2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第五章數(shù)列練習(xí)理

1、2019-2020 年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第五章數(shù)列練習(xí)理1數(shù)列1,3 5,7,9的一個通項公式是（）nnan=B .an=n2n+ 12n 1一nnC.anD .an=2n 32n+ 322.已知數(shù)列an的前n項和S滿足 S=n+ 2n1,則()A.an= 2n+ 1(n N)B.an= 2n 1(n N*)2n=l ,C.an=彳*2n + n2,n N2n=l,D.an= *1*2n1n2,n N3.在數(shù)列an中，已知a1= 1,且當n2時，aa?an=n,貝Ua3+as=()所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，如果輸入某個正n=（）圖 X5-1-1A. 3 B . 4 C . 5 D . 6一

2、15.- （xx 年新課標n）數(shù)列an滿足an+1=,a$= 2，貝Ua1=-.1 an6.已知數(shù)列an滿足：a4n3= 1,a4n1= 0,a2n=an,_nN ， 則axx=,axx=.7._（xx 年浙江樂清一模）已知遞增數(shù)列an的通項公式為a= n2+kn+ 2，則實數(shù)k的取 值范圍為 .&（xx 年廣東江門一模）將集合2s+ 2t|0Ws0），貝yb43=_.35691012A.76131A.3B.仍C.砧D.1144. （xx 年福建）閱讀如圖 X5-1-1整數(shù)n后，輸出的 S （10,20），那么圖 X5-1-29.已知在等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn中,a1= b= 1,b

3、4= 8, an的前 10 項和So= 55.（1）求an和bn；（2）現(xiàn)分別從an和bn的前 3 項中各隨機抽取一項寫出相應(yīng)的基本事件，并求這兩項的值相等的概率.10.已知數(shù)列an的通項公式為an= (n+ 1)i(n N)，則當n為多大時,an最大?第 2 講等差數(shù)列1.（xx年福建）設(shè)等差數(shù)列劉的前n項和為S，若ai= 2,S= 12，則a6=（）A. 8 B . 10C. 12 D . 142.（xx年安徽）設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，Ss= 4a3,a7= 2，貝Ua9=（）A. - 6 B . - 4C. 2 D . 23.（xx 年天津）設(shè)an是首項為 a,公差為1 的等差數(shù)

4、列，S為其前n項和.若S,S, S4成等比數(shù)列，則a1=（ ）A. 2 B . 212S為等差數(shù)列an的前n項和，若a1+a?+恥的值是一個確定的常數(shù)，則下列a21:a7； $3；S4； SsS5.其結(jié)果為確定常數(shù)的是（）A.B .C.D .5. （xx 年新課標I）設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為S,S1= 2,Sm= 0,Sm+1= 3,貝Um=（ ）A. 3 B . 4C. 5 D . 66 . （xx 年遼寧）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,若數(shù)列2a1an為遞減數(shù)列，則（）A. d0C.a1d07 . （xx 年廣東）已知遞增的等差數(shù)列an滿足a1= 1,a3=a24，貝Uan=_.8 . （x

5、x 年廣東）在等差數(shù)列an中，已知a3+aa= 10,貝U3a5+a?=_ .9 . （xx 年四川）在等差數(shù)列an中，a1+a3= 8，且a4為a2和a9的等比中項，求數(shù)列an 的首項、公差及前n項和.1C.- D .24.已知各式：10 . （xx 年新課標n）已知等差數(shù)列an的公差不為零，a1= 25,且 a, an,氐成等比數(shù)求an的通項公式；(2)求ai+a4+a7+a3n2.第 3 講等比數(shù)列1 .在等比數(shù)列an中，a2= 3,a7aio= 36，貝Uai5=()A. 12 B . 12C. 6 D . 62.(xx 年江西)等比數(shù)列x,3x+ 3,6x+ 6，的第四項為()A.

6、24B . 0C. 12D . 24a1+a3+a53.-設(shè)在公差d0的等差數(shù)列an中，a1,a3,a9成等比數(shù)列，則 -=（）a2+a4+a67A - B.53c 4 D.4.（xx 年重慶）對任意的等比數(shù)列an，下列說法一定正確的是（）A. a1,a3,a9成等比數(shù)列B. a2,a3,a6成等比數(shù)列C. a2,a4,a8成等比例列D. a3,a6,a9成等比數(shù)列5.設(shè)S為等比數(shù)列 an 的前n項和，若 8a2+a5= 0,則詈=（）A. 11 B . 5C. 8 D . 11一 26 . （xx 年新課標I）設(shè)首項為 1,公比為的等比數(shù)列劉的前n項和為 S,則（）列.A. S = 2an

