支路可知各支路u、i亦是各獨立電源的線性函數(shù)。亦是各獨立電源的線性函數(shù)。 二使用疊加定理的注意點二使用疊加定理的注意點 1、是、是線性電路疊加特性線性電路疊加特性的概括表征，不僅可用來分析電路本身的概括表征，不僅可用來分析電路本身（分解為簡單電路），

4、而且為線性電路的定性分析提供理論依據(jù)。（分解為簡單電路），而且為線性電路的定性分析提供理論依據(jù)。 3、。因為功率與激勵不是一次函數(shù)關(guān)系。因為功率與激勵不是一次函數(shù)關(guān)系。2、uS不作用則短接不作用則短接;若若iS不作用則開路不作用則開路；而；而中，中， “各個獨立源各個獨立源”可為可為“各組獨立源各組獨立源”(分組疊加分組疊加)。5、當線性電路、當線性電路只有一個只有一個激勵時，則激勵擴大激勵時，則激勵擴大K倍，響應(yīng)也擴大倍，響應(yīng)也擴大K倍。稱為線性電路的倍。稱為線性電路的。實際上：。實際上： 4、求、求“代數(shù)和代數(shù)和”時要時要 例例1： 求圖中的求圖中的uab 、i1 解：解：3A電流源單獨作

5、用電流源單獨作用時時A13 V9336313636ab iu其它獨立源共同作用時其它獨立源共同作用時.A321 ,V1789 ;V81266 ,A2)/()( 1111361261abababab iiiuuuiui631- - 6 V + 12V- -2A3Ai1ab6313Ai1ab631- -6V + 12V- -2Ai1ab例例2圖示電路中圖示電路中NS為有源線性三端口網(wǎng)絡(luò)，為有源線性三端口網(wǎng)絡(luò)，已知：已知：IS1 =8A、US2 =10V時，時，UX =10V；IS1 =8A、US2 = 6V時，時，UX = 22V；IS1 =US2 =0時，時，UX = 2V；試求：；試求：IS1

6、 =2A、US2 =4V時，時，UX =？解：設(shè)解：設(shè) UX =K1IS1 +K2US2 +K3 其中其中K3為為NS內(nèi)部所有獨立內(nèi)部所有獨立源對源對UX 所產(chǎn)生的貢獻。于是有所產(chǎn)生的貢獻。于是有.V224426246 2K4K6KK002KK6K822KK10K8102S1SX3213321321 UIU若為若為無源線性無源線性網(wǎng)絡(luò)，則網(wǎng)絡(luò)，則考慮內(nèi)部電源考慮內(nèi)部電源的作用的作用 UX IS1 US2 NS第二節(jié)第二節(jié) 替代定理替代定理(置換定理置換定理)一定理陳述：一定理陳述：在在的線性或非線性的線性或非線性電路電路中，若已知中，若已知第第k條支路的電壓條支路的電壓uK和電流和電流iK ，

7、則該支路可以用下列任何，則該支路可以用下列任何一種元件來替代：一種元件來替代： uS = uK的電壓源；的電壓源； iS = iK的電的電流源；流源； 若若pK吸吸 0，則可替代為，則可替代為RK=|uKiK |的電阻。的電阻。若替代前后電路均具有唯一解若替代前后電路均具有唯一解，則替代后電路中各支路，則替代后電路中各支路的電壓與電流均保持為原值。的電壓與電流均保持為原值。2）替代前后電路均具有唯一解，因此替代后）替代前后電路均具有唯一解，因此替代后uK 不變；不變；其它各支路的電壓、電流不變其它各支路的電壓、電流不變1）設(shè)第）設(shè)第K條支路用條支路用iS = iK 來替代，則替代前后來替代，則

8、替代前后iK 不變；不變；其它支路其它支路VAR未變；未變；KCL、KVL未變；未變； 二定理的證明：二定理的證明：這相當于數(shù)學這相當于數(shù)學上將具有唯一解的一組方程中的某一未知上將具有唯一解的一組方程中的某一未知量用其解答代替，量用其解答代替，不會引起方程中其它任何未知量的解不會引起方程中其它任何未知量的解答在量值上有所改變。答在量值上有所改變。 大網(wǎng)絡(luò)的大網(wǎng)絡(luò)的“撕裂撕裂”： 替代為電源支路后，可做為激勵源應(yīng)用疊加替代為電源支路后，可做為激勵源應(yīng)用疊加定理，但要求被替代的定理，但要求被替代的二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部某部分二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部某部分電壓或電流不能是外部受控源的控制量電壓或電流不能是外部受控源的控制

