北師版七年級數(shù)學下冊同步講義后半段

1、巳且 ZBPC =130*,第一節(jié) 三角形的內(nèi)角與外角【知識要點】1 .三角形的概念及其基本要素三角形：由不在同一直線上的三條線段，首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.如圖示：記作“ AABC”，讀作：“三角形ABC.三角形的基本要素：三條邊、三個內(nèi)角、三個頂點.2 .三角形的內(nèi)角(1)三角形的內(nèi)角和等于 180*.(2)直角三角形兩銳角互余.3 .三角形的外角(1)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；問：三角形的外角和是多少度 ？(2)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.【典型例題】例1.如圖，求/ 1+/2+/3+/4的度數(shù).例2 .如圖所示， MBC中，/ B, /

2、C的平分線交于點求/BAC的度數(shù).1例3.如圖,BDCA=32°B=45°C=38°ABCEAGHDCBE(4)F=15B=351 =2=3=AADEI45FCBB那么/ AIC=那么/ A=如圖2所示，已知/ 1=804：3：2,那么/ A=2.如圖BAC和/ BCA 如果/ B=40ADC=86 ,那么/ B=4.如圖2、31. (1)在 ABC中，AD是/ BAC的平分線，如果/ C=65°5.如圖如圖1所示，在 ABC中，AI和CIF G E11少 .1在 ABC中，/ A, / B, /C的外角的度數(shù)的比是F D,求/ A的度數(shù)./ BGC=1

3、10A已知B既/ABD勺平分線，CF是/ACD勺平分線，BE! CF交于G, / BDC=140 ,C31AE 平分/ BAC / B=42° , / C=70° ,求/ AEC / DAE的度數(shù).2.三角形的第一個角是第二個角的3 .直角 ABC中，/ C=90°則/ A,/B的角平分線相交所成的角為 4 .在 ABC中，/ A=1Z B=1 / C,則/ A= ，/ B= ，/ C=23.解答題1.如圖，已知 ABC中，AD_LBC的度數(shù).3 .如圖所示，已知 ABC中，AC=AD BC=BE / ACB=100 ,求/ ECD的度數(shù).54 .求如圖所示中的

4、/1+/2+/3 + +/9的度數(shù).H【大展身手】1 .如圖1所示，在 MBC中，/ACB=90白，CD是AB邊上的高，求與/A互余的角有（）A、0個R 1個C、2個0 3個2 .如圖2所示，在銳角三角形 ABC中，CD BE分另1J是AR AC邊上的高，且 CD BE交于一點P,若NA =50 7則/BPC的度數(shù)是（）A、1500R 130°C、120°口 100力3 .如圖3所示，AB/ CD AC _LBC,圖中與NCAB互余的角有（）A、1個B 2個C、3個0 4個4 .如圖 4 所示，則/ A+/ B+/ C+/ D+/ E+/ F=5 .如圖5所示，4ABC的兩

5、個外角的角平分線都交于D,若/ B=50° ,則/ D等于（）A . 60 B .80° C . 65°D , 40°6 .如圖 6 所示，ADL DC / BAD=30 , / BCD=18 , / B=7 .如圖7所示，有一底角為 35。的等腰三角形紙片.現(xiàn)過底邊上一點，沿與底邊垂直的方向?qū)⑵浼糸_，分成三角形和四邊形兩部分，則四邊形中，最大角的度數(shù)是 .8 .如圖8所示，在直角三角形 ABD中，/D =90，C為AD上一點，則x可能是（）A 、 10° B 20° C、 30s D、 40°9 .“轉(zhuǎn)化”是數(shù)學中的一種重

6、要思想，即把陌生的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題，把復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題(1)請你根據(jù)已經(jīng)學過的知識求出右邊星形(圖 1)中/ A+/ B+/C+/ D+Z E的度數(shù).(2)若對圖1中星形截去一個角，如圖 2,請你求出/ A+/B+/C+/D+/E+/F的度數(shù).(3)若再對圖2中的角進一步截去，你能由題 2中所得的方法或規(guī)律，猜想出圖 3中的 / A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F+Z G+/ H+Z M+Z N的度數(shù)嗎？(只要寫出結論， 不需要寫出解 題過程.)第二節(jié)三角形的三邊關系【知識要點】1 .三角形的三邊關系是指：三角形任意兩邊之和大于第三邊;三角形

7、任意兩邊之差小于第三邊.2 .三角形的分類：按角分為：銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形；按邊分為：等腰三角形和不等邊三角形；等邊三角形是等腰三角形中的特殊三角形.【典型例題】例1.已知等腰三角形一邊長為12cm腰長是底邊長的3,求這個三角形的周長.4例 2.若 a、b、c 為 ABC 的三邊之長，化簡：a-b-c+|b-c-a +|c-a-b.例3.一個三角形有兩邊相等，周長為18cm,其中不相等的邊長為 4cm,求其它兩邊的長；若把“不相等的邊長為4cm”改為“其中一邊長為4cm',其它條件不變，求其它兩邊的長例4. (1)小明從家C點去學校B點，有兩條路可走， C-C B; C-

