線性代數(shù)期末試卷及解析(4套全)2018科大

1、線性代數(shù)期末試卷一一、填空題(本題共 6小題，每小題4分，滿分24分，把答案填在題中橫線上) 2 1 0 _ . _ . _ * _ . * . _(5)設矩陣A 1 2 0 ，矩B$B滿足ABA 2BA E ,其中A為A的伴隨矩陣，E是0 0 1單位矩陣，則| B | .，一，1解：|B| -._9顯然| A | 3 ,在等式ABA 2BA E兩端右乘A得3AB 6B A(3A 6E)B A上式取行列式0 3 03 0 0 |B| 30 03一 1故 |B |.9 *3 1萬法二：因 |A| 3,則 |A |A|9一 * * 將ABA 2BA E移項得 *(A 2E)BA E兩端取行列式得一

2、 11 | B | 9 1 ,故 | B | -.9、選擇題(本題 8小題，每小題4分，滿分32分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)B ,再把B的第2列加到第3列得C ,(11)設A是3階方陣，將 A的第1列與第2列交換得 則滿足AQ C的可逆矩陣Q為(A) 1 0 00 1 00 1 0(B) 1 0 1(C) 1 0 00 0 10 1 1011(D) 10000122解：(D)正確.由題意0 1 0AE12 B ,其中 E121 0 0為第一種類型初等矩陣,BE23(1) C,其中 E23(1)0 1 1為第三種類型初等矩陣0 0

3、1AE12E23(1) C AQ01則 Q E12E23(1)1000010001100111001001001A ) A 的列向量組線性相關，B ) A 的列向量組線性相關，C) A 的行向量組線性相關，D ) A 的行向量組線性相關，解：( A )正確.設A為m n矩陣，B為n因為 AB 0故 r(A) r(B) n ，其中與所給答案比較，選( D ) .12)設A, B 為滿足 AB 0 的任意兩個非零矩陣，則必有B 的行向量組線性相關.B 的列向量組線性相關.B 的行向量組線性相關.B 的列向量組線性相關.p 矩陣，r(A), r(B)分別表示矩陣 A,B的秩又因為 A, B 皆是非零

4、矩陣，故r(A)0, r(B) 0 ，所以 r(A) n， r(B) n.因此 A 的列秩數(shù)， 故選( A ) .B 的行秩數(shù)小于n ， 這說明 A 的列向量組線性相關，B 的行向量組線性相關，01001001 ，則 AB100000B 的列向量組線性無關知( B ) 、 ( D )錯誤 .1010101001 ，則 AB10由A的行向量組線性無關知(C)錯誤.9 小題，滿分94 分 . 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . )20) (本題滿分9 分)設有齊次線性方程組(1 a)x1 x2 L xn 0,(n 2)2x1 (2 a)x2 L 2xn0,LLnx1 nx2 L (n a)

5、xn 0,試問 a 取何值時，該方程組有非零解，并求出其通解解法 1 對方程組的系數(shù)矩陣1a 12 2aLLnnA 作初等行變換，有1L11a2 L22an L n a na1aL010L0B.當 a 0 時， r (A)1 n ，故方程組有非零解，其同解方程組為由此得基礎解系為1,0,0,L ,1)T,3(1,1,0,L ,0)T, 4 ( 1,0,1,L ,0)T,L于是方程組的通解為,kn 1為任意常數(shù).x 匕3L kn 141,其中k1，L當a 0時，對矩陣B作初等行變換,n(n 1)22可知an(n2x13x1M2x2X30,0,r(A)故方程組也有非零解,其同解方程組為nx1Xn0

6、,由此得基礎解系為n (1,2,L ,n)T,于是方程組的通解為k”，其中k為任意常數(shù).解法2方程組的系數(shù)行列式為|A|n(n 1) n 1a2當|A|0,當a 0時, 1對系數(shù)矩陣故方程組的同解方程組為X x2Lxn0,nn時2，A作初等行變換,方程組有非零解.由此得基礎解系為n ( 1,1,0,L ,0)T,1,0,1,L ,0)T,L ,斗 1 ( 1,0,0,L ,1)T,于是方程組的通解為xk1 3 Lkn 1 4k1,L ,kn 1為任意常數(shù).n(n 1)時，對系數(shù)矩陣A作初等行變換，有2ana故方程組的同解方程組為2x13x1 MX2X30,0,nx1Xn0,由此得基礎解系為n

7、(1,2,L ,n)T,于是方程組的通解為x kq ,其中k為任意常數(shù).(21)(本題滿分19分)2設矩陣A 11的特征方程有一個二重根,a的值,并討論A是否可相似對角化.解:A的特征多項式為2)2)(183a).2是特征方程的二重根,2時，A的特征值為線性無關的特征向量有兩個，從而2)則有2216183a0, 1解得22.2,2,6,矩陣 2E A的秩為1,故2對應的A可相似對角化.若2不是特征方程的二重根，則2 8183a為完全平方,從而 18 3a 16,解得32 3103的秩為2,故1 -134對應的，2,，入一當a 時，A的特征值為2,4,4,矩陣4E A3線性我關的特征向量只有一個