9、量。 某些線性電路問題的解決某些線性電路問題的解決(如定理的證明如定理的證明); 具有唯一解非線性電路問題的簡化分析；具有唯一解非線性電路問題的簡化分析；i+u- -Ni+u- -N 是測試或試驗中采用假負載的理論依據(jù)。是測試或試驗中采用假負載的理論依據(jù)。 i2BCAi1Ai2i1Bi1i2C三三 定理的應(yīng)用定理的應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 戴維南定理與諾頓定理戴維南定理與諾頓定理一戴維南定理一戴維南定理 1定理陳述：任何線性一端口網(wǎng)絡(luò)定理陳述：任何線性一端口網(wǎng)絡(luò)NS ，都可以等效成為有伴電壓源，都可以等效成為有伴電壓源(uOC 與與Ri 的串聯(lián)組合的串聯(lián)組合) ： uOC NS 端口的開路電壓。端口的

10、開路電壓。 Ri NS 的的“除源電阻除源電阻”。NSi+u- -外外電電路路2定理證明：定理證明：開路開路NS + +u = uOC - -NOi+u - iRii +u=Rii - iNSi+u- i替代定理替代定理u= u+u“= uOC -Ri ii+u- -外外電電路路Ri +Uoc 二二諾頓定理諾頓定理 1定理陳述：任何一個線性一端定理陳述：任何一個線性一端口網(wǎng)絡(luò)口網(wǎng)絡(luò)NS ，對于外電路來說都可，對于外電路來說都可以等效成為以等效成為有伴電流源有伴電流源(iSC 與與Gi 的的并聯(lián)組合并聯(lián)組合)，其中：，其中： iSC NS 端口的短路電流；端口的短路電流； iSC 方方向由向由u

11、的的“+極極”沿外電路至沿外電路至“-極極”。 Gi =1Ri NS 的的“除源電導(dǎo)除源電導(dǎo)”。 2定理證明：定理證明：先將先將NS 等效為戴維南等效電路，再用有等效為戴維南等效電路，再用有伴電源等效變換即證。伴電源等效變換即證。NSi+u- -外外電電路路iiSC外外電電路路+u Gi由等效關(guān)系可知：由等效關(guān)系可知： iSC = i|u=0 = uOCRi .三三戴維南等效電路或諾頓等效電路的求戴維南等效電路或諾頓等效電路的求法法方法一方法一(若除源后若除源后N0 為簡單純電阻電路為簡單純電阻電路)：求求uOC 、iSC 二者之一，其中：二者之一，其中： uOC 令端口令端口i=0(開路開路

12、)，用已知方法計算之；，用已知方法計算之； iSC 令端口令端口u=0(短路短路)，用已知方法計算之；，用已知方法計算之； 對除源網(wǎng)絡(luò)對除源網(wǎng)絡(luò)N0 用串、并聯(lián)的方法求出用串、并聯(lián)的方法求出Ri 方法方法二二：若除源后：若除源后N0 為含受控源電阻電路為含受控源電阻電路求出求出uOC 、iSC 二者之一；二者之一； 對除源網(wǎng)絡(luò)對除源網(wǎng)絡(luò)N0 用用外施電源法外施電源法或或控制量為控制量為“1”法法求求Ri 當當uOC =0時，時，iSC 也為零，此時就不能用上式求也為零，此時就不能用上式求Ri 方法方法三三：同時求出：同時求出uOC 、i SC ， 則：則： Ri =uOC iSC 方法四方法四

13、(一步法或激勵響應(yīng)法一步法或激勵響應(yīng)法 )：直：直接對接對NS 求解端口的求解端口的VAR，若求得為，若求得為 u =A+B i 則有：則有：uOC =A，Ri=B。NSi+ u - - + uS - - 方法五方法五：等效變換一步步化簡。若：等效變換一步步化簡。若NS 中含受控源中含受控源，則化，則化簡后還得用上述方法二、三與四才能得到最終結(jié)果。簡后還得用上述方法二、三與四才能得到最終結(jié)果。方法六方法六：實驗測量法（限于直流電路）：實驗測量法（限于直流電路） + +U R- - + +UOC - - RiI測開路電壓測開路電壓UOC ； 允許短路時測允許短路時測ISC ，則，則Ri =UOC