7、1 B .S= 3an 2C.Sn= 4 3anD .S=3 2an7 . （xx 年重慶）已知an是等差數(shù)列，a1= 1,公差 0,S為其前n項和.若 a,比,a5成等比數(shù)列，則S8=_.& （xx 年江西）某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的 2 倍，則需要的最少天數(shù)n（n N*）等于_.9. （xx 年四川）在等比數(shù)列an中，a2-ai= 2,且 2a?為 3ai和as的等差中項，求數(shù)列an的首項、公比及前n項和.10. （xx 年北京）已知an是等差數(shù)列，滿足ai= 3,a4= 12,數(shù)列bn滿足bi= 4,b4= 20,且bn-

8、an是等比數(shù)列.（1）求數(shù)列an和bn的通項公式；（2）求數(shù)列bn的前n項和.第 4 講數(shù)列的求和1 .在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項ai= 3,前 3 項和為 21,則as+a4+a5=（）A. 33 B . 72 C . 84 D . 1892.（xx 年新課標n）等比數(shù)列a.的前n項和為S,已知 $=a?+ 10a,a5= 9，貝Ua= ）11 1A.3B3 C. 9D.3.（xx 年新課標n）等差數(shù)列an的公差為 2，若a2,a4,as成等比數(shù)列，則an的前n項和 Si =()A.n(n+ 1) B .n n+ 1 C.D.4.（xx 年大綱）在等比數(shù)列an中，a4=2,a5=

9、5，則數(shù)列l(wèi)gan的前 8 項和等于（）A. 6 B . 5 C . 4D . 35.已知等差數(shù)列an的前n項和為$,a5= 5, S= 15,則數(shù)列f 的前 100 項和為anan+1n(n 1)n n 12A _101 101 100 1006.若數(shù)列an的通項公式是an= ( 1)n (3n 2)，貝Ua+a2+ ae=()A. 15 B . 12C. 12 D . 157.(xx 年廣東揭陽一模)已知等差數(shù)列an滿足a10, 5a8= 8 恥，則當前n項和$取最 大值時，n=()A. 20B . 21C . 22D . 23&如圖 X5-4-1 ,它滿足：第n行首尾兩數(shù)均為n；

10、圖中的遞推關(guān)系類似楊輝三角.則第n(n2)行的第 2 個數(shù)是_.22343477451114115圖 X5-4-19. (xx 年新課標I)已知an是遞增的等差數(shù)列，a2,a4是方程x2 5x+ 6 = 0 的根.(1)求an的通項公式；10. (xx 年廣東佛山一模)數(shù)列an,bn的每一項都是正數(shù)，a1= 8, b = 16,且an,bn,an+1成等差數(shù)列，bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列，n= 1,2,3，.(1) 求a2,b2的值；(2) 求數(shù)列an,bn的通項公式；第 5 講利用幾類經(jīng)典的遞推關(guān)系式求通項公式1.在等比數(shù)列an中，ai= 1，公比 |q|豐1.若am= a2a3a4

11、a5,貝Um=()A. 9 B . 10C. 11 D . 122.古希臘著名的畢達哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10 ，這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1,4,9,16 ，這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.如圖 X5-5-1 ,可以發(fā)現(xiàn)，任何一個大于 1 的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰的“三角形數(shù)”之和.下列等式中，符合這一規(guī)律的表達式是( )十 3 9=3+616=6HO圖 X5-5-1113= 3 + 10;25= 9+ 16; 36= 15+ 21; 49= 18+ 31; 64= 28+ 36.A.B.C.D .3.數(shù)列an的首項為 3, bn為等差數(shù)列，且bn=an+1-an(n N*).若b3

12、= 2,b10=12, 則as=( )A. 0 B . 3C. 8 D . 114. 設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為 S,若 8a2+a5= 0,則下列式子中數(shù)值不能確定的是( )a5S5A. B. ea3S3an+1Sn+1C. D.-anS一 2 15.(xx 年新課標I)若數(shù)列an的前n項和為S=an+ 3，則數(shù)列an的通項公式是an6.已知數(shù)列an滿足a1= 1,an+1= ，貝yan= .3an十 17. 已知在數(shù)列an中，a1= 1 ,an+1= 2an+n,則數(shù)列an的通項公式是an=&已知在數(shù)列an中，a1= 1,an+1= 3an+ 3n，貝Uan=_9. (xx 年新課

13、標n)已知數(shù)列an滿足a1= 1,an+1= 3an+1.(1)證明：ian+ 2 是等比數(shù)列，并求an的通項公式；1113證明：A+0；+盯2.10.(xx 年安徽)數(shù)列an滿足ai= 1,na+1= (n+ 1)an+n(n+ 1) ,n N*.證明：數(shù)列 半是等差數(shù)列；設(shè)bn= 3nan，求數(shù)列b的前n項和S.第 6 講合情推理和演繹推理1觀察(x2) = 2x, (x4) = 4x5, (cosx) = sinx.由歸納推理，得若定義在 R 上的 函數(shù)f(x)滿足f( x) =f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，貝 Ug( x)=()A.f(x) B . f(x) C .g(x)

