D1_8連續(xù)性間斷點ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 函數(shù)的延續(xù)點函數(shù)的延續(xù)點 一、一、 函數(shù)延續(xù)性的定義函數(shù)延續(xù)性的定義 第八節(jié)函數(shù)的延續(xù)性與延續(xù)點 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 可見 , 函數(shù))(xf在點0 x一、一、 函數(shù)延續(xù)性的定義函數(shù)延續(xù)性的定義定義定義:)(xfy 在0 x的某鄰域內(nèi)有定義 , , )()(lim00 xfxfxx那么稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf(1) )(xf在點0 x即)(0 xf(2) 極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設(shè)函數(shù)延續(xù)必需具備以下條件:存在 ;且有定義 ,存在 ;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 continue)()(lim

2、, ),(000 xPxPxxx假設(shè))(xf在某區(qū)間上每一點都延續(xù) , 那么稱它在該區(qū)間上延續(xù) , 或稱它為該區(qū)間上的延續(xù)函數(shù) . ,baC例如例如,nnxaxaaxP10)(在),(上延續(xù) .( 有理整函數(shù) )又如又如, 有理分式函數(shù)有理分式函數(shù))()()(xQxPxR在其定義域內(nèi)延續(xù).在閉區(qū)間,ba上的延續(xù)函數(shù)的集合記作只需,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對自變量的增量,0 xxx有函數(shù)的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xOy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim

3、0yx)()()(000 xfxfxf左延續(xù)右延續(xù),0,0當(dāng)xxx0時, 有yxfxf)()(0函數(shù)0 x)(xf在點延續(xù)有以下等價命題:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例. 證明函數(shù)證明函數(shù)xysin在),(內(nèi)延續(xù) .證證: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122xx0 x即0lim0yx這闡明xysin在),(內(nèi)延續(xù) .同樣可證: 函數(shù)xycos在),(內(nèi)延續(xù) .0目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf證證0lim( )xf x, 0)0( f又又由定義

4、2知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 01limsin0,xxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右延續(xù)但不左延續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數(shù)故函數(shù) xxf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在在二、二、 函數(shù)的延續(xù)點函數(shù)的延續(xù)點(1) 函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfx

5、x存在 , 但)()(lim00 xfxfxx不延續(xù) :0 x設(shè)0 x在點)(xf的某去心鄰域內(nèi)有定義 , 那么以下情形這樣的點0 x之一, 函數(shù) f (x) 在點雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱為延續(xù)點 . 在無定義 ;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 延續(xù)點分類延續(xù)點分類: :第一類延續(xù)點第一類延續(xù)點:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf假設(shè)稱0 x, )()(00 xfxf假設(shè)稱0 x第二類延續(xù)點第二類延續(xù)點:)(0 xf及)(0 xf中至少一個不存在 ,稱0 x假設(shè)其中有一個為振蕩,稱0 x假設(shè)其中有一個為,為可去延續(xù)點 .為騰躍延續(xù)點 .為無窮延續(xù)點 .為振蕩延

6、續(xù)點 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xytan) 1 (2x為其無窮延續(xù)點 .0 x為其振蕩延續(xù)點 .xy1sin)2(1x為可去延續(xù)點 .11)3(2xxy例如例如:xytan2xyOxyxy1sinOxy1O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去延續(xù)點 .1,1,)(21xxxxfy(4)xOy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyO11, 1)0(f1)0(f0 x為其騰躍延續(xù)點 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時取何值時當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解解xxfxxco

7、slim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af )0()0()0(fff 要使要使,1時時故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 討論函數(shù)討論函數(shù)1sin,0,( )0.,0,xxxf xxxex 在在處處連連續(xù)續(xù)解00lim( )lim()xxxf xe 1, 001lim( )lim(sin)xxf xxx 0,0, 不不存存在在,0,0(0)1,f )0()0()0(fff 要使要使0,1, 故故當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)時時.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf0, 10, 目錄

8、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左延續(xù)右延續(xù))(. 2xf0 x第一類延續(xù)點可去延續(xù)點騰躍延續(xù)點左右極限都存在 第二類延續(xù)點無窮延續(xù)點振蕩延續(xù)點左右極限至少有一個不存在在點延續(xù)的類型)(. 1xf0 x在點延續(xù)的等價方式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思索與練習(xí)思索與練習(xí)1. 討論函數(shù)231)(22xxxxfx = 2 是第二類無窮延續(xù)點 .延續(xù)點的類型.2. 設(shè)0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a時提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa03. P65 題 3 , *8)(xf為延續(xù)函數(shù).答案答案: x = 1 是第一類可去延續(xù)點是第一類可去延續(xù)點 ,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P65 題題*8 提示提示:xxxfsin1sin1)( 作業(yè)作業(yè) P65 4 ; 5 xyO1第九節(jié) 1目錄 上頁 下頁