8、，從而A不可相似對角化線性代數(shù)期末試卷二一、填空題（本題共6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分 . 把答案填在題中的橫線上. ）（ 6）同數(shù)學（一）一、（ 5） .二、選擇題（本題共8 小題，每小題 4 分，滿分 32 分 . 在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，把所選項目前的字母填在題后的括號內(nèi) . ）（ 13）同數(shù)學（一）二、（ 11） .（ 14）同數(shù)學（一）二、（ 12） .9 小題，滿分94 分 . 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . ）22) (本題滿分9 分)設有齊次線性方程組(1 a)x1 x2 x3 x40,2x1 (2 a)x2 2x3 2x4

9、0,3x1 3x2 (3 a)x3 3x4 0,4x1 4x2 4x3 (4 a)x4 0,試問 a 取何值時，該方程組有非零解，并求出其通解.解法 1 對方程組的系數(shù)矩陣A 作初等行變換，有1a 1111a11122 a 222a a 0 0AB.333 a 33a 0 a 04444 a 4a 0 0 a當 a 0 時， r (A)1 4 ，故方程組有非零解，其同解方程組為x1x2x3x40.由此得基礎解系為n ( 1,1,0,0)T, 72( 1,0,1,0)T,73( 1,0,0,1)T,于是所求方程組的通解為xkink2%k3小，其中ki,k2, k3為任意常數(shù)當 a 0 時，iai

10、ii2i00B30i0400ia i0 0 0 02i0030i0400i可知 ai0 時， r(A)3 4 ，故方程組也有非零解，其同解方程組為2xi x20, 3xi x3 0,4xi x40,由此得基礎解系為n （1,2,3,4）T,于是所求方程組的通解為x k”，其中k為任意常數(shù)解法2方程組的系數(shù)行列式1 a 111_3(a 10)a3.2 2 a 22|A|3 33 a 34 444 a當|A| 0,即a 0或a10時，方程組有零解當a 0時，對系數(shù)矩陣 A作初等行變換，有11112222A33334445故方程組的同解方程組為x XoXq x 0.11110 0 0 00 0 0

11、00 0 0 0其基礎解系為耳(1,1,0,0)T, 72( 1,0,1,0)T,邙(1,0,0,1)T,于是所求方程組的通解為x k1 T1 k2r2 k3T3,其中 k1，k2, k3 為任意常數(shù)當a 10時，對A作初等行變換，有91112822A3373444620100300104000100109 1112 10 03 0 104 0 0 100 0 02 10 03 0 104 0 0 1故方程組的同解方程組為X2 2x1,X3 3x1,x4 4x1,其基礎解系為n (1,2,3,4)T,于是所求方程組的通解為 x kq,其中k為任意常數(shù)(23)(本題滿分9分)同數(shù)學(一)三、(2

12、1)線性代數(shù)期末試卷三一、填空題(本題共 6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上) 222(4)二次型 f(Xi,X2,X3) (Xi X2) (X2 X3)(X3 Xi)的秩為 解：秩為N.、2、22f(X1,X2, X3) (Xi X2) (X2 X3) (X3 Xi)2222X1 2x2 2x3 2X|X2 2xiX3 2x2x3于是二次型f的表示矩陣為211A 121112易求得r(A) 2,故二次型f的秩為2.二、選擇題(本題 8小題，每小題4分，滿分32分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(12)設n階矩陣A與B

13、等價，則必有(A)當 |A| a(a 0)時，| B| a.(B)當 |A| a(a 0)時，|B | a.(C)當 |A| 0時，|B| 0.(D)當 |A| 0 時，|B | 0.解：(D)正確.因為n階矩陣A與B等價，故存在n階可逆矩陣P,Q使PAP B故 |B| |P|A|Q|當|A| 0時，自然有|B| 0,故(D)正確.當|A| 0時，由| P|,|Q|皆不為零，故|B | 0,所以(C)錯誤.當|A| a 0時，|B| a|P |Q|,僅由A與B等價，無法推出|P|Q|1,故(A)、(B)不正確.當A,B相似時，(A)才正確.0 ,若&,&,&, &

14、;是非齊次線性方程組 Ax b的互不相. *(13)設n階矩陣A的伴隨矩陣 A等的解，則對應的齊次線性方程組Ax 0的基礎解系(A)不存在.(B)僅含一個非零解向量.(C)含有兩個線性無關的解向量 .(D)含有三個線性無關的解向量.解：(B)正確. * - . . . 、 . 因A 0,故A中至少有一個非零元素.由于A中元素恰為 A的n 1階代數(shù)余子式所組成， 故A至少有一個n 1階子式非零，這表明r(A) n 1.現(xiàn)斷言r(A) n ,否則A可逆，則線性方程組 Ax b有惟一解，這與 &, &是非齊次線性方程 組Ax b不同的解矛盾.由此必有r(A) n 1,所以齊次線性方程