14、ISC ; 否則用一否則用一R作作為外電路并測其為外電路并測其U、I， 此時，此時，IUUR OCi 例例1試分別求當負載電阻試分別求當負載電阻RL為為7和和17時電流時電流I之值之值 解：解：求求UOC ，用回路法用回路法求除源電阻求除源電阻Ri由戴維南等效電路求由戴維南等效電路求IRL 4V 9 93248248i R 11 , A2 . 011947 , A25. 0794LLLi OCRRRRUI32I1-201=16， 得得 I1= 98A, UOC =8I1+1631=4V 32048RL- - 16V +1AIab32048abRiIab32048- - 16V +1A1AI1

15、+ +UOC - -例例2求右邊電路的最簡等效電路。求右邊電路的最簡等效電路。 解法一：求解法一：求UOC 、Ri求除源求除源Ri（受控源保留受控源保留） IIIIIIIURIUI)(1)(5510511i 1消去非端口變量消去非端口變量I1 得：得：Ri =15+20V- -15a +U-bI I =0求求UOC51051+ 12V- -2I1I1Ia+U-b510512I1I1Ia+U-b1225)1051(11 IIA21 IV10101 IUOC解法二：同時求解法二：同時求UOC 與與ISC UOC 的求法同解法一的求法同解法一 求求ISC解法三：一步法（直接求端口解法三：一步法（直接

16、求端口VAR，網(wǎng)孔法），網(wǎng)孔法）Ri =U OCI SC =15 得：得：U=20+15I 解法四：先化簡再求解（略）解法四：先化簡再求解（略）.51051+ 12V- -2I1I1IISCI3I2網(wǎng)孔法網(wǎng)孔法15ISC -10I3 = 016I3 -10I1 -10Isc =12I1 = I SC I3I SC =43A51051+ 12V- -2I1I1Ia+U-bI2I315I +10I3 = U16I3 +10I -10I1 =12I1 = I +I3第四節(jié)第四節(jié) 最大功率傳輸定理最大功率傳輸定理一最大功率傳輸定理的結(jié)論與證明一最大功率傳輸定理的結(jié)論與證明I a+U RLbNS問題：如

17、圖問題：如圖RL =?時，時，NS 傳給傳給RL的的PR L =Pmax =?I a+U- - RL b+UOC- -Ri2Li OCL2LRL RRURIRP0)()(2)(2 OC4Li LLi 2Li LRL URRRRRRRdRdP得得 RL =Ri ，此時，此時 RL 可獲得可獲得Pmax i 2 OC2i i 2 OCi maxRL4)(RURRURPP 匹配匹配求解：戴維南等效電路如圖則有：求解：戴維南等效電路如圖則有：（最大功率傳輸定理）（最大功率傳輸定理） 通常通常UOC 發(fā)出的功率并不等于發(fā)出的功率并不等于NS 中原來電源所發(fā)出的功率中原來電源所發(fā)出的功率，匹，匹配時的效率

18、并不高，對配時的效率并不高，對UOC來講，來講，只有只有50(對對NS ，50)。因。因此，對于強電而言，不能工作在匹配狀態(tài)；但對弱信號的傳輸，此，對于強電而言，不能工作在匹配狀態(tài)；但對弱信號的傳輸，往往就需要實現(xiàn)最大功率傳輸。往往就需要實現(xiàn)最大功率傳輸。例：求例：求RL =?時時PRL吸吸 =Pmax=?Ri+ UOC - - RL11 iRL 202010 2A11+ 15V - - + 5V - - i解：先進行戴維南等效：解：先進行戴維南等效：,V50)20/2(2)20/5()20/15(102OC U.W25.312045042i 2 ocmaxRL RUPP,20 i L時時 R