14、D . g(x)2 . (xx 年廣東茂名一模)已知 26X1= 2,22X1X3= 3X4,2、1X3X5=4X5X6,24X1X3X5X7= 5X6X7X8,，依此類推，第n個等式為 _4如圖 X5-6-1，在平面上，用一條直線截正方形的一個角，則截下的一個直角三角形按如圖 X5-6-1(1)所標邊長，由勾股定理，得c2=a2+b2.設(shè)想把正方形換成正方體，把截線換成如圖 X5-6-1(2)所示的截面，這時從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OABC若用S1,S2,S3表示三個側(cè)面面積，S4表示截面面積，則可以類比得到的結(jié)論是5(xx 年陜西)觀察下列等式：12= 112 22= 3“2

15、2小21 2 + 3 = 612 22+ 32 42= 10照此規(guī)律，第n個等式為 _ .6試從上述 5 個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；式，可猜想出的一般結(jié)論是 _.2239396.(xx 年廣東汕頭一模)觀察下列一組等式：1 + 2 = 4,2= 4, + 3 =3= 2，416 4163+ 4 =亍,3X4= y，根據(jù)這些等式反映的結(jié)果，可以得出一個關(guān)于自然數(shù)n的等式,這個等式可表示為17.(xx 年福建龍巖模擬)代數(shù)式 1+( “”表示無限重復(fù))是一個固定值，可1 + -1 +以令原式=t，由 1 +=t，解得其值為t=5；，用類似方法可得，2+ 2 + 2+二5.已知 cos斗=1n

16、2n2，cosycos-5-圖 X5-6-11n2n3n,coscoscos47778，根據(jù)以上等B第 7 講直接證明與間接證明1.下列各式中，對x R 都成立的是(A. Ig(x2+ 1) lg(2x) B .x2+ 1 2x2.要證a2+b2 1 a2b2w0,只要證. 2 2A. 2ab1a bwo4. 422a+bB.a+b1 wo2 2D. (a1)(b1)02 2 23.若a,b,c是不全相等的實數(shù)，求證：a+b+cab+bc+ac.其證明過程如下:2 2 2 2 2 2/ a,b,c R,.a+b 2ab,b+c 2 be,a+c 2 ac.2 2 2又a,b,c不全相等，2 (

17、a+b+c) 2 (ab+bc+ac).二a2+b2+c2ab+bc+ac.此證法是()A.分析法 B .綜合法C.反證法 D .分析法與綜合法并用4.如下是證明.7 1 11 5 的過程: 要證 7- 1：1 二 5,只需證 7 +；5 71 + 1 ,即證（，7+ 5）2（11 + 1）2,即證-351，即證 3511，顯然成立. （7 1Jii寸 5.其證法是（）A.分析法 B .綜合法C.間接證法 D .分析法與綜合法并用5.（xx 年山東）用反證法證明命題設(shè)a,b為實數(shù)，則方程x2+ax+b= 0 至少有一個 實根”時，要做的假設(shè)是（）A.方程x2+ax+b= 0 沒有實根B.方程x

18、2+ax+b= 0 至多有一個實根2C.方程x+ax+b= 0 至多有兩個實根D.方程x2+ax+b= 0 恰好有兩個實根6.a ,3是兩個不同的平面，m n是平面a及B之外的兩條不同的直線，給出四個論斷：mLn；a丄3:n丄3:ml a.以其中的三個論斷作為條件，余下一個論斷 作為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題 _.7. 下表中的對數(shù)值有且僅有一個是錯誤的：x358915lgx2aba+c3 3a 3c4a 2b3ab+c+ 1請將錯誤的一個改正為 _ .8. （xx 年福建）已知集合a,b,c = 0,1,2，且下列三個關(guān)系：az2；b= 2；c0有且只有一個正確，則100a+ 10b+c

19、=_.9. （xx 年湖北）已知等比數(shù)列an滿足|a2a3| = 10,aa3= 125.（1）求數(shù)列an的通項公式；C.1x21x+2xC.a+b22 21a b111（2）是否存在正整數(shù)m使得一+ + + 1?若存在，求m的最小值；若不存在，請a1a2am說明理由.10. (xx 年浙江)已知等差數(shù)列an的公差d0,設(shè)an的前n項和為S, ai= 1,S2S3=36.(1) 求d及 S；(2) 求m k(m k N)的值，使得a卄am+1+a耐2+am+ k= 65 成立.第 8 講數(shù)學(xué)歸納法1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：/n*(n+1)(n+2).(n+n)=2x1x3x x(2n+1)(nN)

20、,從“n=k”到“n=k+1”左端需乘的代數(shù)式是()A. 2k+ 1 B . 2(2k+ 1)到k+1”時，左邊應(yīng)加()A.k2B . (k+ 1)22 2 2 2 2C.k+ (k+ 1) +kD . (k+ 1) +k3.對一切正整數(shù)n,n2與 2n的大小關(guān)系為()A. 對一切n N*，恒有n22n*2nB. 對一切n N ,恒有n2C.當n= 1 或n5時，n22nD. 以上都不對2k+ 12k+ 3C.k+ 1 D.k+ 12.用數(shù)學(xué)歸納法證明:丄2小221 + 2 + n + +n 2n2+13，第二步證明由4.f(n)和g(n)都是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，滿足：f(1) =g(1)

