映射與函數(shù)習(xí)題【精選】

1、O(n_n)O口廣州至慧教育復(fù)習(xí)三：映射與函數(shù)習(xí)題學(xué)生姓名就讀年級(jí)授課日期教研院審核【知識(shí)點(diǎn)回顧】1 .函數(shù)的概念一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的數(shù)堡二如果按某種對(duì)應(yīng)法則f,對(duì)于集合A中的每一個(gè)(任意性)元素x,在集合B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)叫做集合 A到集合B的一個(gè)函數(shù) (三性缺一不可)函數(shù)的本質(zhì)：建立在兩個(gè)非空數(shù)集上的特殊對(duì)應(yīng)這種 特殊對(duì)應(yīng)”有何特點(diǎn)：1).可以是 對(duì)一” 2).可以是 多對(duì)一" 3).不能對(duì)多" 4). A中不能有剩余元素5).B中可以有剩余元素判斷兩個(gè)函數(shù)相同：只看定義域和對(duì)應(yīng)法則2 .映射的概念一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)

2、包工如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f,使對(duì)于集合A中的每一個(gè) 元素x,在集合B中都有唯一確定的元素 y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f:A-B為從集合 A到 集合B的一個(gè)映射(mapping)。思考：映射與函數(shù)區(qū)別與聯(lián)系？函數(shù)一一建立在兩個(gè)非空數(shù)集上的特殊對(duì)應(yīng)映射一一建立在兩個(gè)非空集合上的特殊對(duì)應(yīng)1)函數(shù)是特殊的映射，是數(shù)集到數(shù)集的映射.2)映射是函數(shù)概念的擴(kuò)展，映射不一定是函數(shù).3)映射與函數(shù)都是特殊的對(duì)應(yīng)思考：映射有“三性”：“有序性”：映射是有方向的，A到B的映射與B到A的映射往往不是同一個(gè)映射；“存在性”：對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，集合 B中都存在元素和它對(duì)應(yīng)；“唯一性”：對(duì)于集合A中的任何一

3、個(gè)元素，在集合 B中和它對(duì)應(yīng)的元素是唯一的.3 .用映射定義函數(shù)(1) .函數(shù)的定義：如果A、B都是非空數(shù)集，那末 A到B的映射f:A - B就叫做A - B 的函數(shù)。記作：y=f (x).(2)定義域：原象集合A叫做函數(shù)y=f (x)的定義域。(3)值域：象的集合C (CUB)叫做函數(shù)y=f (x)的值域。定義：給定一個(gè)集合 A到集合B的映射，且aC A, bCB。如果元素a和元素b對(duì)應(yīng)，那 么我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。給定映射f: A-B。則集合A中任何一個(gè)元素在集合 B中都有唯一的象，而集合 B中的元 素在集合A中不一定都有原象，也不一定只有一個(gè)原象。問題1:下

4、圖中的(1)(2)所示的映射有什么特點(diǎn)？(2)答：發(fā)現(xiàn)規(guī)律：(1)對(duì)于集合A中的不同元素，在集合 B中有不同的象，我們把這樣的映 射稱為單射。(2)集合B中的每一個(gè)元素都有原象，我們把這樣的映射稱為滿射。定義：一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)集合。f: A-B是集合A到集合B的映射，如果在這個(gè)映射下，對(duì)于集合 A的不同元素，在集合 B中有不同的象，且 B中每一個(gè)元素都有原象，那 么這個(gè)映射叫做 A到B上的映射。O(n_n)O注意：1)映射是一種特殊的映射：A到B是映射，B到A也是映射。2)映射和映射之間的充要關(guān)系，映射是一映射的必要而不充分條件3)映射：A和B中元素個(gè)數(shù)相等。例2:判斷下面的對(duì)應(yīng)是否為映

5、射，是否為一一映射？21) A=0,124,9,B=0,1,4,9,64, 對(duì)應(yīng)法則 f： a 一b = (a-1) 答：是映射，不是一一映射。(如右圖所示可以很容易可能出。)2) A=0,1,4,9,16,B=-1,0,1,2,3,4, 對(duì)應(yīng)法則 f:求平方根 ？ 答:3) A=Z , B=N* ,對(duì)應(yīng)法則 f:求絕對(duì)值？答：不是映射。4) A=11,16,20,21,B=6,2,4,0, 對(duì)應(yīng)法則 4 求被 7 除的余數(shù) 答：是映射，且是一一映射。例 3:已知集合人=!1, B = (x,y)|x,y C R , f 是從 A到B 的映射 f:xf(x+1,x 2).(1 )求22在B中的

