2017-2018學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊3.2一元一次方程的應(yīng)用教案(新版)滬科版

1、 3. 2 一元一次方程的應(yīng)用 第1課時 等積變形、行程等問題 教學(xué)目標(biāo) 1. 會用一元一次方程解決關(guān)于等積變形、行程的實際問題. 2. 掌握列方程解應(yīng)用題的一般步驟. 3. 體會數(shù)學(xué)問題源于實際生活，會從實際情境中建立等量關(guān)系. 重點難點 重點 尋找面積、體積、行程問題中的等量關(guān)系. 難點 用“線段圖”分析復(fù)雜問題中的等量關(guān)系，從而建立方程. 教學(xué)過程 一、 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知 前面我們學(xué)習(xí)了一元一次方程及其解法， 請同學(xué)們思考：我們學(xué)習(xí)解一元一次方程的目 的是什么？（我們學(xué)習(xí)解方程的目的是為了應(yīng)用 ）這一節(jié)我們就來學(xué)習(xí)用一元一次方程解決 實際問題.（板書課題） 二、 自主合作，感受新知 回

2、顧以前學(xué)的知識、閱讀課文并結(jié)合生活實際，完成“預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)”部分. 三、 師生互動，理解新知 探究點一：等積變形問題 演示：用力壓一塊圓柱形橡皮泥，最后橡皮泥變矮了. 剛才的演示與軋鋼工廠里的鍛壓過程完全類似. 問題1:用直徑為200 mm勺圓柱體鋼，鍛造一個長、寬、高分別是 300 mm 300 和90 mm的長方體毛坯，應(yīng)截取多少毫米長的圓柱體鋼 （計算時n取3.14，結(jié)果精確到 mi）? 解析：把圓柱體鋼鍛造成長方體毛坯，雖然形狀發(fā)生了變化，但鍛造前后的體積是相等 的，也就是 圓柱體體積=長方體體積 思考：哪些是已知量？哪些是未知量？在鍛造的過程中什么量改變了？哪些量沒變？圓 柱體體積怎么求

3、？長方體體積又該如何表示？ 學(xué)生獨立思考，再小組討論找出題目中的相等關(guān)系，根據(jù)所設(shè)未知數(shù)列出方程. 解：設(shè)應(yīng)截取的圓柱體鋼長為 x mm 根據(jù)題意，得 3.14 x( 200) 2x = 300X 300X 90, mm 1 2 解得x 258. 答：應(yīng)截取約258 mn長的圓柱體鋼. 探究點二：行程問題 思考：行程問題中“速度(v)、時間與路程(s) ”這三者之間的數(shù)量關(guān)系是什么？ 學(xué)生討論回答：(1)路程=速度X時間(s = vt), s (2) 速度=路程十時間(v =-), s (3) 時間=路程十速度(t = ). 問題2：為了適應(yīng)經(jīng)濟發(fā)展，鐵路運輸再次提速.如果客車行駛的平均速度增

4、加 40 km/h, 提速后由合肥到北京 1110 km的路程只需行駛10 h.那么，提速前，這趟客車平均每時行 駛多少千米？ 解析：行程問題中常涉及的量有路程、平均速度和時間，它們之間的基本關(guān)系為： 路程=平均速度X時間 設(shè)提速前客車平均每時行駛 x km,那么提速后客車平均每時行駛 (x + 40) km,客車行 駛路程1110 km,所需時間是10 h.根據(jù)題意，得10(x + 40) = 1110. 解方程，得x= 71. 答：提速前這趟客車的平均速度是 71 km/h. 說明：分析行程問題中的等量關(guān)系，還可以借助線段示意圖. 交流總結(jié)：通過例題的學(xué)習(xí)，你能總結(jié)列方程解應(yīng)用題的一般步驟