8、A-B,可小明每回上 學都走C-Cf B,因為他認為該路比另一條要近，小明的想法對嗎？為什么？A例5.如圖所示，已知 P是 ABC內(nèi)任意一點,A（2）若還有一條路 Cf A B,走哪一條路更近？為什么?求證：1 (ab BC CA):二 PA PB PC :二 AB BC CA2B例6.已知三角形的一邊是另一邊的兩倍，求證：它的最小邊在它的周長的1與1之間.64【初試鋒芒】一.選擇題1 .以下列各組線段的長為邊，能組成三角形的是（）A、1cm, 2cm, 4cm B、8cm, 6cm, 4cm C、12cm, 5cm, 6cm D、2cm, 3cm, 6cm2 .有長度分別為10cm, 7cm

9、, 5cm和3cm的四根鐵絲，選其中三根組成三角形則（）A、共有4種選法日只有3種選法 C 、只有2種選法 D、只有1種選法3 .已知三角形三條邊的長分別是5, 6和a,則a的取值范圍是（）A、1<a<11B 、2<a<6C 、a > 2 D 1<a<54 .在一個三角形中，兩條邊長分別為2和7,另一條邊的長是奇數(shù)，符合這樣條件的三角形（）A、不存在B 、只有一個C 、只有兩個 D 、有三個5 . MBC 的三邊 a,b,c,且（a+bcNac）=0,那么 AABC 中（）A、aAbc B 、a+b=c C 、a = c D 、不能確定其邊的關系6 .

10、某等腰三角形的兩條邊長分別為3cm和6cm,則它的周長為（）A . 9cmB. 12cmC. 15cmD. 12 cm 或 15 cm#7 .三角形的兩邊長分別為 2和5,則三角形的周長t的取值范圍是（）A、3 ct <7B、9 ct <12 G 10 <t <14D 無法確定二.解答題1 .三角形的兩條邊長分別為 3cm和4cm.求第三邊c的取值范圍.當周長為偶數(shù)時, 求第三邊的長.2 .已知 ABC的周長為 18cm,且 a+b=2c, b=2a,求 a、b、c【大展身手】1.下列長度的各組線段中，能組成三角形的是（）A、3,3,6B 3,7,11C、2.5,4.5

11、,2c 1 1 1D> , ,2 3 42.等腰三角形的一邊長為2cm,另,邊長為6cm,則其第三邊長（)A 、2 cmB 5cmC、7 cm口 6cm133 .已知三角形的兩邊長為 2和7,第三邊的數(shù)值是奇數(shù)，那么這個三角形的周長是 （）A . 14 B.15 C .16 D .174 .已知三角形三條邊的長分別是2, 3和a,則a的取值范圍是（）A、2<a<3B、0<a<5C、a >2 D 、1<a<55 .一棵9m高的大樹從離地面 4m高的地方折斷，則樹頂與地面的接觸點距離樹根可能是（）A. 1mB.3m C .9m D . 13m6 .已

12、知三角形的三邊長分別是3, 8, x,若x的值為偶數(shù)，則x的值為（）A . 6個B. 5個C. 4個D. 3個.解答題1 .設 a、b、c是ABC的三邊，化簡 |a+b+c|+|ab c|2 .已知等腰三角形的周長為20. （1）當一邊長為6時，另兩邊的長是多少？ （ 2）當邊長為4時，另兩邊的長是多少?第三節(jié) 三角形中的重要線段【知識要點】1 .三角形的角平分線： 三角形一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.（三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)一點）2 .三角形的中線：在三角形中，連結一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線.（三角形的三條中線交

13、于三角形內(nèi)一點）3 .三角形的高線：從三角形一個頂點向它的對邊作垂線，頂點與垂足間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高.（三角形的三條高交于一點）【典型例題】例 1.在 &ABC 中，NA =601/B =70：/ACB 的平分線交 AB于 D, DEE/ BC交 AC于 E,求ZBDC和/EDC的度數(shù).B例2 .如圖，在AABC中，AD是BC邊上的高，BE是AC邊上的高，且BC=12, AC=8, AD=6）求BE的長?例3.如圖，在 ABC中,AD是BC邊上的中線,ADC勺周長比 ABD的周長多5cm,AB與AC的和為11cm,求AC的長.例4.閱讀下面問題及解答如圖 1.2-3

