中考數(shù)學黃金知識點系列專題等腰三角形

1、專題15等腰三角形聚焦考點溫習理解一、等腰三角形1、等腰三角形的性質（1）等腰三角形的性質定理及推論：定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。推論2:等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60。（2）等腰三角形的其他性質：等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45 °等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。等腰三角形的三邊關系：設腰長為a,底邊長為b,則b<a2180等腰三角形的三角關系：設頂角為頂角為/ A,底角為/ R /

2、 C,則/ A=180° 2/ B, / B=Z C=-22、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推論：定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等。推論1:三個角都相等的三角形是等邊三角形推論2:有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形。推論3:在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。二.等邊三角形1 .定義三條邊都相等的三角形是等邊三角形.2 .性質：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°3 .判定三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于

3、60°的等腰三角形是等邊三角形 三.線段垂直平分線1 .定義垂直一條線段，并且平分這條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線2 .性質線段垂直平分線上的一點到這條線段的兩端距離相等3 .判定到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上名師點睛典例分類考點典例一、等腰三角形的性質【例1】（2016山東濱州第 6題）如圖，4ABC中，D為AB上一點，E為BC上一點，且AC=CD=BD=B巳A=50° ,則/CDE的度數(shù)為（）A. 50° B . 51° C. 51.5° D. 52.5 °【答案】D.解析】試題分析：根據(jù)等月貯甬形的

4、性質推出NA=NCD知50" , ZB=ZrcEJ Nede=/bed,根據(jù)三角檔的外角性 質求出/陰2廣，由三角形的內角和定理求出NbDE二（18?！?-25°寸Z 5。，根據(jù)平角的定義 即可求出/CDETSO' - ZCDfl- ZEDB=13Oa - 50° -丫%十二52.5",故答案選 D，考點：等腰三角形的性質；三角形內角和定理；三角形的外角性質.【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質，熟知等腰三角形的兩底角相等是解答此題的關鍵.【舉一反三】（2016山東棗莊第 4題）如圖，在 ABC3, AB = AC r, Z A = 3 0

5、76;, E為BC延長線上一點，/ ABC 與/ ACE勺平分線相交于點 D,則/ D等于A. 15°B , 17.5 °C , 20°D, 22.5 °【答案】A.【解析】試題分析：在小知。中=AC,/A=3Q°，根據(jù)等原三角冊的性質可得NAESNACFTb" j斫以UMCEEE。" -ZACB=130* -7E0 =105 q f根據(jù)角平分線的性質可得NDEU3工丁 j/ACX52. 5",即可得/BCD=12工丁 , 根據(jù)三角形的內角和定理可得/>1時"-ZDBC-ZDCIrlSO"

6、 -37.5° -127. 5a -15° ,故答案選仇考點：等腰三角形的性質；三角形的內角和定理 考點典例二、等腰三角形的多解問題【例2】（2016湖南懷化第8題）等腰三角形的兩邊長分別為4cm和8cm,則它的周長為（）A. 16cm B. 17cm C. 20cm D. 16cm或 20cm【答案】C.【解析】試題分析：分當腰長為 4cm或是腰長為8cm兩種情況：當腰長是 4cm時，則三角形的三邊是 4cm, 4cm, 8cm, 4cm+4cm=8cnm滿足三角形的三邊關系；當腰長是 8cm時，三角形的三邊是 8cm, 8cm, 4cm,三角形 的周長是20cm.故答案

7、選C.考點：等腰三角形的性質；三角形三邊關系.【點睛】題考查了等腰三角形的性質；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應在符合三角形三邊關系的前提下分類討論.【舉一反三】（2016湖南湘西州第14題）一個等腰三角形一邊長為 4cm,另一邊長為5cm,那么這個等腰三角形的周長是（）A. 13cm B. 14cm C. 13cm或 14cm D,以上都不對【答案】C.【解析】試題分析：分4即為等腰三角形的喉和55為等腰三角形的腰兩未*情況：當4排為等腰三角形的腰時,三龜形的三邊分弁是垢M4g, 5也符合三角形的三通關系，周長為13當5g為等腰三角形的腰時,三邊分別是, 5

8、Gib"屬1符合三色形的三邊關系J局長為14加，故答案選C.考點：等腰三角形的性質；三角形三邊關系.考點典例三、等邊三角形的性質與判定【例3】（2016年福建龍巖第15題）如圖， ABC是等邊三角形，BD平分/ABC點E在BC的延長線上,【答案】2.【解析】 試題分析： .ABC是等邊三角形，/ ABCW ACB=60 , BA=BC = B葉分 / ABC / DBCW E=30° , BD± AC, . BDC=90 ,. BC=2DC-/ ACB4 E+Z CDE，/ CDEW E=30° , . . CD=CE=1 . . BC=2CD=2. 考

9、點：等邊三角形.【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質，解題的關鍵是利用性質和判定解決.【舉一反三】（2016四川達州第15題）如圖，P是等邊三角形 ABC內一點，將線段 AP繞點A順時針旋轉60。得到線段AQ連接BQ若PA=6, PB=& PC=10,則四邊形 APBQ勺面積為【解析】試題分折：如圖,連結P*根據(jù)等邊三角形的性質得，AB=AC；再根據(jù)旋轉的性質得AP牙牛6, /FAQ=M"）即可判定&iFQ為等邊三角形:所以秋=舒=6在AAPC和21皿 中：比AC, 點賴=/心， 犯=陽利用5As判定&PC絲ZiAB%根據(jù)全等三角形的性質可得線期=助在