21、；對n N,f(n)f(n 1) =g(n) g(n 1).那么猜想對n N 時，有()A.f(n)g(n)B.f(n)g(n) C-f(n) =g(n)&已知f(n) =+-+-+ + ，則下列說法正確的是n n+1n+ 2n1 11f(n)中共有n項，當n= 2 時，f(2) = + 3；1 1 12f(n)中共有n+ 1 項，當n= 2 時，f(2) = -+- + -；23421 13f(n)中共有nn項，當n= 2 時，f(2) = - + -；21 1 1f(n)中共有nn+ 1 項，當n= 2 時，f(2) = 2+- + 4.2349. (xx 年廣東深圳一模)已知數(shù)列

22、an的前n項和為 S,且滿足 4(n+ 1)( $+ 1) = (n+2 *2) Sh(n N).(1)求a1,a2的值；求 an；n+ 13(3)設(shè)bn=，數(shù)列bn的前n項和為Tn,求證：Tn；.an410.(xx 年重慶)設(shè)a1= 1,an+1=；ja2 2an+ 2 +b(n N).(1)若b= 1，求a2,a3及數(shù)列an的通項公式；值為D.f(n)與g(n)大小關(guān)系不能確定5用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 + 2+ 22+ 25n1是 31 的整數(shù)倍時，當n= 1 時，上式等于()5n1A.C.6.A.C.7.21+2 B . 1+2+21 + 2 + 22+ 23D . 1 + 2 + 22+

23、 23+ 241 1 1 1已知$=甬+申+k+2k(k=1,2,3)，則 乩1=()1S+ 2k+1 B .S+ 2k+S20T5 對于一切n N 成立，則正整數(shù)m的最大若b= 1,問：是否存在實數(shù)c使得a2nc4,故n的值為 4.1 15.解析：由已知，得an= 1 ,a8= 2,2an+11 1a4=,a3= 1,a2= 2, a=6.10 解析：axx=a4X503- 3= 1 ,3xx=a2X1007=a1007=a4X252- 1= 0.7.( 3, +m) 解析：由an為遞增數(shù)列，得 Si+1an= (n+1)2+k(n+ 1) + 2nkn 2= 2n+ 1 +k0 恒成立，即

24、k (2n+ 1)恒成立，即k (2n+ 1)max= 3.8.20 解析：3 = 20+21; 5 =20+22,6 =21+ 22;9=2+23,10 =21+ 23,12=22+ 23;17 =041424,2 + 218= 2 + 220 = 2 + 2,.故b43= 20.9.解：(1)設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d,等比數(shù)列 bn 的公比為q,貝USw= 10 曰+ 45d= 55?d= 1?an=a1+ (n 1)d=n,3n 1n 1b4= bq = 8?q= 2? b = bq = 2,貝VSn=n,bn= 21.(2)a1=1,a2=2,a3=3, b=1,b2=2,b3=4

25、,從an, bn的前 3 項中各隨機抽取一項寫出相應(yīng)的基本事件有(1,1) , (1,2) , (1,4),(2,1) , (2,2) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,4),共 9 個，符合題意的有(1,1) , (2,2),共 2 個，2 故抽取的兩項的值相等的概率為 9 當n0 ,即an+1an； 當n= 9 時,an+1an= 0,即ae=a9； 當n9 時，an+1an0 ,即an+1an. 因此匕a1a2a11a12.當n= 9 或n= 10 時，數(shù)列an有最大項，最大項為as或 ae.第 2 講等差數(shù)列1. C 解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d, a= 2

26、,S3= (a1+a3) +a2= 3a2= 12 ,a2= 4 ,d12,1a6=15=1,a5= 1 _ = 2.a6同理,an+1an= (n+ 2)帶)+1-(n+1)110.解:=2，貝Va6=ai+ 5d= 12.8X72.A 解析：Ss= 8ai+ 2d= 4a3= 4(ai+ 2d) , 4ai=- 20d,ai=- 5d.又Ta7=ai+ 6d=d=- 2,.ai= 10,a9=ai+ 8d= 10 + 8X( 2) = 6.3.D 解析：S,S2,S成等比數(shù)列，二S2=SS,即(2a 1) =a1(4a 6).解得a1= 12.4.A 解析：由a1+a7+a13是一個確定的

