MATLABIIR數(shù)字低通濾波器的設計方法

1、MATLAB IIR數(shù)字低通濾波器的設計方法1、IIR數(shù)字低通濾波器濾波器分兩大類：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。經(jīng)典濾波的概念，是根據(jù)傅里葉分析和變換提出的一個工程概念。根據(jù)高等數(shù)學理論， 任何一個滿足一定條件的信號，都可以被看成是由無限個正弦波疊加而成。換句話說，就是工程信號是不同頻率的正弦波線性疊加而成的，組成信號的不同頻率的正弦波叫做信號的頻率成分或叫做諧波成分?，F(xiàn)代濾波器理論研究的主要容是從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄（又稱時間序列）中估計出信號的某些特征或信號本身。經(jīng)典濾波器分為低通、高通、帶通、帶阻濾波器。每一種又有模擬濾波器（AF）和數(shù)字濾波器（DF）。對數(shù)字濾波器，又有 IIR濾波器和FIR

2、濾波器。我們要實現(xiàn)的是IIR數(shù)字濾波器。IIR數(shù)字濾波器采用遞歸型結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)上帶有反饋 環(huán)路。IIR濾波器運算結(jié)構(gòu)通常由延時、乘以系數(shù)和相加等基本運算組成，可以組合成直接 型、正準型、級聯(lián)型、并聯(lián)型四種結(jié)構(gòu)形式，都具有反饋回路。由于運算中的舍入處理，使 誤差不斷累積，有時會產(chǎn)生微弱的寄生振蕩。單位響應：IIR濾波器的單位脈沖響應為無限長，網(wǎng)絡中有反饋回路。幅頻特性：IIR數(shù)字濾波器幅頻特性精度很高，不是線性相位的，可以應用于對相位信息不敏感的音頻信號上IIR DF的轉(zhuǎn)移函數(shù)是：Mbrz rr 0X(z)N1 akz kk 1IIR濾波器目前最通用的方法是利用已經(jīng)很成熟的模擬濾波器的設計方法進

3、行設計。2、濾波器的技術(shù)要求S：阻帶下限截止頻率低通濾波器：p:通帶截止頻率（又稱通帶上限頻率）p ：通帶允許的最大衰減s：阻帶允許的最小衰減（p , s的單位dB）p:通帶上限角頻率s：阻帶下限角頻率3、IIR數(shù)字濾波器的設計方法IIR數(shù)字濾波器的設計方法有兩類：間接設計法和直接設計法。間接設計法是借助模擬 濾波器設計方法進行設計的，先根據(jù)數(shù)字濾波器設計指標設計相應的過渡模擬濾波器，再將過渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。直接設計法師在時域或頻域直接設計數(shù)字濾波器。IIR數(shù)字濾波器在設計上可以借助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫 和橢圓濾波器等，有現(xiàn)成的設計數(shù)據(jù)或圖表可查，其設計工作

4、量比較小，對計算工具的要求不高。在設計一個IIR數(shù)字濾波器時，我們根據(jù)指標先寫出模擬濾波器的公式，然后通過一定 的變換，將模擬濾波器的公式轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的公式。設計步驟如下：1)按一定規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標。2)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標設計模擬低通濾波器G(s);3)再按一定的規(guī)則將 G(s)轉(zhuǎn)換成H (z)。4)若是高通、帶通或帶阻數(shù)字濾波器則將它們的技術(shù)指標先轉(zhuǎn)化為低通模擬濾波器的技術(shù)指標，然后按上述步驟2)設計出低通 G(s),再將G(s)轉(zhuǎn)換為所需的H (z)。4.幾種不同類型的濾波器的介紹:因為我們設計的濾波器的沖擊響應一般都為實數(shù)，所以有*2G

5、(s)G (s) G(s)G( s) s j G(j s)|2這樣，如果我們能由p, p, s,s求出G(j )，那么就容易得到所需要的G(s) o2不同類型的G(j )的表達式，代表了幾種不同類型的濾波器。(1)巴特沃思(Butterworth)濾波器:2G(j )11 C2( 2)nC為待定常數(shù)，(2)切比雪夫G(j )12N為待定的濾波器階次。I 型(Chebyshev T )濾波器:12 _ 21 Cn()5 .巴特沃思模擬低通濾波器的設計由于每一個濾波器的頻率圍將直接取決于設計者的應用目的，因此必然是千差萬別。 為了使設計規(guī)化，我們需要將濾波器的頻率參數(shù)作歸一化處理。設所給的實際頻率

6、為(或f),歸一化后的頻率為，對低通模擬濾波器，令顯然，p 1, s s/ p。又令歸一化復數(shù)變量為 p , p j ,顯然p j j / p s/ p所以巴特沃思模擬低通濾波器的設計可按以下三個步驟來進行。(1)將實際頻率規(guī)一化(2)求C和NC210 P/101l10 s/10 1 llg'1op/10 1 lg這樣C和N可求。若令 p=3dB,則C=1,這樣巴特沃思濾波器的設計就只剩一個參數(shù)N,這時G(j )22 N1 ( / p)(3)確定 G(s)因為p j ,根據(jù)上面公式有G(p)G( p)12N-1 (p/j)1"""/ d'N2n-1

7、 ( 1) pN 2 N由1 ( 1) p 0解得, . 2k N 1cpk exp( j2 ), k = 1, 2,- 2N2N這樣可得Gk(p)(p pk)(p pn 1 k)12 c/k N 1 、.p 2 p cos() 12N求得G(p)后，用s/ p代替變量p,即得實際需要得G(s)。6 .用雙線性Z變換法設計IIR數(shù)字低通濾波器s平面到z平面的映射關系Ts z 1稱為雙線性Z變換，由此關系求出1 (Ts/2)s1 (Ts/2)sj 2 sin( /2)J J Ts cos( / 2):2tan( /2)T s2arctan( Ts/2)因為設計濾波器時系數(shù)會被約掉，所以又有 Ts