14、6 (1), ABC中，/ ABC / ACB的平分線交于點 O,則/ BOC=90 +1 ZA= 21X180。+ 工/A;如圖 1.2-36 (2), 4ABC 中，/ABC / ACB 的三等分線交于 01、02 222 112點，則/ B01C =2180&+1 ZA, BO2c =1M1800+W/A.根據(jù)以上信息：3 333(1)你能猜想出它的規(guī)律嗎？n等分時(內(nèi)部有n1個點)，/B01C=, /B0n,C= (用含n的代數(shù)式表示)(2)根據(jù)你的猜想，當 n=4時，說明/B03c的度數(shù)成立的理由圖 L2-36例5.在 ABC中，Z A=75° , AC AB邊上的

15、高 BE CF所在直線交于 H,(1)若 ABC是銳角三角形，求/ BHC(2)若 ABC是直角三角形，求此兩條高的夾角；(3)若 ABC是鈍角三角形，求此兩條高所在直線的夾角【初試鋒芒】一.選擇題1 .三角形的三條高所在直線的交點有（A.1個 B .2個 C .3個 D.以上都不對/ 2 .三角形的三條中線的交點在三角形的（）A .內(nèi)部 B .外部 C . 一邊上 D .以上情況者必定二3 .三角形的角平分線是（）A.直線B .射線 C .線段 D .射線或線段第9題圖 04 .三條高所在的直線的交點在三角形的外部，此三角形是（）A .銳角三角形B .鈍角三角形C.直角三角形D .不能確定5

16、 .如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（）A.銳角三角形B .鈍角三角形C.直角三角形D .不能確定6 .下圖為四位同學所畫的 ABC的高AD,錯誤的有（）個7 .下面說法錯誤的是（）A .三角形的三條角平分線交于一點C .三角形的三條高交于一點D8 .三角形的三條中線交于一點.三角形的三條高所在的直線交于一點8 .能將一個三角形分成面積相等的兩個三角形的一條線段是（）A .中線 B .角平分線 C .高線 D .三角形的角平分線9 .如圖，在 A ABC中，/ A=520, / ABC與/ ACB的角平分 線交于點 D, / ABD與/ ACD的角平分線交于點

17、 D,依次 類推，/ ABD與/ ACD的角平分線交于點 D,則/BDC的度數(shù)是：（）A 600 B 56 0 C 94OD 680.解答題10.如圖，已知AR AE分另1J是AABC的中線、高線，且AB=5cm AC=3cm求AABD與AAD的周長之差為多少？說明 AABD與AACD的面積關系.11.如圖,4ABC中,/ B=34° , / ACB=104 ,AD是BC邊上的高，AE是/ BAC的平分線,求/ DAE的度數(shù).12.如圖，AD是4ABC的角平分線，DE/ AR DF/ AC, EF交AD于點 Q 試問：DO是不是13.如圖所示，在 ABC中，DAFB1 入E分別是AB

18、邊和AC邊的中點。求證：S&DE = S&BC4AD E DEF的角平分線？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由14C【大展身手】1 .如圖1, ABC中，AD)± BC, E、F是BC上的點，則以 AD為高的三角形有 個.2 .如圖2,在RtABC中，/ BAC=90 ,AD是高，DE是ABD的高，則與/ B互余的角有 ;與/ C相等的角有 .3 .如圖3, AB=7, AC=5 AD是中線，那么 AB/口 ADC勺周長差是;4.如圖，在銳角三角線圖3ABC中，CD BE分另1J是 AB AC邊上的高，且 CD BE交于一點P,若/A = 50中，則/ BPC的

19、度數(shù)是多少?175. AABC中，NB =68：/C =32) AD和AE分別是AABC的角平分線和高，求NDAE的度數(shù).第四節(jié)多邊形的邊角關系【知識要點】1 .多邊形的內(nèi)角和(n2)180°2 .多邊形的外角和 360°3 .多邊形的對角線條數(shù)：一個多邊形，從一個頂點出發(fā)有(n -3)條對角線，多邊形的對角線條數(shù) (M2【典型例題】例1.填空(1) 一個多邊形的內(nèi)角和等于一個三角形的外角和，那么這個多邊形是 (2)已知一個正多邊形每個外角都等于15° ,那么它的邊數(shù)為 (3) n邊形的外角和與內(nèi)角和的度數(shù)之比是2: 7,則邊數(shù)為 (4)如果一個多邊形的最小的一個

20、內(nèi)角為120。，比它稍大的一個內(nèi)角是 125。，以后依次每個內(nèi)角比前一個內(nèi)角多 5° ,且所有內(nèi)角和與最大內(nèi)角的度數(shù)之比為63: 8,則這個多邊形的邊數(shù)為例2.已知一個多邊形的內(nèi)角和是14400 ,求這個多邊形的對角線的條數(shù).例3.如圖，一個六邊形的六個內(nèi)角都是120° ,連續(xù)四邊AR BG CD DE的長依次為1、3、3、2,求該六邊形的周長.例4. 一個多邊形的內(nèi)角的度數(shù)從小到大排列時，恰好依次增加相同的度數(shù)，其中最大的是140° ,最小的是100° ,求這個多邊形的邊數(shù).例5 .過m邊形的一個頂點有 7條對角線，n邊形沒有對角線，k邊形共有k條對角

