第8章-1-振動與波動

1、第八章第八章 振動和波動振動和波動u 波動是振動的傳播！波動是振動的傳播！2.2.波的分類波的分類(1) (1) 機械振動在彈性介質(zhì)中的傳播過程，叫做機械振動在彈性介質(zhì)中的傳播過程，叫做機械波機械波。如：水面波、聲波等。如：水面波、聲波等。(2) (2) 電磁場的變化在空間中的傳播過程，叫做電磁場的變化在空間中的傳播過程，叫做電磁波電磁波。如：無線電波、光波等。如：無線電波、光波等。1.1.波的定義波的定義u振動在空間中的傳播過程叫做振動在空間中的傳播過程叫做波動波動，簡稱，簡稱波波。軟繩波的傳播方向質(zhì)點振動方向振動在軟繩中的傳播振動在軟繩中的傳播l一、機械振動：一、機械振動： 物體在一定位置

2、附近作來回往復的周期性運動，物體在一定位置附近作來回往復的周期性運動，稱稱機械振動機械振動。 如：彈簧振子的運動、心臟的跳動、昆蟲翅膀的如：彈簧振子的運動、心臟的跳動、昆蟲翅膀的發(fā)聲振動等，發(fā)聲振動等，機械振動是生活中常見的運動形式機械振動是生活中常見的運動形式被手撥動的被手撥動的彈簧片彈簧片上下跳動的上下跳動的皮球皮球小鳥飛離后顫動的小鳥飛離后顫動的樹枝樹枝在在一定位置一定位置附近來回做附近來回做往復往復運動的現(xiàn)象運動的現(xiàn)象叫做機械振動，簡稱振動。叫做機械振動，簡稱振動。機械振動的主要特征是：機械振動的主要特征是：“空間空間運動運動”的往復性和的往復性和“時間時間”上的周期性。上的周期性。二

3、、簡諧振動二、簡諧振動 定義：定義：物體受到的合外力跟位移大小成正物體受到的合外力跟位移大小成正比，并且總是指向平衡位置，這種振動叫做比，并且總是指向平衡位置，這種振動叫做簡諧振動簡諧振動。F=-kx典型的簡諧振動：典型的簡諧振動：彈簧振子、單擺彈簧振子、單擺簡諧振動是最簡單、最基本的振動簡諧振動是最簡單、最基本的振動; ;任何復雜振動，都可看作是若干簡諧振動的合成。任何復雜振動，都可看作是若干簡諧振動的合成。彈簧振子彈簧振子: :l 由一根輕彈簧由一根輕彈簧(勁度系數(shù)為勁度系數(shù)為k)和質(zhì)量為和質(zhì)量為m的物體（的物體（質(zhì)點質(zhì)點）構(gòu)）構(gòu)成，系統(tǒng)與外界成，系統(tǒng)與外界無摩擦力無摩擦力；（理想模型）（

4、理想模型）l 彈力是使物體回到平衡位置的回復力；彈力是使物體回到平衡位置的回復力；l 彈力和慣性的交替作用使物體在平衡位置附近來回往復的彈力和慣性的交替作用使物體在平衡位置附近來回往復的運動；運動；質(zhì)點的動力學方程：質(zhì)點的動力學方程：kxdtxdm 220222 xdtxd 2mk 令令)t cos(A)t (x 演示演示一一. . 簡諧振動簡諧振動 定義定義: :8.1 8.1 簡諧振動簡諧振動二二. . 描述簡諧振動的特征量（三要素）描述簡諧振動的特征量（三要素） 1. 振幅振幅 A：振動物體離開平衡位置的最大位移；振動物體離開平衡位置的最大位移；A02. 周期周期T： 物體完成一次物體完

