平行四邊形(基礎(chǔ))知識講解

1、平行四邊形(基礎(chǔ))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .理解平行四邊形的概念，掌握平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理；2 .能初步運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算，并體會如何利用所學(xué)的三角形的知識解 決四邊形的問題.3 .能綜合運(yùn)用平行四邊形的判定定理和平行四邊形的性質(zhì)定理進(jìn)行證明和計(jì)算.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平行四邊形的定義平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形ABCD 記作“口ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD” .要點(diǎn)詮釋：平行四邊形的基本元素：邊、角、對角線.相鄰的兩邊為鄰邊，有四對；相對的 邊為對邊，有兩對；相鄰的兩角為鄰角，有四對；相對的角為對角，有兩對；對角線有兩條.要點(diǎn)

2、二、平行四邊形的性質(zhì)1 .邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對邊平行且相等；2 .角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補(bǔ)，對角相等；3 .對角線性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相平分；4 .平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點(diǎn)為對稱中心.要點(diǎn)詮釋：(1)平行四邊形的性質(zhì)中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性 質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補(bǔ)；對角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān) 系或倍半關(guān)系.(2)由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時(shí)根據(jù)需要進(jìn)行選擇.(3)利用對角線互相平分可解決對角線或邊的取值X圍的問題，在解答時(shí) 應(yīng)朕系三角形三邊的不等關(guān)系來解決.要點(diǎn)三、平行四邊形的判定1 .兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

3、；2 .兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；3 .一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；4 .兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；5 .對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.要點(diǎn)詮釋：(D這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當(dāng)幾種方法都能判 定同一個(gè)平行四邊形時(shí)，應(yīng)選擇較簡單的方法.(2)這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫平行四 邊形”的依據(jù).要點(diǎn)四、平行線間的距離1 .兩條平行線間的距離：(1)定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行 線間的距離.注：距離是指垂線段的長度，是正值.(2)平行線間的距離處處相等任何兩平行線間的距

4、離都是存在的、唯一的，都是夾在這兩條平行線間最短的線段的長度. 兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的.2 .平行四邊形的面積：平行四邊形的面積=底乂高；等底等高的平行四邊形面積相等.【典型例題】類型一、平行四邊形的性質(zhì)1、如圖，在口 ABCD中，E為BC邊上一點(diǎn)，且AB=AE.(1)求證：ABC9EAD;(2)若 AE 平分/DAB, ZEAC=20° ,求/AED 的度數(shù).【思路點(diǎn)撥】(1)先證明NB=/EAD,然后利用SAS可進(jìn)行全等的證明；(2)證明aABE 為等邊三角形，可得NBAE=60° ,求出NBAC的度數(shù)，即可得/AED的度數(shù).【答案與解析】解：(1),

5、在平行四邊形ABCD中，AD/BC, BC=AD,/ EAD= / AEB,又,.AB=AE,/ B= / AEB / B= / EAD,在AABC 和AEAD 中，/.ABCAEAD.(2)AE平分/DAB,/ N BAE=N DAE,/ BAE= / AEB= / B,.ABE為等邊三角形，AZBAE=60° , Z BAC= Z BAE+ Z EAC=80° ,/ABCAEAD, /.ZAED=ZBAC=80° .【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題注意掌握 平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì).舉一反三：【變式】如圖，E、F

6、是平行四邊形ABCD的對角線AC上的點(diǎn)，CE=AF,請你猜想：線 段BE與線段DF有怎樣的關(guān)系？并對你的猜想加以證明.【答案】證明：猜想：BE /DF且BE = DF.四邊形ABCD是平行四邊形.CB = AD, CB II AD/.ZBCE=ZDAF在4BCE和4DAF中CB = AD< /BCE = ZDAFCE = AF/.BCEADAF,.BE = DF, ZBEC=ZDFA/.BE/DF即 BE /DF 且 BE = DF.類型二、平行四邊形的判定2、如圖所示，E、F分別為四邊形ABCD的邊AD、BC上的點(diǎn)，且四邊形AECF和DEBF 都是平行四邊形，AF和BE相交于點(diǎn)G, D

7、F和CE相交于點(diǎn)H.求證：四邊形EGFH為 平行四邊形.【思路點(diǎn)撥】欲證四邊形EGFH為平行四邊形，只需證明它的兩組對邊分別平行，即EG /FH, FG/HE可用來證明四邊形EGFH為平行四邊形.【答案與解析】證明：四邊形AECF為平行四邊形，/. AF/CE.四邊形DEBF為平行四邊形， /. BE II DF.二.四邊形EGFH為平行四邊形.【總結(jié)升華】平行四邊形的定義既包含平行四邊形的性質(zhì)，又可以用來判定一個(gè)四邊形是平 行四邊形，即平行四邊形的兩組對邊分別平行，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形. 舉一反三：【變式】（2015XX校級一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB/CD, /BA

8、D的平分線交 直線BC于點(diǎn)E,交直線DC干點(diǎn)F,若CE=CF,求證：四邊形ABCD是平行四邊形.【答案】證明：/BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E, AZ1 = Z2,/AB/CD, Z 1 = N F, /CE=CF, N F=N 3, AZ1 = Z3,.N2=N3,/.AD/BC,/AB/CD,四邊形ABCD是平行四邊形.3、如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別在AD、BC邊上，且AE=CF.求證：（1） AABEACDF; （2）四邊形BFDE是平行四邊形.【答案與解析】證明：（1） .四邊形ABCD是平行四邊形，Z A= ZC, AB=CD,在aABE和4CDF中，AB = CD&l

9、t; ZA = NC ,AE = CF/.ABEACDF (SAS);(2) .四邊形ABCD是平行四邊形，/.AD/BC, AD = BC,AE = CF,/.AD-AE = BC-CF,即 DE = BF,二.四邊形BFDE是平行四邊形.【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定.此題難度不大, 注意熟練掌握定理的應(yīng)用.類型三、平行四邊形與面積有關(guān)的計(jì)算4、如圖所示，在匚7ABCD中，AE1BC干點(diǎn)E, AFLCD干點(diǎn)F.若/EAF=60。，BE【思路點(diǎn)撥】在四邊形AECF中，由巳知條件NEAF=60° ,可求出NC = 120° ,進(jìn)而 求出NB

10、 = 60° .由于BE = 2cz,在RtABE中，可求出AB.同理，在RtAFD中 求出AD.要求口ABCD的面積，需求出AE或AF的長.【答案與解析】解：在四邊形 AECF 中，VZEAF=60° , AE1BC, AF1CD,AZC = 360° -ZEAF-ZAEC-ZAFC = 360° -60° -90° -90° =120° .在口ABCD 中，/ AB/CD,/.ZB+ZC=180° . ZC+ZD=180° ,/. Z B= Z D = 60° .在 RtZLABE

11、 中，ZB = 60° , BE = 2cm ,J AB = 4C7，CD=AB = 4o .(平行四邊形的對邊相等)同理，在 RtZiADF 中，AD = 6a，/. BC=AD = 6c7，AF = 4AD1 -DF2 = >/62 - 32 = 34(cm ).Su 'bcd = CD AF = 4x3>/3 = 12>/3 (cm2).【總結(jié)升華】本題除了應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理外，還應(yīng)用了 “直角三角形中， 30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半”這個(gè)直角三角形的性質(zhì).舉一反三：【變式】如圖，巳知匚7ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，且AM = 9, BD=12, AD=10, 求該平行