27、常數(shù)，得3a7是確定的常數(shù)，故正確；$3=11a1 +a13解析：SmSm- 1=am= 2 ,Sm+1Sm=am+1= 3，兩式相減，得am+1am=d= 1.m m- Ima+= 0,6.C 解析：由已知，得 22，即 1,21.又anan1=d,故 21，從而a1d2)行的第 2 個數(shù)構(gòu)成數(shù)列an，則有a3a2= 2,a4a35a8= 8a13,得 5 佝+ 7d) = 8+ 12d).3 、 c 641a10?nW=21：.61 33an=a1+ (n 1)d=a+ (n 1) 兩式相減，得 2Sn= | +n+ 2n+42n+2= 1 .an數(shù)列存卩勺前n項和為Sn= 2 /bn,a

28、n+1,bn+1成等比數(shù)列，&+1=bnbn+1.數(shù)列 an,bn 的每一項都是正數(shù)， an+1=bnbn+1. 于是當n2時，an=寸bn1bn.將，代入式，得2 ,bn=bn1+jbn+1,因此數(shù)列, b是首項為 4,公差為 2 的等差數(shù)列.- bn=b+(n 1)d= 2n+ 2，于是bn= 4(n+ 1)2. 由式，得當n2時，an= Qbn1b=_n+1 _2=4n( n+1).當n= 1 時，a1= 8,滿足該式子，對一切正整數(shù)n,都有an= 4n(n+1).(3)由(2)知，所證明的不等式為1 1 1 1 27 23 474n2+ 4n 1丁方法一：首先證明212- (4

29、n+ 4n 1 Ann+ 1；11 22 22? 7n+ 7n8n+ 8n 2?n+nn2).2(r一2 7?20，當n2時，該式恒成立，1111 2 了 1、當n2時,n n+120?丄n+ 11_2 2=7. 1時，一7 7綜上所述，對一切正整數(shù)、一 1方法二：4n2+ 4n 1 4n2+ 4n 3 _ gn-t1 1 1當n3時，弓+石+ 亠 1 1 1 1 2n，有 a1+a1+a1+二a1 1a2 1a3 11an- 1丁7 234_5-9 + 7-+ +丄+2n+ 1 十1 1 1112 7+23+4 5+7 獰t1 2 11112當n= 1 時，77；當n= 2 時，7 + 23

30、7 + 7 =-.1 1 1 綜上所述，對一切正整數(shù)n,有 +a1 1a2 1a3 1、一 . 1 1 1方法三：4n2+ 4n 1 4n2 1 ?n12n+l 2t1 1 1當n4時，二+ 喬+7234n+ 4n 11 2 七11112當n= 1 時，一一；當n= 2 時，一+一 + - = 一；7 7723 777?1 1 1 1 1 1 2當3時,7 十 23 十 47 7 十 14 十 147.1 1 1 1 2 綜上所述，對一切正整數(shù)n,有 +弓a1 1a2 1a3 1an 1 7第 5 講利用幾類經(jīng)典的遞推關(guān)系式求通項公式1. C 2.C3. B 解析：由題意，得b+2d 2， 解

31、得bi= 6,d= 2.|b1+9d=12.Tbnan+1an,b1+b2+ +bn=an+1a1.7X6 a8b1+b2 +b7+37X(6)+廠X2+33.3a54. D 解析：數(shù)列an為等比數(shù)列，則 8a2+a5=a2(8 +q) = 0.Ta2M0,.q= 2. /a311;an+107=q=2；n有關(guān).故選D.5. ( 2)n1解析:2 1$=3an+3,2 1$-1= an1+ 3.兩式相減，得1) an22an=科一尹-1, 則an= ( 2)n1.16.解析:3n 213n 2.13an= 3an-1，an=2,an1ai= 1,7. 3X2n1n得an+1an3an+ 11=

32、一+ 3?an1 1-=3?an+1an1=1 + 3(nan1 解析：令an+1+A(n+ 1) +B 2(an+An+B)，運用待定系數(shù)法，得An1n11,B1.an+1+(n+1)+12(an+n+1). an+n+13X2. an3X2n1.an+1anan-n-i+ 1.令 3一1bn,.數(shù)列bn是首項為 1,公差為n1nn3 解析：Tan+1= 3an+ 3333n一11 的等差數(shù)列，二bn= 1 +1(n 1) =n. /.an=n3 .2 .證明：(1)由an+1 3-n+ 1，得 01+1+ 2 3-n+313n首項為 2，公比為 3 的等比數(shù)列.所以an+?3n 1因此數(shù)列

33、an的通項公式為an 廠.9.1 31a1+ 2= 2，所以 an+ 2(2)由(1)知,因為當nl1所以 31 三 2X，1 1+ + +一a213n2X31于是a=31-所以-+-+a a2n12 1c n . W n1an3 131 _13 131 3一an210. (1)證明：a1= 1,nan+1= (n+ 1)an+n(n+ 1) ,n N*,”,I+1an等式兩邊同除以n(n+ 1)，得=+ 1,n+1n卄an+1an即n+7一n=1.3. B 解析：由題意，得b+2d 2， 解得卍是首項為 X 公差為1的等差數(shù)列.解：由(1)，得an= 1+ (n 1)x1=n,即n從而bn=