6、對(duì)應(yīng)元素(2) (2,1)在A中的對(duì)應(yīng)元素解：(1)將x= J2代入對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得其在B中的對(duì)應(yīng)元素為(J2+1, 2)(2)由題意得：x+1=2"x2=11. x=1 即(2,1 )在A中的對(duì)應(yīng)元素為1例 4：設(shè)集合 A=a、b,B=c、d、e(1)可建立從 A到B的映射個(gè)數(shù) .(2)可建立從 B到A的映射個(gè)數(shù) .答：9,8 (可以試著畫圖看看)小結(jié)：如果集合 A中有m個(gè)元素，集合 B中有n個(gè)元素，那么從集合 A到集合B的映射【映射例題精解】例1在下列對(duì)應(yīng)中、哪些是映射、那些映射是函數(shù)、那些不是？為什么？ 設(shè)人=1,2,3,4 , B=3,5,7,9，對(duì)應(yīng)關(guān)系是 f(x)=2x+1

7、,x 屬于 A 設(shè)A=1,4,9,B+-1,1,-22-3,3對(duì)應(yīng)關(guān)系是A中的元素開平方'設(shè)A=R B=R,對(duì)應(yīng)關(guān)系是f(x)=x的3次方，x屬于A 設(shè)人二尺8=口對(duì)應(yīng)關(guān)系是f(x)=2x 的2次方+1, x屬于A解析：1、是一一映射，且是函數(shù)2、不是映射(象是有且唯一)3、是一一映射，且是函數(shù)4、是映射，但不是函數(shù)，因?yàn)锽中不是所有值在 A中都有對(duì)應(yīng)。例2設(shè)A=a,b,c,B=0,1,請(qǐng)寫出兩個(gè)從 A到B的映射從A到B的映射共有2A3=8個(gè)：(a, b, c) 一(0, 0, 0);(a, b, c) 一(0, 0, 1);(a, b, c) 一 (0, 1, 0);(a,b,c)一

8、(1,0,0);(a,b,c)一(0,1,1);(a,b,c)一(1,0,1);(a,b,c)一(1,1,0);(a, b, c) 一(1, 1, 1)。例3假設(shè)集合m=0 -1 1 n=-2 -1 0 1 2映射f:M-N滿足條件“又任意的x屬于M,x+f(x)是奇數(shù)”，這樣的映射 有 個(gè)當(dāng)x=-1時(shí)，x+f(x)=-1+f(-1)恒為奇數(shù)，相當(dāng)于題目中的限制條件“使對(duì)任意的 x屬于M,都有x+f(x)是奇數(shù)” f(-1)=-2,0,2當(dāng)x=0時(shí)，x+f(x)=f(0), 根據(jù)題目中的限制條件“使對(duì)任意的x屬于M都有x+f(x)是奇數(shù)”可知f(0)只能等于-1和1當(dāng)x=1時(shí)，x+f(x)=1

9、+f(1)恒為奇數(shù)f(1)=-2,0,2綜上可知，只有第種情況有限制，所以這樣的映射共有3X2X3=18個(gè)例4設(shè)集合A=-1 , 0, 1 B=2, 3, 4, 5, 6 從A到B的映射f滿足條件：對(duì)每個(gè)XC A 有f (X) +X為偶數(shù) 那么這樣的映射f的個(gè)數(shù)是多少？ 映射可以多對(duì)一，要讓 f (X) +X=偶數(shù)，當(dāng)X= 1和1時(shí)，只能從B中取奇數(shù)，有3, 5 兩種可能，當(dāng)X= 0從B中取偶數(shù)有2 4 6三種，則一共有2X2X3= 12個(gè)以后你學(xué)了分步與分類就很好理解啦，完成一件事有兩類不同的方案，在第一類方案中有m種不同的方法，在第二類方案中有 n種不同的方法.那么完成這件事共有 N=m+