5、成一次全振動全振動所用的時間；所用的時間； 頻率頻率 v： 單位時間內(nèi)完成全振動的次數(shù)；單位時間內(nèi)完成全振動的次數(shù)； 圓圓(角角)頻率頻率 ：v = 1/T (Hz)x是描述位置的物理量是描述位置的物理量,如如 y , z 或或 等等.) cos()(tAtx 物體振動時，如果離開平衡位置的位移物體振動時，如果離開平衡位置的位移x 隨隨時間時間t 的變化可表示為余弦函數(shù)的變化可表示為余弦函數(shù)簡諧振動簡諧振動/2T)(cos)cos(TtAtAx角頻率和周期之間的關(guān)系：角頻率和周期之間的關(guān)系：2 2或T固有周期和固有固有周期和固有(角角)頻率頻率kmT2 2u簡諧振動方程：簡諧振動方程：)cos

6、(tAx圓頻率圓頻率初相位初相位振幅振幅位移位移l 簡諧振動方程的三要素：簡諧振動方程的三要素：A、 、 振幅：振幅：A 角頻率：角頻率： 初相位：初相位： tAdtdxvsintAdtxdacos222 tcosAtx2 2 tcosA位移：位移：速度：速度：加速度：加速度：簡諧振動的速度和簡諧振動的速度和 加速度加速度1.簡諧振動的各階導數(shù)也簡諧振動的各階導數(shù)也都作簡諧振動都作簡諧振動3. 3. 相位相位(1) ( t + ) 是是 t 時刻的時刻的相位相位，確定質(zhì)點在，確定質(zhì)點在t時刻的時刻的運動狀態(tài)的物理量。運動狀態(tài)的物理量。 (2) 是是 t =0 時刻的相位時刻的相位初相位初相位，

7、確定質(zhì)點在，確定質(zhì)點在t0時時刻的運動狀態(tài)的物理量?？痰倪\動狀態(tài)的物理量。) cos()(tAtx)cos(2tAa)sin(tA運動狀態(tài)是由位置和速度來表征的運動狀態(tài)是由位置和速度來表征的.由此：位移、速度、加速度由由此：位移、速度、加速度由( t + ) 確定；確定；描述描述簡諧振動簡諧振動的的（三要素）：（三要素）：振幅、周期、相位振幅、周期、相位 相位的意義相位的意義:一個一個相位對應(yīng)一個確定的振動狀態(tài)；相位對應(yīng)一個確定的振動狀態(tài)； 相位每改變相位每改變 2 ，振動重復一次振動重復一次. 相位相位 2 范圍內(nèi)變化范圍內(nèi)變化, 振動狀態(tài)不重復振動狀態(tài)不重復. txOA-A = 2 相位差

8、相位差 )cos(1111tAx)cos(2222tAx)()(1122tt12時）（當12 同相和反相同相和反相(同頻率振動同頻率振動)當當 = 2k , k=0, 1, 2. 兩振動步調(diào)相同兩振動步調(diào)相同, ,稱稱同相同相。xtoA1-A1A2- A2x1x2T同相同相當當 = (2k+1) , k=0, 1, 2. 兩振動步調(diào)相反兩振動步調(diào)相反 , 稱稱反相反相。x2TxoA1-A1A2- A2x1t反相反相 t xOA1-A1A2- A2x1x2若若 = 2- - 1 0 , 則則 x2 比比 x1 早早 達到正最大位移達到正最大位移 , 稱稱 x2 比比 x1 超前超前 (或或 x1

9、 比比 x2 落后落后 )。1.簡諧振動的各階導數(shù)也都作簡簡諧振動的各階導數(shù)也都作簡諧振動諧振動2. x, v, a相位依次相差相位依次相差 /2補充例題：補充例題：一個物體沿一個物體沿x軸作簡諧振動，振幅為軸作簡諧振動，振幅為0.12m，周，周期為期為2 s，當，當t=0時的位移為時的位移為0.06m，且向，且向x軸正方軸正方向運動。求：向運動。求：(1). 初相位初相位及簡諧振動方程；及簡諧振動方程；(2). t=0.5s時物體的位置、速度和加速度；時物體的位置、速度和加速度；11xt ()20t 0 0AA tA t0 xx繞繞O點以角速度點以角速度 逆時針逆時針旋轉(zhuǎn)的矢量旋轉(zhuǎn)的矢量 ，