19、R20)2/20(10i R第五節(jié)第五節(jié) 特勒根定理特勒根定理 特勒根定理特勒根定理對于具有對于具有n個節(jié)點和個節(jié)點和b條支路條支路的電路，若其第的電路，若其第k條支路的電壓條支路的電壓uk 、電流、電流ik取為取為關(guān)聯(lián)方向關(guān)聯(lián)方向（k=1,2,，b），則恒有：），則恒有：01 bkkkiu證明：以證明：以n=4、b=6的電路為例，各支路用線的電路為例，各支路用線段表示，線段的方向表示支路的關(guān)聯(lián)方向，段表示，線段的方向表示支路的關(guān)聯(lián)方向，并令并令0為參考節(jié)點，則：為參考節(jié)點，則： 4 2 3 1 5 6 06655443322111iuiuiuiuiuiuiubkkk 原式原式= un1 i1

20、 +(un1-un2) i2 +(un2-un3) i3 +(un1-un3) i4 + un2 i5 + un3 i6 = un1(i1 +i2 +i4)+un2 (-i2 +i3 +i5)+un3 (-i3 i4 +i6 ) = un1 0+un2 0+un3 0=0對任何有對任何有n個節(jié)點和個節(jié)點和b條支路的集總電路，上式均成立條支路的集總電路，上式均成立 。01 k bkp吸吸物理意義：物理意義：功率平衡功率平衡特勒根定理特勒根定理：對于對于兩個兩個具有具有n個節(jié)點和個節(jié)點和b條支路的電路條支路的電路N和和 ，若，若它們的拓撲結(jié)它們的拓撲結(jié)構(gòu)（圖）構(gòu)（圖）相同，設(shè)相同，設(shè)N與與 的對應(yīng)

21、的對應(yīng)支路編號支路編號一致，一致，關(guān)聯(lián)方向相同關(guān)聯(lián)方向相同，支路電流與電壓，支路電流與電壓分別記為分別記為(i1，i2，ib)、(u1，u2，ub)和和 、 則有則有 NN bkkkbkkkiuiu110 0物理意義為物理意義為 擬功率平衡擬功率平衡 例例N、N 的各支路電流均已標出，試驗證特勒根定理的各支路電流均已標出，試驗證特勒根定理 b2 b4b1 b3 b5),(21biii),(21biuuu0.8A553V 1V1A 6V54V N2A325V 1A51AN b1b2b3b4b5 Nu34-1-65 i-0.80.8-0.211 u i-2.43.20.2-650Nu1510523

22、 i-22111 u i-30205230N與與N u i-128-1230u i-68-1-650可列表（可列表（u的單位為的單位為V，i的單位為的單位為A，p的單位為的單位為W）來驗證：）來驗證： 有時兩個電路結(jié)構(gòu)并不完全相同，可用有時兩個電路結(jié)構(gòu)并不完全相同，可用開路或短開路或短路路來替代或填補某些支路。來替代或填補某些支路。 “互易互易”若若僅含線性電阻僅含線性電阻電路電路只有一個激勵只有一個激勵，則該激勵，則該激勵與電路中某個響應(yīng)的位置互換后，其激勵與響應(yīng)的關(guān)系與電路中某個響應(yīng)的位置互換后，其激勵與響應(yīng)的關(guān)系保持不變（共有三種形式）：保持不變（共有三種形式）： 一、互易定理的第一種形

23、式：一、互易定理的第一種形式：設(shè)下列兩圖中設(shè)下列兩圖中NR為為同一僅同一僅含線性電阻含線性電阻的網(wǎng)絡(luò)：則的網(wǎng)絡(luò)：則 = i2即即恒壓源恒壓源與與短路電流響應(yīng)短路電流響應(yīng)可可互易互易 1i+ uS - - i1 i2+ u2=0 - - NR+ u1 - - 1221+ uS - - 1221+ u1=0- - + u2 - - i1 i2RN第六節(jié)互易定理第六節(jié)互易定理證明：設(shè)網(wǎng)絡(luò)共有證明：設(shè)網(wǎng)絡(luò)共有b條支路，則由特勒根定理條支路，則由特勒根定理2：032211 bkkkiuiuiu 003221132211bkkkkbkkkkiiRiuiuiiRiuiu(*)22112211iuiuiuiu