15、組 Ax 0的解空間維數(shù)為n (n 1) 1,即Ax 0的基礎解僅含一個非零解向量 .可見(B)正確，(A)錯誤.盡管從&,&,&, &是非齊次線性方程組 Ax b的互不相等的解，可以得出 Ax 0有三個不同的非零解，如& &, & &, & a,但是它們是成比例的線性相關解，也就是說Ax 0不會有兩個，更不會有三個線性無關的解向量，即(C)、(D)不正確.三、解答題(本題共 9小題，滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(20)(本題分13分)設四(1,2,0)T, 0C2 (1,a 2, 3a)T,03

16、( 1, b 2,a 2b)T, 0 (1,3, 3)T.試討論當 a,b為何值時，(I) B不能由的，犯出線性表示；(II) 0可由的，a2, 出惟一地線性表示，并求出表示式；(III) 0可由四，02,出線性表示，但表示式不惟一，并求出表示式解：設有數(shù)K,k2,k3,使得(*)k1a1k2 為k3 03記 A ( o1, 02, 03).對矩陣(AB)施以初等行變換，有(A B)1112 a 2 b 203a a 2b1 11；10 a b ;10 0 a b 0(I)當a 0, b為任意常數(shù)時，有(AB)可知r(A) r(A 0).故方程組(*)無解，B不能由g, %, 電線性表示(II

17、)當a 0,且a b時r(A) r(A 0) 3 ,故方程組(*)有惟一解11k1 1 一，卜2 一，k3 0,aa則0可由01, 02,出惟一地線性表示，其表示式為(III)當 ab 0時，對(AB)施以初等行變換，有:110 0 1- ；aI:1(A 份 0 11；a0 0 0 %可知r(A)k1 1r(A 0) 2,故方程組(*)有無窮多解，其全部解為1 ,1、,，一,k2 (c), k3 c ,其中c為任息常數(shù).a aB可由O1, 02, 03線性表不，但表木式不惟一，其表木式為1、,10 (1)3(C)(%2C 0(3 .(21)(本題滿分13分)1 b L bb 1 L bA MM

18、 Mb b L 1(I)求A的特征值和特征向量;(II)求可逆矩陣P ,使得P 1AP為對角矩陣.解：(I) 1o當 bI E A|0時， 1 b L bb 1 L bMMMb b L 1 1 (n 1)b(1 b)n1對于1 1 (n 1)/b ,設A的屬于特征值1的一個特征向量為 則故A的特征值為1 1 (n 1)b, 2 L n 11 (n 1)b&，解得&(1,1,L ,1)T,所以全部特征向量為k&k(1,1,L ,1)T(k為任意非零常數(shù))對于2 L n 1 b,解齊次線性方程組(1bb(1 b)E A MbbLb1bLb0M M MbLb0b)E 1 L0

19、 L M0 LAx 0,由10M0解得基礎解系& (1, 1,0,L ,0)T,a (1,0, 1,L ,0)T, & (1,0,0,L , 1)T.故全部特征向量為(k2,L ,kn是不全為零的常數(shù)).n 1 ,任意非零列向量均為特征向量k2& k3& L kna2o當b 0時，特征值1 L(II) 1o當b 0時，A有n個線性無關的特征向量，令P (&, &,L,&),則P 1AP diag1 (n 1)b,1 b,L ,1 b.2o當b 0時，A E ,對任意可逆矩陣 P ,均有 P 1AP E.注：自（1,1,L ,1）T也可由求

20、解齊次線性方程組（i E A）x 0得出.線性代數(shù)期末試卷四、填空題（本題共06小題，每小4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上.）(4)設 A1AP其中P為三階可逆矩陣，則B2004 2 A2解：0得A2其中2004-E是3階單位陣，所以A E .12004P AP 得 B01 A 2004 、A P1日ZE20042B 2A E2A20（5）設A （a。）3 3是實正交矩陣，且解：(1,0,0)T.在方程Ax b兩端左乘ATAT Ax ATb1a 21a31則 x ATba12a22a32a12a13a 21a12a22a13a23由此得a13a23a33代回Ax b有a31a32a33a

21、12a131a1222 a13因A為實矩陣，故a120,因此a111,(1,0,0)T,則線性方程組Ax b的解是a12a13Ax二、選擇題（本題共 8小題，每小題4分，滿分b的解為x 032分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).）（12）同數(shù)學（三）二、（12）三、解答題(本題共 9小題，滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(20)(本題滿分13分)設線性方程組X 2x1 3x1X2X2(2X3 X4X3 2X4 )X2(40,0,)X3 4x4 1,已知(1, 1,1, 1)T是該方程組的一個解.試求(I)方程組的全部解，并用對應的齊次線性方程組的基礎解系表示全部解;(II)該方程組滿足X2 X3的全部解.解：將(1, 11, 1)T代入方程組，得.對方程組的增廣矩陣施以初等變換，得(I)當2(21)2121因 r(A)r(A)4,1 1 T (0, 550)12121212故方程組有無窮多解，全部解為k(2,1, 1,2)T,其中k為任意常數(shù).因 r(A)r(A)1故方程組有無窮多解，全部解為E ( 2，1，0，0