21、線,求（m - k）n的值.例6.一個多邊形除了一個內(nèi)角等于“，其余角的和等于2750。，求這個多邊形的邊數(shù)及a.例7. 一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形，它的內(nèi)角和是 2520。，求原多邊 形的邊數(shù).例8.若兩個多邊形的邊數(shù)之比是1:2，內(nèi)角和度數(shù)之比為 1:3,求這兩個多邊形的邊數(shù)【初試鋒芒】1 .若一個多邊形的邊數(shù)增加一條，則內(nèi)角和增加（）A . 360°B.90°C.180°D.2702 .從n邊形的一個頂點出發(fā)把n邊形分成三角形的個數(shù)是（）A . n 個 B . (n-1)個 C . (n - 2)個 D . (n - 3)個3 . 一個多邊形的

22、內(nèi)角和不會是（A. 180°B . 1080°4 .已知一個正多邊形每個外角都等于A. 5 B . 6C . 8100 ° D . 801060° ,那么它的邊數(shù)是()C . 4 D.75 .任何一個凸多邊形的內(nèi)角中最多有幾個銳角(A.1個 B .2個 C .3個 D .4個6 . 一個凸多邊形的最小角為95° ,其他的內(nèi)角依次增加 10° ,求n的值7 .已知如圖，在四邊形 ABCM, / A=Z D, Z B=Z C,求證：AD/ BC8 .一個多邊形，除一個內(nèi)角外，其余的各內(nèi)角的和等于1000。，求這個內(nèi)角及多邊形的邊數(shù)【大展身

23、手】1 . n邊形的內(nèi)角和=度，外角和=度.2 .正多邊形的一個外角都是36° ,則正多邊形的內(nèi)角和為 3 .從n邊形(n>3)的一個頂點出發(fā)，可以畫 條對角線，這些對角線把n邊形分成 個三角形，分得三角形內(nèi)角的總和與多邊形的內(nèi)角和.4 .若兩個多邊形的邊數(shù)之比為1:2,兩個多邊形的內(nèi)角和之和為1440 求這兩個多邊形的邊數(shù).5 . 一個n邊形，有且只有三個內(nèi)角是鈍角，求 n的最大值.6 .已知一個多邊形的內(nèi)角和與外角和共21600 ,求這個多邊形的對角線的條數(shù).7 .已知六邊形 ABCDEF如圖它的每個內(nèi)角者B相等，且AB=1, BC=CD=DE=9求這個六邊形的周長.第五節(jié)

24、全等三角形的判定（SSS和SAS）【知識要點】1 .定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形2 .性質(zhì)：全等三角形的對應邊相等；對應角相等；對應線段（對應中線、對應角平分線、 對應高）相等.3 .判定：（1）邊邊邊公理（SSS）:三邊對應相等的兩個三角形全等，簡稱“邊邊邊”或“SS6 .（2）邊角邊公理（SAS）:有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等【典型例題】例 1.如圖，在 4ABC 中，/C=90° , D E 分別為 AC AB 上的點，且 AD=BD AE=BC DE=DC求證：DE! AB例2.已知如圖，AE=CF AD/ BC, AD=CB問 ADFA CBE

25、全等嗎？并說明理由例 3.如圖，已知 AB± AC, AD±AE, AB=AC AD=AE求證：(1) BE=DC (2) BE! DCB27例 4.如圖，AD)/ BG 且 AD=BC A已AD, AB±AF,且 AF=AB AE=AD求證：AC=EF例 5.已知：正方形 ABCD 中，NEAF=45：, AH _L EF .求證：AD = AH .【初試鋒芒】1、已知 ABC DEF ABC的周長是 30cm, AB=8cm BC=12cm 貝U DF=, EF=2、三角形具有 性，即三角形三邊長度確定，則這個三角形的 、 就完全確定了 .3、如圖 1, R

26、C、0 E在一條直線上，且 BC=DE AC=FD AE=FB 則4AC段,理由是, / ACE=,理由是.4、如圖2,若/ 1= Z2,加上條件 ,得出 AB% BAED其依據(jù)是“ SA6 5、如圖3,已知 AD/ BC,欲證 ABD CDB根據(jù)“ SAS知，須補充條件 6、如圖 4,已知 AE=AF, AB=AC, / A=60 ° , / B=24 ° ,則/ BOE 的度數(shù)為圖11 = /2, BD=CE求證： ADE7、已知：如圖， AD/ BC, AE=CF AD=BC E、F在直線 AC上.求證：DE/ BF8 .如圖所示，AB=AD AC=AE / BAD=