34、 3 (an=n3【Sn= 1x31十 2X32+ 3X3十十n3n,2343S= 1X3+ 2X3+ 3X3十十n32an=n.n+12n+1r13兩式相減,得一 2Sn=31十 3 十 3 十十 3 n1 3 n+1 2n2n0門十1n313nI；存1+ 3Sn=4第 6 講合情推理和演繹推理1.2.3.D2nx1X3X5x x(2n1)=(門十 1)x(門十 2)x(門十 3)xx(n+1n門十 1n+n)12 22+ 32+ ( 1)n-12n= ( - 1)22 t 2 t 2S4=S1十S2十S3n2ncos COST 2n+ 1 2n+1n+ 1n+ 16.+ (n+ 1)=n4

35、.5.nncos2n+12nNx(n+1),nNn+ 1解析：由于+n(n+ 1)=“ 2n+1+n+nn+1xn7. 2n+l2n,解析：類似令原式=(n+ 1)=&解:n + l2nn,丄十 1n+ 1故 十(n+ 1) =x(門十 1) ,nnn有.2 十！ =t,2+1=t2，解得十 cos215 sin15 cos15t=-N.(1)選擇，由 sin2151(舍去)或t= 2.11 -si n303,故這3個常數(shù)是-.4(2)推廣，得到三角恒等式2sina2。十 cos (30a)sinacos(30證明:=sin=sin.2Sina +cos+(cos3032+4COSa2

36、“3a)=4.a)sina)2sina(cos30 丄1 23 .+Sina 匚二(30 a)sinacos(30cosa +sin30.3 .+Sinacosa23cosa=二.49.解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為bi+a2= 5,(2a1+d= 5,因為即p3= 7,十 2d= 7.d,cosa +sin30sinacosa sin2asina1= 1,解得d= 3.所以an=a1+ (n 1)d= 1 十 3(n 1) = 3n 2.所以數(shù)列an的通項公式為an= 3n2(n N).1 1 1 1(2)因為 礦=飛二n= 332 3n+l ,3=4sin所以數(shù)列【勺前n項和11111111

37、 1 1 1 1 1 1=31-4+34 7+3 7帀+3 3F-53F-2+3 3K-2時=丄丄亠33n+1 3n+1假設(shè)存在正整數(shù)m n,且 1m0,所以 3m 6m-11,所以 1n1 + 亍2x，故 B 不正確.2. D 3.B4.A5.A 解析：反證法的步驟第一步是假設(shè)命題反面成立，而“至少有一個實根”的否定 是“沒有實根”.故選 A.6. 若，則(或若，則)解析：依題意可得以下四個命題：(1) mbn, a丄B,n丄Ba ；(2)mln, a丄B,mLa?n丄B;(3)n,nLB,ml a?a L B ；(4)a L B ,nLB,rla? mln.不難發(fā)現(xiàn)，命題(3) , (4)

38、為真命題，而命題(1) , (2)為假命題.7.lg15 = 3ab+c解析：如果 lg3 = 2a-b是正確的，那么 lg9 = 2lg3 = 2(2a-b)= 4a- 2b；如果 lg3 = 2a-b是錯誤的，那么 lg9 = 4a-2b也是錯誤的，這與題意矛盾反過來，Ig9 = 4a-2b也不是錯誤的，否則 Ig3 = 2a-b是錯誤的.同樣，如果 Ig5 =a+c,那么 Ig8 = 3lg2 =3(1 lg5) = 3(1 a-c)，如果 lg5 =a+c是錯誤的，那么 lg8 = 3 3a- 3c, 也錯誤，這與題意矛盾；顯然 lg8 = 3 3a 3c也不是錯誤的，否則 lg5 =

39、a+c也錯誤.Ig15 = lg(3x5) = lg3 + lg5 = (2ab) + (a+c) = 3ab+c.二應(yīng)將最后一個改正為 lg15 =3ab+c.&201 解析：由已知，若a2正確，則a= 0 或a= 1,即a= 0,b= 1,c= 2 或a= 0,b= 2,c=1 或a= 1,b= 0,c= 2 或a= 1,b= 2,c= 0 均與“三個關(guān)系有且只有一個正確” 矛盾；若b= 2 正確，則a2正確，不符合題意；所以c工0正確，a= 2,b= 0,c= 1,故 100a+ 10b+c= 201.9.解：(1)Taa2a3=a2= 125, a2= 5.又a2|q1| =

40、10,.q= 1 或q= 3.s=+a+-Fcba3a3a4+ -an-1ananan+1所以-4nin= 3m 6m-1n1小an= 5(1)或an=5X3q= 3,a1= 5或：51卄nt111 5m為奇數(shù)，(2)右q= - 1,則 _+_+ _=5a1a2am$, n為偶數(shù)1 1 3 丁am1111若q= 3,則一+ + +=三 3 + 1 + +a1a2am5、33 務(wù)=1 10綜上所述，不存在滿足題意的正整數(shù)m10 .解:(1)S2S= (2a1+d)(3a1+ 3d) = 36, 將a1= 1 代入上式，解得d= 2 或d= - 5.T公差d0,.d= 2,an= 1 + 2(n