10、在在x 軸上的軸上的投影投影正好描述了一個簡諧振動。正好描述了一個簡諧振動。 tA 振幅矢量振幅矢量 t+ 相位相位8.1.2 8.1.2 用旋轉(zhuǎn)矢量描述簡諧振動用旋轉(zhuǎn)矢量描述簡諧振動 tcosAx演示演示三要素：三要素：初相位：=/3XOOXA判斷：判斷： t = 0, 振子的初位移、初速度振子的初位移、初速度x0=A/2, v00（向x軸負方向運動）用旋轉(zhuǎn)矢量直觀描述簡諧振動： 確定, 振動狀態(tài)確定tXO3、用旋轉(zhuǎn)矢量描述簡諧振動：OXA初相位=/2判斷：判斷： t = 0, 振子的振子的初初位移、位移、初初速度速度x0=0, v00 （向x軸負方向運動）3、用旋轉(zhuǎn)矢量描述簡諧振動：OXA

11、XO=2/3判斷：判斷： t = 0, 振子的振子的初初位移、位移、初初速度速度x0=-A/2, v00 （向x軸正方向運動）3、用旋轉(zhuǎn)矢量描述簡諧振動：OXAXO=-/3判斷：判斷： t = 0, 振子的振子的初初位移、位移、初初速度速度x0=A/2, v00（向x軸正方向運動）同相同相2Axtxtx2A反相反相x1A1A tAtA21 tAtA21 例題例題8-4：一物體沿一物體沿x軸作簡諧振動，振幅為軸作簡諧振動，振幅為0.24m，周期為，周期為4 s，當當t=0時的位移為時的位移為0.12m，且向，且向x軸負方向運動。求：軸負方向運動。求：(1). 初相位初相位 及簡諧振動方程及簡諧振

12、動方程；(2). t =1 s時物體的位置、速度和加速度；時物體的位置、速度和加速度；(3). 在在x=-0.12m處，且向處，且向x軸負方向運動時，物體的速軸負方向運動時，物體的速度和加速度，以及度和加速度，以及從這一位置回到平衡位置所需的時從這一位置回到平衡位置所需的時間。間。代數(shù)法代數(shù)法; ;旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法; ;（一）兩個同方向、同頻率的簡諧振動的合成：（一）兩個同方向、同頻率的簡諧振動的合成：同一直線上運動，有不同的振幅和初相位同一直線上運動，有不同的振幅和初相位)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(tAx仍然是同頻率的簡諧振動。仍然是同頻率的簡諧振動。演示演示2

13、1xxx2AA1A21XY11cosA22cosA11sinA22sinA 旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAarctg)cos(AAAAA122122212 上面得到：上面得到：22112211coscossinsinAAAAarctg討論一：討論一：, 2, 1, 0212kk21AAA同相同相，兩個分振動相互加，兩個分振動相互加強，合振幅最大，稱為強，合振幅最大，稱為干干涉相長涉相長。2AA1AxtA1A2A討論二：討論二：|21AAA反相反相，兩分振動相互削弱，合，兩分振動相互削弱，合振幅最小，稱為振幅最小，稱為干

14、涉相消干涉相消。 A1A2時合振幅為時合振幅為0.2AA1A討論三：討論三：1A2AA, 2, 1, 0) 12(12kk|2121AAAAAk12一般情況：一般情況：)cos(212212221AAAAAxt合振動設(shè)一個質(zhì)點同時參與了兩個振動方向相互垂直的設(shè)一個質(zhì)點同時參與了兩個振動方向相互垂直的同頻率簡諧振動，即同頻率簡諧振動，即);cos(101tAx)cos(202tAy221222212sincos2AAxyAyAx)(1020上式是個橢圓方程，具體形狀由上式是個橢圓方程，具體形狀由 相位差相位差決定：決定： 21AA 當當 時，時，橢圓退化為圓橢圓退化為圓。（二（二）兩個相互垂直的