5、嗎？ (1) 弄清題意和題中的數(shù)量關(guān)系，用字母 (如x, y)表示問題里的未知數(shù)； (2) 分析題意，找出相等關(guān)系(可借助于示意圖、表格等)； (3) 根據(jù)相等關(guān)系，列出需要的代數(shù)式，并列出方程； (4) 解這個方程，求出未知數(shù)的值； (5) 檢查所得的值是否正確和符合實際情形，并寫出答案 (包括單位名稱). 四、應(yīng)用遷移，運用新知 1等積變形問題 例1將一個長、寬、高分別為 15 cm 12 cm和8 cm的長方體鋼坯鍛造成一個底面是 邊長為12 cm的正方形的長方體鋼坯.試問：是鍛造前的長方體鋼坯的表面積大，還是鍛造 后的長方體鋼坯的表面積大？請你計算比較. 解析：由鍛造前后兩長方體鋼坯體

6、積相等， 可求出鍛造后長方體鋼坯的高. 再計算鍛造 前后兩長方體鋼坯的表面積，最后比較大小即可. 解：設(shè)鍛造后長方體的高為 x cm,依題意，得15X 12X 8= 12X 12x.解得 x= 10. 鍛造前長方體鋼坯的表面積為 2X (15 X 12+ 15X 8+ 12X 8) = 2X (180 + 120 + 96)= 792( cmi), 鍛造后長方體鋼坯的表面積為 2X (12 X 12+ 12X 10+ 12X 10) = 2X (144 + 120 + 120) =768( cmi). 因為792768，所以鍛造前的長方體鋼坯的表面積較大. 方法總結(jié)：本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)等積變

7、形中的等量關(guān)系確定變化后長方體的高. 2. 行程問題中的相遇問題 例2小明家離學(xué)校2.9千米，一天小明放學(xué)走了 5分鐘之后，他爸爸開始從家出發(fā)騎 自行車去接小明，已知小明每分鐘走 60米，爸爸騎自行車每分鐘騎 200米，請問小明爸爸 從家出發(fā)幾分鐘后接到小明？ 解析：本題等量關(guān)系：小明所走的路程+爸爸所走的路程=全部路程， 但要注意小明比 3 爸爸多走了 5分鐘，另外也要注意本題單位的統(tǒng)一. - - - 1- 60（J+5 ） * - - 24千米 小明家 - 學(xué)校 解：設(shè)小明爸爸出發(fā)x分鐘后接到小明，如圖所示，由題意，得200 x + 60（x + 5） = 2900, 解得x= 10. 答

8、：小明爸爸從家出發(fā) 10分鐘后接到小明. 方法總結(jié)：找出問題中的等量關(guān)系是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵， 對于行程問題，通常借助 “線段圖”來分析問題中的數(shù)量關(guān)系這樣可以比較直觀地反映出方程中的等量關(guān)系. 3. 行程問題中的追及問題 例3 敵我兩軍相距25 km敵軍以5 km/h的速度逃跑，我軍同時以 8 km/h的速度追 擊，并在相距1 km處發(fā)生戰(zhàn)斗，問戰(zhàn)斗是在開始追擊后幾小時發(fā)生的？ 解析：本題相等關(guān)系：我軍所走的路程-敵軍所走的路程=敵我兩軍相距的路程. 解：設(shè)戰(zhàn)斗是在開始追擊后 x小時發(fā)生的.根據(jù)題意，得 8x 5x= 25 1，解得x= 8. 答：戰(zhàn)斗是在開始追擊后 8小時發(fā)生的. 方法總

9、結(jié)：追及問題中的等量關(guān)系：追及距離=速度差X追及時間. 4. 行程問題中的環(huán)形問題 例4甲、乙兩人在一條長 400米的環(huán)形跑道上跑步，甲的速度為 360米/分，乙的速 度是240米/分. （1） 兩人同時同地同向跑，問第一次相遇時，兩人一共跑了多少圈？ （2） 兩人同時同地反向跑，問幾秒后兩人第一次相遇？ 解析：（1）題實質(zhì)上是追及問題，兩人第一次相遇，實際上就是快者比慢者多跑一圈， 其等量關(guān)系是追上時，甲走的路程一乙走的路程= 400米；（2）題實質(zhì)上是相遇問題，兩人 第一次相遇就是兩人所走的路程之和為環(huán)行跑道一圈的長， 其等量關(guān)系是相遇時，甲走的路 程+乙走的路程=400米. 10 解：（

