MATLABIIR數(shù)字低通濾波器的設(shè)計方法

1、MATLAB IIR數(shù)字低通濾波器的設(shè)計方法1、IIR數(shù)字低通濾波器濾波器分兩大類：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。經(jīng)典濾波的概念，是根據(jù)傅里葉分析和變換提出的一個工程概念。根據(jù)高等數(shù)學(xué)理論， 任何一個滿足一定條件的信號，都可以被看成是由無限個正弦波疊加而成。換句話說，就是工程信號是不同頻率的正弦波線性疊加而成的，組成信號的不同頻率的正弦波叫做信號的頻率成分或叫做諧波成分?，F(xiàn)代濾波器理論研究的主要容是從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄（又稱時間序列）中估計出信號的某些特征或信號本身。經(jīng)典濾波器分為低通、高通、帶通、帶阻濾波器。每一種又有模擬濾波器（AF）和數(shù)字濾波器（DF）。對數(shù)字濾波器，又有 IIR濾波器和FIR

2、濾波器。我們要實現(xiàn)的是IIR數(shù)字濾波器。IIR數(shù)字濾波器采用遞歸型結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)上帶有反饋 環(huán)路。IIR濾波器運算結(jié)構(gòu)通常由延時、乘以系數(shù)和相加等基本運算組成，可以組合成直接 型、正準型、級聯(lián)型、并聯(lián)型四種結(jié)構(gòu)形式，都具有反饋回路。由于運算中的舍入處理，使 誤差不斷累積，有時會產(chǎn)生微弱的寄生振蕩。單位響應(yīng)：IIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為無限長，網(wǎng)絡(luò)中有反饋回路。幅頻特性：IIR數(shù)字濾波器幅頻特性精度很高，不是線性相位的，可以應(yīng)用于對相位信息不敏感的音頻信號上IIR DF的轉(zhuǎn)移函數(shù)是：Mbrz rr 0X(z)N1 akz kk 1IIR濾波器目前最通用的方法是利用已經(jīng)很成熟的模擬濾波器的設(shè)計方法進

3、行設(shè)計。2、濾波器的技術(shù)要求S：阻帶下限截止頻率低通濾波器：p:通帶截止頻率（又稱通帶上限頻率）p ：通帶允許的最大衰減s：阻帶允許的最小衰減（p , s的單位dB）p:通帶上限角頻率s：阻帶下限角頻率3、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法有兩類：間接設(shè)計法和直接設(shè)計法。間接設(shè)計法是借助模擬 濾波器設(shè)計方法進行設(shè)計的，先根據(jù)數(shù)字濾波器設(shè)計指標設(shè)計相應(yīng)的過渡模擬濾波器，再將過渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。直接設(shè)計法師在時域或頻域直接設(shè)計數(shù)字濾波器。IIR數(shù)字濾波器在設(shè)計上可以借助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫 和橢圓濾波器等，有現(xiàn)成的設(shè)計數(shù)據(jù)或圖表可查，其設(shè)計工作

4、量比較小，對計算工具的要求不高。在設(shè)計一個IIR數(shù)字濾波器時，我們根據(jù)指標先寫出模擬濾波器的公式，然后通過一定 的變換，將模擬濾波器的公式轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的公式。設(shè)計步驟如下：1)按一定規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標。2)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標設(shè)計模擬低通濾波器G(s);3)再按一定的規(guī)則將 G(s)轉(zhuǎn)換成H (z)。4)若是高通、帶通或帶阻數(shù)字濾波器則將它們的技術(shù)指標先轉(zhuǎn)化為低通模擬濾波器的技術(shù)指標，然后按上述步驟2)設(shè)計出低通 G(s),再將G(s)轉(zhuǎn)換為所需的H (z)。4.幾種不同類型的濾波器的介紹:因為我們設(shè)計的濾波器的沖擊響應(yīng)一般都為實數(shù)，所以有*2G