15、、同頻率簡諧振動的合成：兩個相互垂直的、同頻率簡諧振動的合成：討論討論1 0)(10200221222212AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直線上的運動。直線上的運動。221222212sincos2AAxyAyAxyx討論討論2)(10200221222212AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直線上的振動。直線上的振動。討論討論32)(10201222212AyAx所以是在所以是在X軸半軸長為軸半軸長為 ， Y軸半軸長為軸半軸長為 的的橢圓方程，且橢圓方程，且順順時針旋轉(zhuǎn)時針旋轉(zhuǎn)。1A2Axyoyx質(zhì)點的軌道是圓。質(zhì)點的軌道是圓。X和和Y方向的相位差決定旋轉(zhuǎn)方向方向

16、的相位差決定旋轉(zhuǎn)方向。21AA 討論討論5討論討論4所以是在所以是在X軸半軸長為軸半軸長為 ， Y軸半軸長為軸半軸長為 的的橢圓方程，且橢圓方程，且逆逆時針旋轉(zhuǎn)時針旋轉(zhuǎn)。1A2A1222212AyAx23)(1020 xyo討論討論6k21020則為任一橢圓方程。則為任一橢圓方程。32102121020，kk綜上所述綜上所述：兩個頻率相同的互相垂直的簡諧：兩個頻率相同的互相垂直的簡諧振動合成后，振動合成后，合振動在一直線上或者在橢圓合振動在一直線上或者在橢圓上進行上進行（直線是退化了的橢圓）當兩個分振（直線是退化了的橢圓）當兩個分振動的振幅相等時，橢圓軌道就成為圓。動的振幅相等時，橢圓軌道就成

17、為圓。 = 0(第一象限第一象限) = /2 = = 3 /2021AyAx1222212AyAxtAxcos1)cos(2tAy(第二象限第二象限)(第三象限第三象限)（第四象限）（第四象限）補充例題：補充例題：有兩個有兩個同頻率同頻率、同方向同方向的簡諧振動，求：的簡諧振動，求：（1）合振動的振幅和初相位；）合振動的振幅和初相位；(m) 520101032(m) 750101022221).tcos(x).tcos(x8.4 8.4 波波 動動（一）、波的定義及其分類（一）、波的定義及其分類1.1.波的定義波的定義振動在空間中的傳播過程叫做振動在空間中的傳播過程叫做波動波動，簡稱，簡稱波波

18、。2.2.波的分類波的分類(1) (1) 機械振動在彈性介質(zhì)中的傳播過程，叫做機械振動在彈性介質(zhì)中的傳播過程，叫做機械波機械波。如：水面波、聲波等。如：水面波、聲波等。(2) (2) 電磁場的變化在空間中的傳播過程，叫做電磁場的變化在空間中的傳播過程，叫做電磁波電磁波。如：無線電波、光波等。如：無線電波、光波等。 這兩類波本質(zhì)不同，但有許多共同特征，如能這兩類波本質(zhì)不同，但有許多共同特征，如能產(chǎn)生折射、反射、衍射和干涉等現(xiàn)象，且都伴隨產(chǎn)生折射、反射、衍射和干涉等現(xiàn)象，且都伴隨著能量的傳播。著能量的傳播。 波源帶動彈性媒質(zhì)中與其相鄰的質(zhì)點發(fā)生振動，振動相繼傳播到后面各相鄰質(zhì)點，其振動時間和相位依