10、1）設(shè)x分鐘后兩人第一次相遇，由題意，得 360 x 240 x= 400,解得x =石. 10 10 廠 （X 360 + X 240） - 400= 5（圈）. 3 3 答：兩人一共跑了 5圈； 2 （2）設(shè)x分鐘后兩人第一次相遇，由題意，得 360 x+ 240 x= 400,解得x = （分鐘）= 3 40（秒）. 答：40秒后兩人第一次相遇. 方法總結(jié)：環(huán)形問題中的等量關(guān)系： 兩個人同地背向而行：相遇問題 （首次相遇），甲的 行程+乙的行程=一圈周長； 兩個人同地同向而行： 追及問題（首次追上），甲的行程一乙的 行程=一圈周長. 五、 嘗試練習(xí)，掌握新知 課本P9495練習(xí)第13題.

11、 “隨堂演練”部分. 六、 課堂小結(jié)，梳理新知 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們都學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識和方法？ 4 本節(jié)課我們學(xué)會用一元一次方程解決關(guān)于等積變形、 應(yīng)用題的一般步驟. 七、深化練習(xí)，鞏固新知 課本P97習(xí)題3.2第2、3題. “課時作業(yè)”部分. 第2課時儲蓄、銷售問題 第3課時 比例與和、差、倍、分問題 教學(xué)目標(biāo) 1理解儲蓄問題中本金、利率等數(shù)量間的關(guān)系，會解決儲蓄問題. 2理解商品銷售中的進價、售價、標(biāo)價、折扣、利潤、利潤率等數(shù)量之間的關(guān)系，會 解決銷售問題. 3分析比例與和、差、倍、分的量與量之間的關(guān)系，尋找相等關(guān)系，列出一元一次方 程解簡單的應(yīng)用題. 重點難點 重點 理解儲蓄問題中本

12、金、禾U率等數(shù)量間的關(guān)系；理解商品銷售中的進價、售價、標(biāo)價、折 扣、利潤、利潤率等數(shù)量之間的關(guān)系；分析比例與和、差、倍、分的量與量之間的關(guān)系. 難點 正確分析問題中的等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)列方程. 教學(xué)過程 一、 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知 1通過社會調(diào)查，讓學(xué)生親歷打折銷售和銀行利息現(xiàn)實情境，了解利潤問題中的成本 價、賣價和利潤之間的關(guān)系，銀行利息問題中的本金、利息、本息和、年數(shù)、年利率和利息 稅之間的關(guān)系，進而能根據(jù)現(xiàn)實情境提出數(shù)學(xué)問題. 2請舉例說明打折、利潤、利潤率、提價、削價、本金、利息、本息和、年數(shù)、年利 率、利息稅的含義分別是什么？ 公式：利潤=銷售價成本價； 利息=本金X年利率X年數(shù)； 本息

13、和=本金+利息； 利息稅=利息X稅率. 二、 自主合作，感受新知 回顧以前學(xué)的知識、閱讀課文并結(jié)合生活實際，完成“預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)”部分. 三、 師生互動，理解新知 探究點一：儲蓄問題 問題1:王大伯3年前把手頭一筆錢作為 3年定期存款存入銀行，年利率為 5%到期后 得到本息共23000元，問當(dāng)年王大伯存入銀行多少錢？行程的實際問題，掌握了列方程解 5 教師指出：顧客存入銀行的錢叫本金， 銀行付給顧客的酬金叫利息， 利息=本金X利率 X年數(shù).本問題中涉及的等量關(guān)系有：本金+利息=本息和. 引導(dǎo)學(xué)生分析：設(shè)當(dāng)年王大伯存入銀行 x元，年利率為5%存期3年，所以3年的利 息為3X5 %乂元.3年到期后的本息