41、1) = 2n- 1,+2nn2*n(nN).S=2(2)由(1)知，am+am+ 2m-1+m+k- Uk+lm k2/ rr,k N*,2m+k- 11,k+ 11,2m+k- 1 = 5,k+1 = 13.2m十k- 1 = 13,或|k + 1 = 5.(2 耐k- 1)(k+ 1) = 65.解得解得m=- 3,k= 12,m= 5,(舍去)-k= 4.綜上所述，m= 5,k= 4.第 8 講數(shù)學(xué)歸納法1.5.2.D3.C4.C解析：原等式共有1解析：S+1=5n項，當n= 1 時，25-1= 24,選 D.1 1 1 1+ 一+ + + = + + + =k+1 + 1k+ 1 +

42、 22k+ 1k+ 2k+ 32k+ 2k+ 11 1 1 1+2k+ 12k+ 21 1 1 十 V 十十 2n，1 1則f(n+ 1) f(n) =+-=-0,數(shù)列f(n)是遞增數(shù)列,2n+ 12n+ 2n+ 12n+ 12n+ 21則f(n)min=f(1)=刁二me1007.6.1 1+2k2k+ 12k+ 2k+ 117.伽 解析：記f(n)=n+后+后1111&9. (1)解：當n= 1 時，有 4X(1 + 1)( a+ 1) = (1 + 2)a1, 解得a1= 8.當n= 2 時，有 4X(2 + 1)(a1+a2+ 1) = (2 + 2)a?, 解得a2= 27.

43、2n 1 n解：萬法一：當 n2時，有 4(S+ 1)=-.n+ 1n+1an-14( S-1+ 1)=-.nn+ 2ann+1-，得4an=n+-n即西=亠匸.an-1n2an-1ananian-2a2- n+14 5 6=n3=尹1.3an= (n+ 1) (n2).3方法二：根據(jù)ai= 8,a2= 27,猜想：an= (n+ 1).31當n= 1 時，有ai= 8= (1 + 1)，猜想成立.2假設(shè)當n=k時，猜想也成立，即ak= (k+ 1)3.市廠=1+iin+ii1+.+n+ii丄LI+1丄34+屜3丿+Q 4 廣+一1n+ n+1)4+2n+ 14.10.解：(1)方法一：a2=

44、 2,a3= 2 + 1.再由題設(shè)條件知，5 2(an+1 1) = (an 1) + 1.從而(an 1)2是首項為 0，公差為 1 的等差數(shù)列.故(an 1)2=n 1, 即卩an=n 1 + 1(n N*).方法二：a2= 2,a3= .2+ 1.可寫為a1=1 1 + 1,a2= 2 1+ 1,a3=3 1 + 1.因此猜想an= ；n 1 + 1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上式： 當n= 1 時，結(jié)論顯然成立.假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即ak= k 1 + 1，貝Uak+1=目ak1+ 1 + 1 =、.jk1+ 1 + 1=k+1 1 + 1,這就是說，當n=k+ 1 時結(jié)論成立.所以an=

45、訃n 1 + 1(n N).方法一：設(shè)f(x) =x12+ 1 1，貝Uan+1=f(an).令c=f(c)，即c=, c12+ 1 1.解得c= 4.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明a2nca2n+11.當n= 1 時，a2=f(1) = 0,a3=f(0) = 2 1, 1所以a2;a31，結(jié)論成立.那么當n=k+ 1 時，有 4(k+ 1+ 1)(S+1+ 1) = (k+ 1 + 2)k+ 1 +訂即4(s+1+1) =k+1；1k+ 少2ak又4(s+1)=-k+k22ak+1,2ak+12ak+1k + 2k+1，得 4ak+1=233解得ak+1= (k+ 2) = (k+1 + 1).當n

46、=k+ 1 時，猜想也成立. 因此，由數(shù)學(xué)歸納法證得an= (n+ 1)3成立.rmn+111證明：Tbn=2akk+ak+1k+ 2k+ ?k+ k+ 1an1n+12nn+1 n n+ 1，2ananian-2a21 1 1 1 1 1 1bn-1+bn=尹F+孑+F+n+12 jj j r I / Ii.i知識梳理1ca2k+2a2.再由f(x)在(g, 1上為減函數(shù)，得c=f(c)f(a2k+2)f(a2)=a31.故ca2k+31,因此a2(k+i)ca2(k+1)+11,這就是說，當n=k+ 1 時結(jié)論成立.1*綜上所述，存在c= 4 使得a2nca2n+1對所有n N 成立.方法