19、次落后。 波動現(xiàn)象是媒質(zhì)中各質(zhì)點運動狀態(tài)的集體表現(xiàn)，各質(zhì)點仍在其各自平衡位置附近作振動。振動的傳播過程稱為波動。機械振動在媒質(zhì)中的傳播過程稱為機械波。產(chǎn)生機械波的必要條件：波源 作機械振動的物體；媒質(zhì) 能夠傳播機械振動的彈性媒質(zhì)。軟繩波的傳播方向質(zhì)點振動方向振動在軟繩中的傳播振動在軟繩中的傳播t = 00481620 12 t = T/4 t = T/2 t = T t = 3T/4 結(jié)論：結(jié)論：(1) (1) 振動質(zhì)點并未振動質(zhì)點并未“隨波逐流隨波逐流”, ,各質(zhì)點仍在其各自平衡位各質(zhì)點仍在其各自平衡位置附近上下振動，置附近上下振動，波的傳播不是振動質(zhì)點的傳播；波的傳播不是振動質(zhì)點的傳播；(

20、2) (2) “上游上游”的質(zhì)點依次帶動的質(zhì)點依次帶動“下游下游”的質(zhì)點振的質(zhì)點振動。動。(3) (3) 某時刻某質(zhì)點的振動狀態(tài)將在較晚時刻于某時刻某質(zhì)點的振動狀態(tài)將在較晚時刻于“下游下游”某處出現(xiàn)某處出現(xiàn)-波是振動狀態(tài)的傳播；波是振動狀態(tài)的傳播；n 振動狀態(tài)可以用振動狀態(tài)可以用相位相位來描述，所以波的傳播也可來描述，所以波的傳播也可以用以用相位相位來描述；來描述；n 在波的傳播方向上，各質(zhì)點相位依次落后；在波的傳播方向上，各質(zhì)點相位依次落后； 質(zhì)點的質(zhì)點的振動速度振動速度 ，隨時間而變化，隨時間而變化； 波的傳播速度波的傳播速度u，在各向同性介質(zhì)中是常數(shù)；在各向同性介質(zhì)中是常數(shù)；橫波：質(zhì)點的

21、振動方向與波的傳播方向垂直縱波：質(zhì)點的振動方向與波的傳播方向平行軟繩軟彈簧波的傳播方向質(zhì)點振動方向波的傳播方向質(zhì)點振動方向 在機械波中，橫波只能在固體中出現(xiàn)；縱波可在氣體、液體和固體中出現(xiàn)?？諝庵械穆暡ㄊ强v波。波 前波 面波 線波面振動相位相同的點連成的面。波前最前面的波面。平面波 （波面為平面的波）球面波 (波面為球面的波)波線（波射線）波的傳播方向。在各向同性媒質(zhì)中，波線恒與波面垂直。波傳播方向波速周期波長振動狀態(tài)完全相同的相鄰兩質(zhì)點之間的距離。波形移過一個波長所需的時間。頻率周期的倒數(shù)。波速單位時間內(nèi)振動狀態(tài)（振動相位)的傳播速度，又稱相速。機械波速取決于彈性媒質(zhì)的物理性質(zhì)?；蛴珊喼C振動

22、在均勻無吸收的媒質(zhì)中傳播所形成的波動。簡諧波 對于機械波，若波源及彈性媒質(zhì)中各質(zhì)點都持續(xù)地作簡諧振動所形成的連續(xù)波，則為簡諧機械波。 簡諧波又稱余弦波或正弦波，是規(guī)律最簡單、最基本的波。各種復雜的波都可以看作是許多不同頻率的簡諧波的疊加。簡諧波的一個重要模型是平面簡諧波。 平面簡諧波平面簡諧波的波面是平面，有確定的波長和傳播方向，的波面是平面，有確定的波長和傳播方向，各質(zhì)點振動的各質(zhì)點振動的振幅振幅恒定。恒定。t = 00481620 12 t = T/4 t = T/2 t = T t = 3T/4 設(shè)設(shè)原點原點振動表達式為振動表達式為:00tcosAyO O點運動傳到點運動傳到P點需用時間