27、/ CAE.試證明:9 .如圖，AD=AE BD=EC 求證：/B =/C .10 .如圖，已知 ABC是等邊三角形，D為AC邊上一點，且/是等邊三角形.BE = DC ,求證：MBE 與 AACD11 .如圖，BE CF分另1J是 ABC的高，在 BE上截取BP=AC在射線 CF上截取 CQ=AB求證：(1) AP=AQ (2) APIAQ【大展身手】1 .已知，點 D在AB上，點E在AC上，BE和CD相交于點 O AD = AE , BD = EC ,2 .如圖，AB CD相交于點 O, AC/ DB, AF=BE OC=OD AC=DB 求證：DF=EC1 DF/ EC3 .如圖， AB

28、e DBE AD/ BC, / ABC=70 ,求/ CBE的度數(shù)B4 .兩組鄰邊分別相等的四邊形我們稱它為箏形，如圖所示，在箏形ABC砰，AB=ADBC=DCAC, BD相交于點O.A（1）試說明：1） ABCC ADC、柒)OB=OD AC± BD;（2）如果AC=6, BD=4,求箏形 ABC曲面積.5 .（2008河南）復習“全等三角形”的知識時，老師布置了一道作業(yè)題：“如圖（1）已知 ABC中，AB=AC P是 ABC內(nèi)任意一點，將AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至 AQ使/ QAPW BAC 連結 BQ CP 貝U BQ=CP.小亮是個愛動腦筋的同學，他通過對圖（ 1）的分析，證明了

29、/ AB*AACP從而證 明BQ=CP之后他將點P移到等腰三角形 ABC之外，原題中其他條件不變，發(fā)現(xiàn)“ BQ=CP 仍然成立，請你就圖（2）給出證明.第六節(jié) 全等三角形的綜合（二）【知識要點】1 .角邊角公理：有兩對角和一條夾邊對應相等的兩個三角形全等，簡稱“ ASA2 .角角邊公理：有兩對角和一條邊對應相等的兩個三角形全等，簡稱“ AAS”【典型例題】例1.已知：如圖,AB=AC, BE =CD , /1 =/2 ,求證：AABD 主 AACE例2,已知，如圖AD=AE / ACDW ABE 求證：BD=CE例3.如圖，已知/1 = /2=/3, AB=AD 求證：BC=DE例4.如圖，已

30、知在 RtABC中，/ BAC=90 , ADL BC于D, CE為/ ACB的平分線交 AD于E, AF為/ BAD的平分線，交BC于 F.求證： AC總 FCE例 5.如圖，BD± DE CE1 DE D E 為垂足，點 A 在 DE上，且 AB=AC / BAC=90求證：DE=BD- CE例6.如圖所示，已知/ AOB OC平分/ AOB(1)在OCk任取一點 P,作PML OA PNIL 0既足分別為 M N,則PM PN有什么關系?請說明理由；(2)再在OC±選取一點，重復(1)中的作法，結果怎樣？你能得到什么樣的規(guī)律？【初試鋒芒】1、如圖1, AB與CD相交于

31、點 O, ZA=Z B, AO=BQ又因為/ AOC= BOD所以 AO挈 BOD其理由是2、如圖 2,已知/ BADW CAE, / ABDh ACE, AB=AC 則圖中 叁、,其理由是：3、如圖 3, B A、E在同一條直線上， AB=AC / B= / C, / 1= 7 2=30° ,那么 BALA，/ E= , / 3=度4、如圖4,已知/ A=Z D, Z1 = Z2,那么要得到 AB黃 DER還應給出的條件是 (A . / E=/ B B . ED=BC C . AB=EF D . AF=CD 5、在 ABCDB' C 中，已知/A=44 15' ,

32、/ B=67 12' , Z C =68° 33',/A' =44.25° ,且 AC= A' C ,那公匕 ABCA.K B' C'()A . 一定不全等B . 一定全等 C .不一定全等D .全等還差一個條件6.如圖， ABC中，AD±BC, CE!AB,垂足分別為 D, E, AD, CE交于點H,已知EH=EB=3AE=4,求CH的長7.如圖,在 MBC中，高線 AD和高線BE交于點H , AD = BD ,求證:：BDH 三 ADC8.已知:/ACB =90? AD _L AB 于 A, AD=AB求證：C

33、F平分/ACB .9 .如圖，已知 AB/ CD O是BD的中點，過點 O的直線分別交 CD AB于E、F,求證：(1) OE=OF (2)若E、F分別是 DC AB的中點，則/ A=Z C.10 .已知：如圖所示，OD平分/ AOB在OA OB邊上取 OA=OB點P在OD上，且PML BD, PN AD.求證：PM=PN.11 .到三角形三邊所在直線距離相等的點有 個.【大展身手】/ACDh B.試說明： ABC CDE.AC/DE, AC=CE1 . （08陜西）已知：如圖所示，B, C, E三點在同一條直線上,2 .如圖，已知 CDL AB于點D, BEX AC于點E, BE CD交于點