5、(s)G (s) G(s)G( s) s j G(j s)|2這樣，如果我們能由p, p, s,s求出G(j )，那么就容易得到所需要的G(s) o2不同類型的G(j )的表達式，代表了幾種不同類型的濾波器。(1)巴特沃思(Butterworth)濾波器:2G(j )11 C2( 2)nC為待定常數(shù)，(2)切比雪夫G(j )12N為待定的濾波器階次。I 型(Chebyshev T )濾波器:12 _ 21 Cn()5 .巴特沃思模擬低通濾波器的設(shè)計由于每一個濾波器的頻率圍將直接取決于設(shè)計者的應(yīng)用目的，因此必然是千差萬別。 為了使設(shè)計規(guī)化，我們需要將濾波器的頻率參數(shù)作歸一化處理。設(shè)所給的實際頻率

6、為(或f),歸一化后的頻率為，對低通模擬濾波器，令顯然，p 1, s s/ p。又令歸一化復(fù)數(shù)變量為 p , p j ,顯然p j j / p s/ p所以巴特沃思模擬低通濾波器的設(shè)計可按以下三個步驟來進行。(1)將實際頻率規(guī)一化(2)求C和NC210 P/101l10 s/10 1 llg'1op/10 1 lg這樣C和N可求。若令 p=3dB,則C=1,這樣巴特沃思濾波器的設(shè)計就只剩一個參數(shù)N,這時G(j )22 N1 ( / p)(3)確定 G(s)因為p j ,根據(jù)上面公式有G(p)G( p)12N-1 (p/j)1"""/ d'N2n-1

7、 ( 1) pN 2 N由1 ( 1) p 0解得, . 2k N 1cpk exp( j2 ), k = 1, 2,- 2N2N這樣可得Gk(p)(p pk)(p pn 1 k)12 c/k N 1 、.p 2 p cos() 12N求得G(p)后，用s/ p代替變量p,即得實際需要得G(s)。6 .用雙線性Z變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器s平面到z平面的映射關(guān)系Ts z 1稱為雙線性Z變換，由此關(guān)系求出1 (Ts/2)s1 (Ts/2)sj 2 sin( /2)J J Ts cos( / 2):2tan( /2)T s2arctan( Ts/2)因為設(shè)計濾波器時系數(shù)會被約掉，所以又有 Ts

8、1 sz 1 stan( /2)2arctan7、MATLAB設(shè)計低通濾波器相關(guān)函數(shù)1、Buttord.m本文件用來確定數(shù)字低通或模擬低通濾波器的階次，其調(diào)用格式分別是1) N, Wn=buttord(Wp , Ws, Rp, Rs)2) N, Wn=buttord(Wp , Ws, Rp, Rs, 's)格式1)對應(yīng)數(shù)字濾波器，式中 Wp,Ws分別是通帶和阻帶的截止頻率，實際上它們是歸 一化頻率，其值在 01之間，1對應(yīng)抽樣頻率的一半。對低通和高通濾波器，Wp,Ws都是標量，對帶通和帶阻濾波器，Wp,Ws都是1X2的向量。Rp,Rs分別是通帶和阻帶的衰減，單位為dBo N是求出的相應(yīng)

9、低通濾波器的階次，Wn是求出的3dB頻率，它和Wp稍有不同。格式 2)對應(yīng)模擬濾波器，式中各個變量的含義和格式1)相同，但Wp,Ws及Wn的單位為rad/s ,因此，它們實際上式頻率。2、Buttap.m本文件用來設(shè)計模擬低通原型濾波器，其調(diào)用格式是z, p, k=buttap(N)N是欲設(shè)計的低通原型濾波器的階次，z, p, k分別是設(shè)計出的的極點、零點及增益。3、 Lp21P.m4、 Lp2hp.m5、 Lp2bp.m6、 Lp2bs.m從文件名可以看出，上述4個文件的功能分別是將模擬低通原型濾波器轉(zhuǎn)換為實際的低通、高通、帶通及帶阻濾波器，其調(diào)用格式分別為：(1) B, A=lp21P (