14、共為 23000元.根據(jù)本金+利息=本息和， 由此可得方程： x+ 3X5 %x= 23000 , 23000 解方程，得x= , x= 20000. 1.15 答：當(dāng)年王大伯存入銀行 20000元. 通過對上面例題的解答，學(xué)生在利率問題中對利率的一些等量關(guān)系有了進一步的認(rèn) 識.只要根據(jù)題意找出數(shù)量關(guān)系和關(guān)鍵詞，設(shè)出未知數(shù)列出方程即可迎刃而解. 探究點二：銷售問題 問題2 :一商店出售書包時，將一種雙肩背的書包按進價提高 30%乍為標(biāo)價，然后再按 標(biāo)價9折出售，這樣商店每賣出一個這種書包可盈利 8.50元問這種書包每個進價多少？ 教師指出：商品的利潤是商品的售價與進價之差， 也就是說：利潤=實

15、際售價-進價(或 商品利潤 成本).商品利潤率是：利潤率= 商品進價X 100%打9折后的售價為原價的 90%. 引導(dǎo)學(xué)生分析：設(shè)這種書包每個進價為 x元，那么這種書包的標(biāo)價為 (1 + 30%)x,對它 9 和X (1 + 30%)x x= 8.50. 解這個方程，得x= 50. 答：這種書包每個進價為 50元. 學(xué)生體會：在市場上經(jīng)常看到類似的“打折銷售”、“大酬賓”、“大削價”等廣告， 實際上都是先升后降. 探究點三：比例問題 問題3 :三個作業(yè)隊共同使用水泵排澇，如果三個作業(yè)隊排澇的土地面積之比為 4 : 5 : 6,而這一次裝運水泵和耗用的電力費用共計 120元，三個作業(yè)隊按土地面積

16、比各應(yīng) 該負(fù)擔(dān)多少元？ 教師指出：各個作業(yè)隊?wèi)?yīng)負(fù)擔(dān)費用與排澇的土地面積成正比， 且三個作業(yè)隊各自應(yīng)負(fù)擔(dān) 費用之和等于120元.由于共有土地 4+ 5+ 6 = 15份，因而120元可由15份分擔(dān).據(jù)此， 得解法如下： 引導(dǎo)學(xué)生分析：設(shè)每份土地排澇分擔(dān)費用 x元，那么三個作業(yè)隊?wèi)?yīng)負(fù)擔(dān)費用分別為 4x 元、5x元、6x元.根據(jù)題意，得 4x + 5x + 6x = 120,解方程，得 x= 8. 4x = 32, 5x = 40, 6x = 48. 答：三個作業(yè)隊各應(yīng)負(fù)擔(dān) 32元、40元、48元. 注意：本題中“設(shè)每份土地排澇分擔(dān)費用 x元”屬間接設(shè)未知數(shù)法. 當(dāng)不能或難以直接 設(shè)未知數(shù)時，常用這

17、種方法. 探究點四：和、差、倍、分問題 問題4:某濕地公園舉行觀鳥節(jié)活動，全價票為 20元/人，半價票為10元/人，該公園 共售出1200張門票，得總票款 20000元.問全價票跟半價票各售出多少張？ 解析：(1)題中哪些量是已知的？哪些量是未知的？這些量之間有什么關(guān)系？完成下表. 思考：為什么下表中要設(shè)全價票為 x,可以設(shè)半價票為 x么？ 單張票價 票數(shù)量 總票款 打9折得實際售價為 9 % X (1 + 30%)x.根據(jù)題意，得 6 全價票 x 半價票 合計 1200 20000 （2）根據(jù)上表，找出等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列出方程，求出方程的解，并檢驗. 可得等量關(guān)系：全價票款+半價票款=總

18、票款. 可設(shè)全價票售出x張，則半價票售出（1200 x）張根據(jù)題意得 20 x + 10X （1200 x） = 20000,解方程，得 x = 800. 1200 x = 1200 800 = 400. 答：全價票售出800張，半價票售出400張. 四、應(yīng)用遷移，運用新知 1. 求利率 例1張師傅在銀行里用定期一年整存整取的方式存入人民幣 8000元，到期得到本息 8180元，求這項儲蓄的月利率（不計利息稅）. 解析：本題考查儲蓄中的利率問題，利息=本金x利率x期數(shù). 解：設(shè)這項儲蓄的月利率為 x,根據(jù)題意，得 8000 + 8000X 12Xx= 8180,解方程，得 x= 0.1875%