34、O且人0¥分/ BAC求證：OB=OC.C293 .如圖，已知： AB± BC于 B , EFLAC于 G , DF，BC于 D , BC=DF.求證：AC=EFGAB=DC BE=CF求證：AB/ CD例 3.如圖，AB =AE , BC =ED , /B =/E ,AF _L CD , F是垂足，試判斷CF第七節(jié)直角三角形全等的判定【知識要點】1 .斜邊、直角邊（HL）內(nèi)容：有斜邊和一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等作用：判定兩個直角三角形全等.2 .判定兩個直角三角形全等的方法，共有五種：SSS、SAS、ASA、AAS、HL .判定兩個三角形全等，必須有一組邊對應相

35、等3 .判定兩個直角三角形全等時應先考慮利用斜邊、直角邊條件（即HL）來證，如不行再考慮用其他四種方法（其中 SSS沒有必要）.【典型例題】例1.我們知道：只有兩邊和一角對應相等的兩個三角形不一定全等，你如何處理和安排這三個條件，使這兩個三角形全等，請仿照方案（1）,寫出方案（2）, （3）, （4）,你能行嗎?方案（1）：若這角的對邊恰好是這兩邊中的大邊，則這兩個三角形全等方案（2）:方案（3）:方案（4）:AF _L BC 于 F, DE _L BC 于 E,例2,已知：如圖所示，B、E、F、C在同一直線上,C與DF有什么特殊的數(shù)量關系？并說明理由.FD且點B、C 在AE的異側(cè),BD _L

36、 AE 于 D , CE _L AE 于 E ,試說明：例4.如圖所示，RtABC中，/ ACB=90 , D是AB上一點，且 BD=BC D吐AB交AC于E.求證:CDLBE.例5.如圖， ABC中，AB=AC D E分別是 AG AB上的點,若 AML CE AN BD AM=AN求證：EM=DN例6.如圖a所示，AABC中，NBAC=901 AB = AC , AE是過A的一條直線,33(1) BD =DE +CE.(2)若直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到如圖b的位置時(BD< CE),其余條件不變,問BD與DE、CE的關系如何？說明理由(3)若直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到如圖c的位置時(BD>

37、 CE),其余條件不變,則BD與DE、CE的關系又怎樣?【初試鋒芒】1 .下列條件中，能判定兩個直角三角形全等的是（一銳角對應相等B、兩銳角對應相等一條邊對應相等H兩條直角邊對應相等2 .如圖1, P到AB、AC的距離PF = PE ,則A PAE三APAF的理由是HLB 、 AASC 、 SSS D 、 ASA3.如圖2 中，/C =90 AC =BC,AD平分 NCAB 交 BC于 D, DE _L AB 于 E,若AB= 6cm,則WEB的周長（A、圖1C、7 cmD、8 cm圖2A B C和 ADEF 中，AB=DE,/A = /D=90 ,只要再補充條就能說明. ABC = ；：DE

38、F .5 .如圖，RtABC中，/ ACB=9 0 , CA=CB D是AC上的一點，E在BC的延長線上,且AE=BD BD的延長線與AE交于點F.求證：BF，AE6 .如圖，在四邊形 ABCD43, BC>BA AD=DC B葉分/ ABC.求證：/ BAD叱 C=180°7.已知:如圖所示，.DCE二90 ,CD= CE, AD _L AC 于 A, BE_LAC于B,求證:AB+AD=AC8.如圖,在AABC中，高ADBE交于點H, M N分別是BH AC的中點，/ABC =45.求證:DM=D N【大展身手D1.如圖, ABC中，/ C=90°,AB=2AC,

39、M是AB的中點，點N在BC上，MNLAB.求證:AN平分/ BAC2.如圖,已知： BE! CD BE=DE BC=DA 求證：DFL BC3.如圖，已知 AC=BD AD± AC, BC± BD.求證：AD=BC.第八節(jié) 全等三角形中的等腰三角形【知識要點】等腰三角形的概念：有兩條邊相等的三角形 等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形兩個底角相等；等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線和高互相重合，簡稱： 三線合一.等邊三角形的概念：三角形的三邊都相等.等邊三角形的性質(zhì)：各個內(nèi)角都相等，每個內(nèi)角都等于60 °等腰三角形的識別：兩邊相等的三角形是等腰三角形若一個三角形有兩個角