10、r不同的方 法，這是分類加法計(jì)數(shù)原理；完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第一步有m種不同的方法，做第二 步有n種不同的方法.那么完成這件事共有 N=nX n種不同的方法例 5 已知：集合 M =a,b,c , N =J,0,1,映射 f : M t N 滿足 f (a) + f(b) + f (c) = 0 , 那么映射f : M t N的個(gè)數(shù)是多少？思路提示：滿足 f(a)+f(b)+f(c)=0,則只可能 0+0+0=0+1+(1)=0,即 f(a)、f(b)、f(c)中可以全部為0,或0,1,1各取一個(gè).解：: f (a) w N, f (b) w N, f (c) w N ,且 f (a) +

11、 f (b)+ f (c) =0.有 0 +0 +0 =0 +1 +(_1) =0 .當(dāng)f (a) = f(b) = f (c) =0時(shí)，只有一個(gè)映射；當(dāng)f、f(b)、f(c)中恰有一個(gè)為0,而另兩個(gè)分別為1, 1時(shí)，有3x2= 6個(gè)映射.因 此所求的映射的個(gè)數(shù)為 1+ 6=7.例6給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)： 其構(gòu)成映射的是()A只有B 只有C只有D 只有答案：B提示：根據(jù)映射的概念，集合A到集合B的映射是指對(duì)于集合 A中的每一個(gè)元素，在集合B 中都有唯一確定的值與之相對(duì)應(yīng)，故選擇 B.例7.若函數(shù)f(x)滿足f (x+y) = f (x) + f (y) (x, y w R ),則下列各式不恒成立的

12、()A f ( 0 尸 0Bf (3) =3f (1)1 1C f( ) =-f(1)D f(-x) f(x) ：:02 2答案：D提示：令 y =0 有 f(x) =f(x)+ f(0) , J. f(0) =0 , A正確.令 x=y=1,有 f(3) =f(2) +f(1) = f (1)+f(1)+ f(1)=3f (1), B正確.人1.11111一 .令 x=y=二，有 f(1)=f)+f(二)=2"二)，f(二)=f(1), C 正確. 222222令 y=x,則 f(0) =f (x) + f(x).由于 f (0) =0，, f(x) = f (x),于是當(dāng)x=y=

13、0時(shí)，f (x) ,f(x) =0 ,故f (-x) f(x)<0不恒成立，故選 D .例8.已知集合 P=x0ExW4, Q =y 0Ey E2,下列不表示從 P到Q的映射是()A ,1A f : x y = x22C f :x y = x3答案：C1B f :x y = x32提?。篊選項(xiàng)中f：xTy= x,則對(duì)于P集合中的元素4,對(duì)應(yīng)的元素3不符合映射的概念.例 9.集合 A=3, 4,B=5 ,6,7,那么可建立從 A到B的映射個(gè)數(shù)是到A的映射個(gè)數(shù)是.答案：9,8提示：從A到B可分兩步進(jìn)行：第一步A中的元素3可有3種對(duì)應(yīng)方法（可對(duì)應(yīng)5或6或7）,第二步A中的元素4也有這3種對(duì)應(yīng)方

14、法.則不同的映射種數(shù) N1 =3x3 = 9.反之從B到A,道理相同，有 N2 =2 m2 m2 =8種不同映射.例 10.如果函數(shù) f(x)=(x+a)3 對(duì)任意 xWR 都有 f (l + x)=f (1x),試求 f(2) + f(2)的值.解：二.對(duì)任意 xwR,總有 f (1+x) =f(1 x),當(dāng) x=0時(shí)應(yīng)有 f(1 +0) =f (1 0),即 f(1)=_f(1).f(1) =0.又 f (x) =(x+a)3, f (1)=(1+a)3.故有(1+a)3 =0(,則 a = W .，f (x)=(x1)3.f (2) +f (2)=(21)3 +(21)3 =-26 .【