23、點需用時間: : uxt P點比點比O O點相位落后點相位落后: :uxP點的振動方程為：點的振動方程為：0)uxt (cosA)t , x(yP點在點在t 時刻的位移等于原點處質(zhì)點在時刻的位移等于原點處質(zhì)點在 時刻的位移時刻的位移, ,則則)(uxt 簡諧振動在均勻介質(zhì)中沿簡諧振動在均勻介質(zhì)中沿x方向傳播。方向傳播。yP0 xxu這就是沿這就是沿 x 軸正向傳播的軸正向傳播的平面簡諧波動方程平面簡諧波動方程。它是。它是時間時間和和空間空間的雙重周期函數(shù)的雙重周期函數(shù)。波動方程常用周期波長或頻率的形式表達由得消去波速和分別具有單位時間和單位長度的含義，分別與時間變量 和空間變量 組成對應(yīng)關(guān)系

24、。 沿 x 軸正向傳播的平面簡諧波動方程)(cos),(0uxtAtxy+0+0若給定 ，波動方程即為距原點 處的質(zhì)點振動方程距原點 處質(zhì)點振動的初相若給定 ，波動方程表示所給定的 時刻波線上各振動質(zhì)點相對各自平衡點的位置分布，即該時刻的波形圖波形圖。xy000若 和 都是變量，即 是 和 的函數(shù)， 這正是波動方程所表示的波線上所有的質(zhì)點的振動位置分布隨時間而變化的情況?？煽闯墒且环N動態(tài)的波形圖。同一時刻，沿 x 軸正向，波線上各質(zhì)點的振動相位依次落后。波沿 x 軸正向傳播00波沿 x 軸正向傳播掌握：由波形圖判斷質(zhì)點的振動方向！ )xTt(cosA )xt(cosA )uxt(cosAy22

25、正向波的波動方程：正向波的波動方程： )xTt(cosA )xt(cosA )uxt(cosAy22反向波的波動方程：反向波的波動方程： 補充例題補充例題1：如圖如圖t=0時刻的波形圖，求時刻的波形圖，求:(1). O點的振動方程；點的振動方程；(2). 波動方程；波動方程；(3). P點的振動方程；點的振動方程；(4). a,b兩點的運動方向；兩點的運動方向；xy0.1m0.5mu=0.2m/sabP240100t.cos.tcosAy解解: A0.1 m, =1m, u=0.2m/s，T=5s所以所以 2 2 u/ =0.4 rad/s(1). O 點：點：t=0, x0=0, 00, 故

26、故 0 /2(2). 波動方程：波動方程：22040100.xt.cos.uxtcosAy(3). P點的振動方程：點的振動方程： xP=0.75 mt.cos.t.cos.y40102207504010P一 沿一 沿 x 軸 正 向 傳 播 的 平 面 簡 諧 波 的 振 幅軸 正 向 傳 播 的 平 面 簡 諧 波 的 振 幅A=0.10m, 周期周期T=0.50s，波長，波長 10m，若若t=0時刻，位于坐標原點的質(zhì)點位移為時刻，位于坐標原點的質(zhì)點位移為y0=0.05m，且向平衡位置運動，且向平衡位置運動，求求: (1). 該波的該波的波動方程；波動方程； (2). 波線上波線上相距相距2.5m的兩的兩質(zhì)點的質(zhì)點的相位差？相位差？P 345 例例8-6！P 346 例例8-7！(m) 40200020)xt(cos.y求求: (1). 波動的振幅、角頻率、波速、波長；波動的振幅、角頻率、波速、波長； (2). 距原點距原點 /2質(zhì)點的振動方程；質(zhì)點的振動方程； (3). t=0.01 s時刻該質(zhì)點的位移；時刻該質(zhì)點的位移； （4）畫出）畫出t=0和和t=0.0025s時的波形