40、相等，則這兩個角所對的邊相等.三個角都是6041的三角形是等邊三角形.頂角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形【典型例題】例1.如圖， ABG BDF為等腰直角三角形，求證： (1) CF=AD (2) CH AD例2.已知：如圖 1-1、圖1-2、AE圖1-1CBD圖1-3中， ABC BDE為等邊三角形.求證：AD=CEC圖 1-2 D圖 1-3A37例3.如圖， ABC中，AB=AC D, E, F分別為 AB, BC, CA上的點，且 BD=CE/ DEF=/ B.求證： DEF是等腰三角形例4.已知:求證: ABC BDE為等邊三角形，C、B、D三點共線(1) AD=EC (2) BP

41、=BQ (3) BPQ等邊三角形D例5.已知： ABC BDE為等邊三角形， A、D> E共線.求證：AE= BE+ EC(1)求證： ACDACBE小有無變化？請證明你的結論例6.如圖，在等邊三角形 ABC的頂點A、C處各有一只蝸牛，它們同時出發(fā)，分別以相同的速度由A向B和由C向A爬行，經(jīng)過T分鐘后，它們分別爬行到了 D E處，設DC與BE的交點為F.(2)問蝸牛在爬行過程中 DC與BE所成的/ BFC的大例7.已知：AABC是邊長為1的等邊三角形，/BDC =120彳BD =DC,/MDN =60，求證：AAMN的周長為2.【初試鋒芒】1 .在 AABC 中，AB=AC /A=/B,

42、則/B=2 .等腰三角形的周長是 20 cm,有一邊長是 8 cm,則其他兩邊長為 3 .等腰三角形的一個角是 32°,則底角為 ;等腰三角形的一個角是100°,則頂 角為4 .如圖 1, AABC 中，AB=AC /A=36 BD 平分工ABC ,DE _L AB 于 E,則/C =, /BDE =，若 ABC 周長為 24,CD=4 則 BC=, MBD的周長為5 .如圖2所示，在等邊 ABC的AC BC邊上各取一點 P, Q,使AP=CQ AQ BP相交于 點O,則/ BOQ的度數(shù)為6 .如圖3是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長是a ,7

43、.有一個等腰三角形，三邊分別是3x-2,4x-3,6-2x,則等腰三角形的周長為 8 .在AABC中，AB=AC B葉分/ABC ,若/BDC =751則/A的度數(shù)為（）A、30°B、40*9 .等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為A、銳角三角形C、等邊三角形C、45D、6045°,則這個三角形是（）B、鈍角三角形H等腰直角三角形3610 .在 AAC 中，AB=ACD是 BC上一點，/ BAD = 40 © ,E是 AC上一點，AE=AD求/皿#11 .已知： BDE為等邊三角形，/ 1 = /2, AD=CE求證： ABC為等邊三角形12 .如圖，已知 ABC

44、AAD比等邊三角形，點 E恰好在CB的延長線上，求證：/ ABDW AED.A、B、E三點共線.M,N為CE、AD的中點ED13 .已知： ABC BDE為等邊三角形, 求證： BMN等邊三角形【大展身手】1 .若三角形的三邊 a,b,c滿足(a-b ) (b-c) (c-a ) =0,那么4ABC的形狀是(A.等腰三角形B .直角三角形C .等邊三角形D .銳角三角形2 . 一個等腰三角形的底邊長5cm, 一腰上的中線把這個三角形分成兩個三角形，它們的周長之差為3cm,則這個等腰三角形的腰長為()A. 2cm B . 8cm C . 2cm或8cm D .以上答案都不對3 .下列命題是假命題

45、的是()A .底邊和頂角對應相等的兩個等腰三角形全等B .底邊相等的兩個等腰直角三角形全等C . 一邊和頂角對應相等的兩個等腰三角形全等D .頂角相等，并且有一邊相等的兩個等腰三角形全等4 .在 ABC中，如果只給出條件/ A=60° ,那么還不能判定 ABC是等邊三角形，給出下 面四種說法：(1)如果再加上條件" AB=AC,那么 ABC是等邊三角形；(2)如果再加上條件"/ B=Z C"，那么 ABC是等邊三角形；(3)如果再加上條件“ D是BC的中點，且 AB±BC',則 ABC是等邊三角形；(4)如果再加上條件“ AR AC邊上

46、的高相等"，那么 ABC是等邊三角形；其中正確的說法有 (把你認為正確的序號全部填上)5 .(吉林中考)如圖， ACB ECDtB是等腰直角三角形，且點 C在AD上，AE的延長 線與BD交于F,請你在圖中找出一對全等三角形，并寫出證明它們?nèi)鹊倪^程 第八節(jié) 輔助線的作法(一)【知識要點】1 .遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法(1)截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；(2)補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段2 .角平分線問題的作法角平分線具有兩條性質(zhì)：(1) .對稱性，作法是在一側(cè)的長