10、b, a, Wo)或B, A = lp2hp (b,a,Wo)(2) B, A=1p2bp (b, a, Wo)或B, A = Ip2bs (b,a,Wo)式中b, a分別是模擬低通原型濾波器的分子、分母多項式的系數(shù)向量，B, A分別是轉(zhuǎn)換后的 的分子、分母多項式的系數(shù)向量；在(1)中，Wo是低通或高通濾波器的截止頻率；在(2)中，Wo是帶通或帶阻濾波器的中心頻率，Bw是其帶寬。7、 Bilinear.m本文件實現(xiàn)雙線性變換，即由模擬濾波器 得到數(shù)字濾波器 ，而s和z的關(guān)系由 給出。其調(diào)用格式是：Bz, Az = bilinear (B, A, Fs)式中B, A分別是 的分子、分母多項式的系

11、數(shù)向量，Bz, Az分別是的分子、分母多項式的系數(shù)向量，F(xiàn)s是抽樣頻率。8、 Freqz.m本文件用來在已知，的情況下求出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，格式是H, w = freqz (b, a, N, 'whole ' ,Fs)其中N是頻率軸的分點數(shù)，建議 N為2的整次哥；w是返回頻率軸坐標向量，供繪圖 用；Fs是抽樣頻率，若Fs= 1,頻率軸給出歸一化頻率；whole指定計算的頻率圍是從 0Fs,缺省日是從0Fs/2 9、 Zp2tf.mb,a=zp2tf(z,p,k)零極點型傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換到一般傳遞函數(shù)，它用于在極零點已知時求出和的系數(shù)。8、設(shè)計一個IIR數(shù)字濾波器技術(shù)指標：fp 100

12、Hz, fs 300 Hz, p 3dB, s 20 dB,抽樣頻率Fs 1000 Hz。設(shè)計步驟：(1)角頻率 wp 2 j/F ws 2 ，F(xiàn)(2)對角頻率做預(yù)畸變p tan( p /2) s tan( s/2)(3)模擬低通濾波器的階次，利用函數(shù)N, Wn=buttord(Wp , Ws, Rp, Rs, 's)注意：Wp, Ws應(yīng)該為(2)中的 p , so(4)設(shè)計模擬低通原型濾波器 G(p),其調(diào)用格式是 z, p, k=buttap(N)。N是欲設(shè)計的低通原型濾波器的階次，z, p, k分別是設(shè)計出的G(p)的 極點、零點及增益。(5)求模擬低通原型濾波器G(p)的分子分

13、母系數(shù)， b,a=zp2tf(z,p,k)。(6)求出 G(p)的分子、分數(shù)系數(shù)。B, A = lp21P (b, a, Wo)(7)求出H (z)的分子、分母系數(shù)，利用bilinear函數(shù)。(8)求頻率響應(yīng)H(ej ),利用Freqz函數(shù)。(9)畫H (ej )的圖程序設(shè)計：fp= 100 ;fs= 300 ;ap= 3; %通帶最大衰減as= 20;%阻帶最小衰減Fs1= 1000 ;%由樣頻率wp =2*pi *fp/Fs1ws= 2*pi*fs/Fs1 %數(shù)字角頻率Fs= Fs1/Fs1;T= 1/Fs;Op = 2/T*tan (wp/2)Os=2/T*tan(ws/ 2)嘛頻率畸變N,Wn= buttord (Op ,Os,ap,as,'s')z,p,k= buttap (N)%G(p)勺零點，極點，增益b,a= zp2tf (z,p,k);%G(pB勺分子、分數(shù)系數(shù)B,A=lp21P (b,a,Op);%H(s)勺分子、分數(shù)系數(shù)Bz,Az= bilinear (B,A,Fs*T/2)%H(z)的分子、分數(shù)系數(shù)H,w= freqz (Bz,Az,256,Fs*Fs1)%Hplot