47、二：設(shè)f(x) =, x2+ 1 1,貝Uan+1=f(an).先證 0wanW1(n N).當n= 1 時，結(jié)論顯然成立.假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即 0wakw1.易知f(x)在(一g,1上為減函數(shù)，從而0=f(1)wf(ak)wf(0)=211,即 0wak+1w1.這就是說，當n=k+ 1 時結(jié)論成立. 故成立.再證a2na2n+1(n N).當n= 1 時，a2=f(1) = 0,a3=f(a2) =f(0) = ：,.2 1,所以a2a3, 即卩n= 1 時成立.假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即a2kf(a2k+1) =a2k+2,a2(k+1)=f(a2k+1)f(a2k+2) =a2(k

48、+1)+1.這就是說，當n=k+ 1 時成立. 所以對一切n N*成立.由，得a2nQa2n 2a2n+ 2 1 ,2 2即(a2n+ 1) a2n 2a2n+ 2.1因此a2nf(a2n+1)，即a2n+1a2 n+2.所以a2n+1甘a2n+1 2a2n+1+ 2 1.1解得a2n+1；.41 *綜上所述，由知，存在c=：使得a2nc_jA tfFA沽T 4 J J 7 J I1fl一、平面向量基本定理的應(yīng)用【例 1】已知梯形ABCD如圖所示，=, MN分別為AD BC的中點.設(shè)=e1,=e2,試 用e1,e2表示， ， .n廠方法提煉應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則

49、或三角形法則進 行向量的加、減或數(shù)乘運算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用當基底確定后，任 一向量的表示都是唯一的.請做針對訓(xùn)練1二、 平面向量的坐標運算【例 2】已知 A 2,4) ,B(3 , 1) ,0( 3, 4).設(shè)=a,=b,=c.(1) 求 3a+b-3c；(2) 求滿足a=nto+nc的實數(shù)m n.方法提煉 1.向量的坐標運算實現(xiàn)了向量運算代數(shù)化，將數(shù)與形結(jié)合起來，從而使幾何問 題可轉(zhuǎn)化為數(shù)量運算.2 .兩個向量相等當且僅當它們的坐標對應(yīng)相同.此時注意方程(組)思想的應(yīng)用.提醒：向量的坐標與點的坐標不同；向量平移后，其起點和終點的坐標都變了，但向量 的坐標不變.請做針對訓(xùn)練

50、2三、 平面向量共線的坐標表示【例 3- 1】已知a= (1,0) ,b= (2,1).(1) 當k為何值時，ka-b與a+ 2b共線；(2) 若=2a+ 3b,=a+nb且A,B, 0三點共線，求m的值.【例 3-2】已知向量a= (sin0, 2) ,b= (cos0, 1)，且a/b,其中o0,號(1) 求 sin0和 cos0的值；10n(2) 若 sin(0Q)=, 0v 0 v2，求 cos $ 的值.方法提煉向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當兩向量 的坐標均非零時，也可以利用坐標對應(yīng)成比例來求解.請做針對訓(xùn)練3演練婀提戲已_ a售陽穩(wěn)菲崛2考情分析從近

51、兩年的高考試題來看，向量的坐標運算及向量共線的坐標表示是高考的熱點，題型 既有選擇題、填空題，又有解答題，屬于中低檔題目常與向量的數(shù)量積運算等交匯命題， 主要考查向量的坐標運算及向量共線條件的應(yīng)用.同時又注重對函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化化歸等思 想方法的考查.預(yù)測 xx 年高考仍將以向量的坐標運算及向量共線的坐標表示為主要考點，重點考查運算 能力與應(yīng)用能力.針對訓(xùn)練1.下列各組向量： e1= ( 1,2) ,e2= (5,7):e1= (3,5) ,e2= (6,10): 8 = (2 ,- 3) ,e2= 1,- 4，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量基底的是().A. B .C. D .2 .在ABC

52、中，點P在BC上，且=2，點Q是AC的中點，若=(4,3) , = (1,5)，則等于 ( ).A. ( - 6,21) B . ( - 2,7)C. (6 , - 21) D . (2 , - 7)(1 1 、3 .設(shè)a= sinx, 3n廠,b=i, ?cosx，且a/b,則銳角x等于().7t7t5n124 .已知直角坐標平面內(nèi)的兩個向量 量c都可以唯一的表示成c=入a+卩b,a= (1,3) ,b= (m,2m-3)，使得平面內(nèi)的任意一個向 則m的取值范圍是_.參考答案基礎(chǔ)梳理自測 知識梳理1 .不共線 存在唯一一入iei+入2e2不共線的向量ei,e22.(i)(x，y)(x,y)(2)向量的坐標3.(2)(X2-xi,y2-yi) 終點的坐標減去起點的坐標(3)入b xiy2-X2yi= 0 基礎(chǔ)自測i . D 解析： 2b-a= 2X(0，- i) (3,2) = (0，- 2) (3,2) = ( 3