47、邊上截取短邊；(2) .角平分線上的點到角兩邊的距離相等，作法是從角平分線上的點向角兩邊作垂線段【典型例題】例 1、如圖，AC平分/ BAD CEL AB,且/ B+Z D=180° ,求證：AE=AD+BE例2、已知：如圖，等腰三角形 ABC中，AB=AC /A=108°求證：BC=AB+DCB例 3.如圖，AB>AC, /1 = /2,求證：AB- AC>BD- CDeCB,B葉分. ABC.ADCCA41BEC=DEACBEDEDAB例4. 4ABC中，AC=BC / ACB=90 , D是AC上一點，A已BD交BD的延長線于 E,_ 1 _ 且AE=BD

48、,求證：BD平分/ ABC2例5.已知： ABC為等邊三角形， AE=BD求證:BCD【初試鋒芒】1、如圖，AB/ CD AE、 DE分另1J平分/ BAD和/ADE 求證：AD=AB+CDBDC432、已知：CE AD是 ABC的角平分線，/ B=60° ,求證：AC=AE+CDAE4.已知：如圖，AB=2AC / 1 =A BZ 2, DA=DB 求證：DC AC.3.已知，如圖，/ C=2/ A, AC=2BC求證： ABC是直角三角形5 .已知：如圖在 ABC中，/ A=90° ,6 .已知：四邊形 ABCD, AB=AD /BDAB=AC BD是/ ABC的平分線

49、，求證： BC=AB+ADAB CBAD=60 , / BCD=120 .求證：AC=BC- CD.A45C第九節(jié)輔助線的作法（二）1 .倍長中線：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，方法是將中線延長一倍，再將端點連結，便可得 到全等三角形.【典型例題】例1.如圖，AB=6, AC=& D為BC的中點，求 AD的取值范圍.49BDC例 2.如圖，AB=CD E 為 BC 的中點，/ BACW BCA 求證：AD=2AE.【初試鋒芒】1,已知：如圖 AD為4ABC的中線，求證： AB+ AC>2AD2 .已知：如圖 ACEDF口 BCFGO是正方形， CM是4CEF的中線，求證： AB=

50、2CM3 .已知：如圖 AD為4ABC的中線，AE=EF求證：BF=ACAE,交BC于D.4 .其它輔助線作法舉例.例1.如圖，在 ABC中，AB=AC點E是CA延長線上的一點，點 F在AB上,且/ AEF=Z AFE.求證：EF ± BC例2 （探究性問題）求證：等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰的距離之和等于腰上的高 已知：如圖，在 ABC中,AB=AC,P為BC上一點，過P作PDL AB于D.作PE± AC于E.過C作CML AB于 M.求證：PD+PE=CM.例 3.在圖，在 ABC中，/ BAC=90 , AB=AC M是 AC的中點，ADL BMT求證：/ AMB

51、h CMD.例4.如圖，D為等邊 ABC內(nèi)一點,且 AD=BD BP=AB / DBP4 DBC求/ BPD的度數(shù).例5.如圖是由一個正方形和一個等腰直角三角形拼成的圖形（簡稱直角梯形），現(xiàn)在要 把它剪成四塊全等的圖形（并且形狀與原圖形相同）應如何剪法?第十節(jié) 三角形綜合【知識要點】1 .三角形的概念及其基本要素.2 .三角形的內(nèi)角3 .三角形的外角(1)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；(2)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.4 .三角形的三邊關系是指：(1)三角形任意兩邊之和大于第三邊;(2)三角形任意兩邊之差小于第三邊.5 .三角形的三線：角平分線，中線，高線 .

52、6 .三角形全等/r找夾角sas已知兩邊J 找直角一HLI找另一邊一SSSJ邊為角的對邊一找任一角一AAAS已知一邊一角找夾角的另一邊 一SAS邊為角的鄰邊 Y找夾角的另一角 一ASAI找邊的另角一AAS找夾邊ASAI已知兩角一，二L找任一邊 一AAS【初試鋒芒】選擇1.下列長度的三條線段，能夠組成三角形的是（A 4,2,2 B 32.在 ABC中，/ A=38,6, 6 C 2, 3, 6 D 7, 13, 6A 350B 45C 80D 100 °B=45°,則與/ C相鄰的外角的度數(shù)是（553 .下列說法中錯誤的是（A、三角形的中線、角平分線、高線都是線段、任意三角形的三內(nèi)角和都是180°C三角形按角分可分為銳角、直角和等邊三角形、直角三角形的兩銳角互余5.如圖，已知：/C=ND,A、/CAB =/DBA ;B、CB =DA ;4 .如圖,AC與BD相交于點 O,已知AB=CD,AD=BC,U圖中全等的三角形有（AC=DB下列條件中不能使 A ABe A BAD的是（）、AO=DBC、AO =BO ；6