19、. 答：這項儲蓄的月利率為 0.1875%. 方法總結(jié)：存款利率問題中有很多相關(guān)聯(lián)的量，如本金、利息、禾悴等，只有知道它們 的相互聯(lián)系才能解決好此類問題. 2. 求本金 例2李明以兩種方式儲蓄了 500元錢，一種方式儲蓄的年利率是 5%另一種是4%, 一年后得利息23元5角，問兩種儲蓄各存了多少元錢？ 解析：本題考查的是本金問題， 題目中有兩個待求的未知數(shù)， 我們可以設(shè)出一個， 另一 個未知數(shù)借助題目條件用第一個未知數(shù)表示出來. 解：設(shè)年利率是5%勺儲蓄了 x元，另一種是4%的儲蓄存了 （500 x）元，根據(jù)題意，得 XX5 %X 1 + （500 x） X4 %X 1 = 23.5. 解這個

20、方程，得 x= 350.所以500 x = 150（元）. 答：年利率是5呀口 4%的儲蓄分別存了 350元和150元. 方法總結(jié)：解決儲蓄問題的關(guān)鍵在于對關(guān)系式的正確運用，利息=本金X利率X期數(shù). 3. 求成本價 例3 一件夾克按成本價提高 50%后標(biāo)價，后因季節(jié)關(guān)系按標(biāo)價的 8折出售，每件以60 元賣出，這批夾克每件的成本價是多少元？ 解析：先用成本價表示出標(biāo)價，然后根據(jù)等量關(guān)系：標(biāo)價X 80%= 60，列出方程即可. 解：設(shè)這批夾克每件的成本價為 x元，則標(biāo)價為（1 + 50%）x元.根據(jù)題意，得（1 + 50%x 80%= 60.解得 x = 50. 答：這批夾克每件的成本價是 50元

21、. 方法總結(jié)：按標(biāo)價8折出售即按標(biāo)價的80%出售.解題時要依據(jù)題意列出相應(yīng)的等量關(guān) 系式. 4. 求折扣 例4書店里每本定價10元的書，成本是 8元.為了促銷，書店決定讓利 10%合讀者， 問該書應(yīng)打多少折？ 解析：本題中的利潤為 10 8= 2（元），因為讓利10%給讀者，所以書店的利潤為 （1 10% X 2（元），此時的售價為（10 X折扣）元.根據(jù)商品利潤=商品售價一商品進價，就能建 7 立起方程. 解：設(shè)該書應(yīng)打x折，根據(jù)題意，得 x 10X 10 8=(10 8) X (1 - 10%). 解得x= 98 答：該書應(yīng)打九八折. 方法總結(jié)：讓利10%即指利潤為原來的 90%.解題時要

22、注意理解題目內(nèi)包含的信息. 5求原價 例5某商場節(jié)日酬賓：全場 8折.一種電器在這次酬賓活動中的利潤率為 10%它的 進價為2000元，那么它的原價為多少元？ 解析：本題中的利潤為(2000 X 10 %)元，銷售價為(原價X 80 %)元，根據(jù)公式建立起方程 即可. 解：設(shè)原價為x元，根據(jù)題意，得 80%x- 2000 = 2000X 10 %. 解得 x= 2750. 答：它的原價為2750元. 方法總結(jié)：售價=進價+利潤，售價=原價X打折數(shù)X 0.1 ,售價=進價X (1 +利潤率). 6. 比例問題 例6某種中藥含有甲、乙、丙、丁四種草藥成分，其質(zhì)量比是 0.7 : 1 : 2 : 4.7，現(xiàn)要 配制這種中藥2100克，四種草藥分別需要多少克？ 解析：禾U用甲、乙、丙、丁四種草藥成分的和等于 2100克為相等關(guān)系列出方程設(shè)其 中一份為x