24、 S212S1 , 0 , 0 ,uuuuuu 2121iiiuiuss 032211 bkkkiuiuiu kkkkkkiRuiRu 二互易定理的第二種二互易定理的第二種形式形式 i1 i2+ u2 - - NR+ u1 - - 1221iS i1 i2+ u2 - - NR+ u1 - - 1221iSss12 iuiu 得：得：21uu 證明：此時將證明：此時將 ， 代入代入（*）式式012 iisiii 21二互易定理的第二種形式：二互易定理的第二種形式：設(shè)下列兩圖中設(shè)下列兩圖中NR為同一僅為同一僅含線性電阻的網(wǎng)絡(luò)，則含線性電阻的網(wǎng)絡(luò)，則 即即恒流源與開路電壓響恒流源與開路電壓響應(yīng)可互

25、易應(yīng)可互易.21uu 二互易定理的第二種二互易定理的第二種形式形式證明：將證明：將 ； 代入代入（*）式式 012 iu21 uuiiss 21 i1=0 i2+ u2 - - NR+ u1 - - 12uS21210iuiuiuss 得得三互易定理的第三種形式：三互易定理的第三種形式：設(shè)下列兩圖中設(shè)下列兩圖中NR為同一為同一僅含線性電阻的網(wǎng)絡(luò)，若僅含線性電阻的網(wǎng)絡(luò)，若 uS =iS(量值上量值上)，則，則 (量量值上值上) 21iu i1 i2+ u2=0 - - + u1 - - 121iS NR2四、互易定理應(yīng)用時的幾點說明四、互易定理應(yīng)用時的幾點說明式式（*）互易定理統(tǒng)一表達式，但要求

26、端口變量互易定理統(tǒng)一表達式，但要求端口變量取關(guān)取關(guān)聯(lián)參考方向（對聯(lián)參考方向（對NR以外的端口支路而言）以外的端口支路而言）。此外，若。此外，若NR的激勵端口與響應(yīng)端口的總和超過，則該式可作的激勵端口與響應(yīng)端口的總和超過，則該式可作相應(yīng)的推廣相應(yīng)的推廣。(*)22112211iuiuiuiu兩網(wǎng)絡(luò)為同一純電阻網(wǎng)絡(luò)兩網(wǎng)絡(luò)為同一純電阻網(wǎng)絡(luò)NR ，這只是網(wǎng)絡(luò)互易的充分，這只是網(wǎng)絡(luò)互易的充分條件。若條件。若網(wǎng)絡(luò)中還含有受控源，則不一定互易網(wǎng)絡(luò)中還含有受控源，則不一定互易！響應(yīng)與激勵位置互換后，響應(yīng)與激勵位置互換后，NR 內(nèi)部支路的電壓、電流內(nèi)部支路的電壓、電流一般會改變一般會改變。例如圖，求例如圖，求1

27、i u2 2A5 u1 i1 i21212NR解法一：第二種形式解法一：第二種形式 V52oc1 uu 521011iuRiAi5 . 01051 解法二：直接用解法二：直接用(*)式來解式來解 ; 5 ,A2 ; 0 ,V5 ,V10 ,A21122211iuiiuui .A5 . 0 0)2()5()2(5101211 iuii10V1212i1i2=0 NR2A5V第七節(jié)第七節(jié) 對偶原理對偶原理 即即系統(tǒng)中某些元素之間的關(guān)系（或方程）用對應(yīng)的系統(tǒng)中某些元素之間的關(guān)系（或方程）用對應(yīng)的另一些元素置換后，所得的新關(guān)系（或新方程）也另一些元素置換后，所得的新關(guān)系（或新方程）也一定對應(yīng)地成立。一定對應(yīng)地成立。 電路中互為對偶的元素、變量有：電路中互為對偶的元素、變量有： u、R、L、開路、有伴電壓源、磁鏈、開路、有伴電壓源、磁鏈、uOC 、節(jié)點、節(jié)點、節(jié)點自電導(dǎo)、節(jié)點自電導(dǎo)、iS i、G、C、短路、有伴電流源、電荷、短路、有伴電流源、電荷、i SC 、網(wǎng)孔、網(wǎng)、網(wǎng)孔、網(wǎng)孔自電阻、孔自電阻、uS 電路中互為對偶的方程如：電路中互為對偶的方