15、課堂練習(xí)】1 .設(shè)f:A-B是集合A到集合B的映射，則正確的是（）A. A中每一元素在 B中必有象 B. B中每一元素在 A中必有原象 C. B中每一元素在 A中的原象是唯一的 D. A中的不同元素的象必不同2 .集合A=3,4,B=5,6,7,那么可建立從 A到B的映射個(gè)數(shù)是 ,從B到A的映射個(gè)數(shù)是.3 .設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集 N,映射f:A-B把集合A中的元素n影射到集合B中的元素2n +n ,則在映射f下，象20的原象是（）A.2B.3C.4D.54 .如果（x,y）在映射f下的象是（x+y,x-y）,那么（1,2）在映射下的原象是（）.，31D. (-1 , 3)A. (3, 1)

16、 B. ( 一，一一) C.225 .已知點(diǎn)（x , y）在映射f下的象是（2x y, 2x+y）,求（1）點(diǎn)（2 , 3 ）在映射 f下的像； （2）點(diǎn)（4 , 6）在映射f下的原象.6 .設(shè)集合 A = 1,2,3,k,B =4,7,a4,a2+3a,其中 a,kC N,映射 f:A-B,使 B 中元素 y = 3x+1 與A中元素x對(duì)應(yīng)，求a及k的值.【綜合練習(xí)】-、選擇題：1 .下列對(duì)應(yīng)是從集合A到集合B的映射的是A. A=R, B=x|x>0 且 xC R , xC A, f： x一|x|B. A=N, B=N+, xC A, f： xfx1|2C. A= xx >0 且

17、 x C R , B=R, xCA, f ： x-x1D. A=Q, B=Q, f: x一一 x2 .已知映射f:A B,其中集合 A = 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4,集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象，且對(duì)任意的aC A,在B中和它對(duì)應(yīng)的元素是|a|,則集合B中的元素的個(gè)數(shù)是()A. 4B. 5C. 6D. 7O(n_n)O3 .設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合 N,映射f: A - B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n,則在映射f下，象20的原象是A. 2B.C. 4D. 54.在x克a%的鹽水中，加入y克b%的鹽水，濃度變成 c%(a,b>0,aw b),

18、則x與y的函數(shù)關(guān)系式是5.函數(shù)C.c -axc -b a -c x b - c2x -3y=2x 3的值域是+ 0° )(8, 0 )U(0, +8)B.D.B.D.c -ay= xb - cb -cy=xc-a1) U(1 , +8 )0) U (1 , +oo )6.下列各組中，函數(shù) f(x)和g(x)的圖象相同的是C.7,函數(shù)C.f(x)=x, g(x)=(x )2f(x)=|x|, g(x)= Vx2y= V1 x x 1的定義域?yàn)閤| 1 <x< 1x|0< x< 1B.D.B.D.f(x)=1 ,0g(x)=xf(x)=|x|, g(x)= x,x

19、W (0尸)x,xW (3,0)x|x< 1 或 x> 1-1, 18 .已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?, 1,則f(x2)的定義域?yàn)锽. -1, 1A. (-1, 0)C. (0, 1)D. 0, 19 .設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)任意x、y滿足f(x+y尸f(x) + f(y),且f(2)=4 ,則f( 1)的值為 ()10.A. 2C. ±1D. 2函數(shù)y=2 J-x2 +4x的值域是A. -2, 2C. 0, 2D. -V2, ；2若函數(shù)y=x2-x 4的定義域?yàn)?, m,值域?yàn)橐唤?jīng)，-4,則m的取值范圍是4A. 0,41B . - ,42C. - , 32D. 3 , +8

20、 212.已知函數(shù)f(Jx+1)=x+ 1,則函數(shù) .2A . f(x)=xD . f(x)=x2-2x+2(x> 1)f(x)的解析式為B. f(x)=x2+ 1(x> 1)C. f(x)=x2-2x(x> 1)二、填空題:13 .己知集合 A =1 , 2, 3, k , B = 4,7, a4, a2+3a,且 aC N* , x A, y B,中元素y=3x+1和A中的元素x對(duì)應(yīng)，則a=14 .若集合 M= 1, 0, 1 , N= 2, 1, 0, 1,2,從M到N的映射滿足：對(duì)每個(gè)xC M ,恒使x+f(x)是偶數(shù)，則映射f有個(gè).15 .設(shè) f(x 1)=3x-1,貝U f(x)=_.16 .已知函數(shù)f(x)=x22x+2,那