8、1 sz 1 stan( /2)2arctan7、MATLAB設計低通濾波器相關函數(shù)1、Buttord.m本文件用來確定數(shù)字低通或模擬低通濾波器的階次，其調(diào)用格式分別是1) N, Wn=buttord(Wp , Ws, Rp, Rs)2) N, Wn=buttord(Wp , Ws, Rp, Rs, 's)格式1)對應數(shù)字濾波器，式中 Wp,Ws分別是通帶和阻帶的截止頻率，實際上它們是歸 一化頻率，其值在 01之間，1對應抽樣頻率的一半。對低通和高通濾波器，Wp,Ws都是標量，對帶通和帶阻濾波器，Wp,Ws都是1X2的向量。Rp,Rs分別是通帶和阻帶的衰減，單位為dBo N是求出的相應

9、低通濾波器的階次，Wn是求出的3dB頻率，它和Wp稍有不同。格式 2)對應模擬濾波器，式中各個變量的含義和格式1)相同，但Wp,Ws及Wn的單位為rad/s ,因此，它們實際上式頻率。2、Buttap.m本文件用來設計模擬低通原型濾波器，其調(diào)用格式是z, p, k=buttap(N)N是欲設計的低通原型濾波器的階次，z, p, k分別是設計出的的極點、零點及增益。3、 Lp21P.m4、 Lp2hp.m5、 Lp2bp.m6、 Lp2bs.m從文件名可以看出，上述4個文件的功能分別是將模擬低通原型濾波器轉(zhuǎn)換為實際的低通、高通、帶通及帶阻濾波器，其調(diào)用格式分別為：(1) B, A=lp21P (

10、b, a, Wo)或B, A = lp2hp (b,a,Wo)(2) B, A=1p2bp (b, a, Wo)或B, A = Ip2bs (b,a,Wo)式中b, a分別是模擬低通原型濾波器的分子、分母多項式的系數(shù)向量，B, A分別是轉(zhuǎn)換后的 的分子、分母多項式的系數(shù)向量；在(1)中，Wo是低通或高通濾波器的截止頻率；在(2)中，Wo是帶通或帶阻濾波器的中心頻率，Bw是其帶寬。7、 Bilinear.m本文件實現(xiàn)雙線性變換，即由模擬濾波器 得到數(shù)字濾波器 ，而s和z的關系由 給出。其調(diào)用格式是：Bz, Az = bilinear (B, A, Fs)式中B, A分別是 的分子、分母多項式的系

11、數(shù)向量，Bz, Az分別是的分子、分母多項式的系數(shù)向量，F(xiàn)s是抽樣頻率。8、 Freqz.m本文件用來在已知，的情況下求出系統(tǒng)的頻率響應，格式是H, w = freqz (b, a, N, 'whole ' ,Fs)其中N是頻率軸的分點數(shù)，建議 N為2的整次哥；w是返回頻率軸坐標向量，供繪圖 用；Fs是抽樣頻率，若Fs= 1,頻率軸給出歸一化頻率；whole指定計算的頻率圍是從 0Fs,缺省日是從0Fs/2 9、 Zp2tf.mb,a=zp2tf(z,p,k)零極點型傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換到一般傳遞函數(shù)，它用于在極零點已知時求出和的系數(shù)。8、設計一個IIR數(shù)字濾波器技術(shù)指標：fp 100

12、Hz, fs 300 Hz, p 3dB, s 20 dB,抽樣頻率Fs 1000 Hz。設計步驟：(1)角頻率 wp 2 j/F ws 2 ，F(xiàn)(2)對角頻率做預畸變p tan( p /2) s tan( s/2)(3)模擬低通濾波器的階次，利用函數(shù)N, Wn=buttord(Wp , Ws, Rp, Rs, 's)注意：Wp, Ws應該為(2)中的 p , so(4)設計模擬低通原型濾波器 G(p),其調(diào)用格式是 z, p, k=buttap(N)。N是欲設計的低通原型濾波器的階次，z, p, k分別是設計出的G(p)的 極點、零點及增益。(5)求模擬低通原型濾波器G(p)的分子分

13、母系數(shù)， b,a=zp2tf(z,p,k)。(6)求出 G(p)的分子、分數(shù)系數(shù)。B, A = lp21P (b, a, Wo)(7)求出H (z)的分子、分母系數(shù)，利用bilinear函數(shù)。(8)求頻率響應H(ej ),利用Freqz函數(shù)。(9)畫H (ej )的圖程序設計：fp= 100 ;fs= 300 ;ap= 3; %通帶最大衰減as= 20;%阻帶最小衰減Fs1= 1000 ;%由樣頻率wp =2*pi *fp/Fs1ws= 2*pi*fs/Fs1 %數(shù)字角頻率Fs= Fs1/Fs1;T= 1/Fs;Op = 2/T*tan (wp/2)Os=2/T*tan(ws/ 2)嘛頻率畸變N,Wn= buttord (Op ,Os,ap,as,'s')z,p,k= buttap (N)%G(p)勺零點，極點，增益b,a= zp2tf (z,p,k);%G(pB勺分子、分數(shù)系數(shù)B,A=lp21P (b,a,Op);%H(s)勺分子、分數(shù)系數(shù)Bz,Az= bilinear (B,A,Fs*T/2)%H(z)的分子、分數(shù)系數(shù)H,w= freqz (Bz,Az,256,Fs*Fs1)%Hplot