10、AbPO中，已知相邛F4, 陵=口 師=L* 即PB"PQQ'所以PBQ為直角三角形,ZBPQ=90° ,所以£ 工日“甘必安彳乂sX£/十-S考點：旋轉的性質；等邊三角形的性質；全等三角形的判定及性質.考點典例四、線段垂直平分線的性質運用【例3】（2016湖南長沙第17題）如圖， ABC中，AC=8 BC=5, AB的垂直平分線 DE交AB于點D,交邊AC于點E,則4BCE的周長為.【解析】試題分析：已知 DE是AB的垂直平分線，根據(jù)線段的垂直平分線的性質得到EA=EB所以 BCE的周長=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13考點

11、：線段的垂直平分線的性質.【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，熟記性質是解題的關鍵.【舉一反三】（2016山東威海第10題）如圖，在 ABC中，/ B=/ C=36 , AB的垂直平分線交 BC于點D,交AB于點H,AC的垂直平分線交BC于點E,交AC于點G,連接AD,AE,則下列結論錯誤的是（）./銀冷ca. bo=VL11 B. AD, AE將/BAC三等分EC 2C. AABEEAACD D. SaadfSceg【答案】A【解析】試題分折:已知NB=/C=§6* j可得AB=AC, ZEAO103fl ,又因DH垂直平分AE,即垂直平分根據(jù)申垂線性質得DB=DA, EA=E

12、C,所以Nfi=/D曲NBNCAEkE口，即可判定仆曲4sAem,根據(jù)相似三角形的性質可得四=國，再由/皿=N/NBAD=r20 ? Z»ac= Zbjyc- Zbai>=720 ?所以4dc=Ndac?日阿得 BA BCCD=CA=BA,即EgM-CgHC-AEp所以BC二BA;既訴一 1,即也險與選項以錯誤j因為/ 隊 L BA BC /DAC=108D , ZB= ZDZC= ZCAE= 3S c , fHAZDAEZBAC - ZDAB - ZC=36° 艮1/DAB=/DAE=/CAE二肥",即可得 心，AE將N0AC三等分選項5正確；因為/BAE

13、：/BAD+/D他二72" , ZCAB=ZCAEZ fZB=ZCDAE=TW" ,可得/BAE=/CAD,在ZiBAE和中一 杷=AC»所以BAE段ACAD,選項C正確jlZBAE=ZCAD由ZiBA&Acad可得s一也二s.工，s工二十/二毛力計3工口所以以上二s二十又因血垂直平分如翦垂直平分ACj所以3二jh二E二-Sjxrc- - Sjlcmj即0二心二選】頁D正確.故答案選A . 71'考點：黃金分割；全等三角形的判定與性質；線段的垂直平分線的綜合運課時作業(yè)能力提升一、選擇題1. （2016湖南湘西州第14題）一個等腰三角形一邊長為 4c

14、m,另一邊長為5cm,那么這個等腰三角形的周長是（）A. 13cm B. 14cm C. 13cm或 14cm D,以上都不對【答案】C.【解析】試題分析：分4cm為等腰三角形的腰和 5cm為等腰三角形的腰兩種情況：當4cm為等腰三角形的腰時，三角形的三邊分別是 4cm, 4cm, 5cm符合三角形的三邊關系，周長為13cm；當5cm為等腰三角形的腰時,三邊分別是，5cm, 5cm, 4cm,符合三角形的三邊關系，周長為14cm,故答案選 C.考點：等腰三角形的性質；三角形三邊關系.2. （2016四川甘孜州第9題）如圖，在 ABB, BD平分/ ABC ED BC,已知AB=3, AD=1,

15、則 AED勺周長為（）A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】試題分析百平分4EC?，:乙堂/CRD J：ED"» ：,NCBH-；BE二儻dEZ）的般FTE+aE+Ng且95砒W6蘭科'二4=3,'.石。的除=3+1二，故選C.考點：等腰三角形的判定與性質；平行線的性質.3. （2016遼寧營口第8題）如圖，在 ABC43, Z ACB90 ,分另以點 A和點C為圓心，以相同的長（大一 1于-AQ為半徑作弧，兩弧相交于點M和點N,作直線MNIxAB于點D,交AC于點E,連接CD下列結論2C. /ADE=/DCBD. /A=2/DCB【答案】D.【解析】試題

16、分析：: DE是AC的垂直平分線，DA=DC AE=EG故A正確，DE/ BC /氏/ DCE故B正確, /ADm/CDE/DCB故C正確，故選 D.考點：作圖一基本作圖；線段垂直平分線的性質.4. (2016河南第6題)如圖，在 ABC中，/ ACB=90 , AC=& AB=10. DE垂直平分 AC交AB于點E,則DE的長為【】(A) 6(B) 5(C) 4(D) 3【答案】D.r【解析】試題分析，已知事在畋 中，ZACB=90° , AC=8, AB=10,根據(jù)匐股定理可得BC二E,又因DE垂直平分隊,ZACE=90",可得證為加：的中位線根據(jù)三角冊的中位線

17、定理可得DE二：BC:3,故答案選D.考點：勾股定理；三角形的中位線定理.5. (2016河北第16題)如圖，/ AOE=120 , OP平分/ AOB且OP=2.若點M N分別在 OA OBh,且4PMN；等邊三角形，則滿足上述條件的PMNT ()第16題圖A. 1個 B. 2個C. 3個 D. 3個以上【答案】d.【解析】試題分析：M、N分別在A O、BO上，一個； M N其中一個和。點重合，2個；反向延長線上，有一個, 故答案選D.考點：等邊三角形的判定6. 在平面直角坐標系中，點A（ J2, J2）, B （3J2, 3J2）,動點C在x軸上，若以A B、C三點為頂點的三角形是等腰三角

18、形，則點C的個數(shù)為（）A. 2 B . 3 C .4 D .5【答案】B.【解析】試題分析：如圖，;二所在的直線是工丁龍，謾酒的中垂線所在的直線是P = r + M 'J點上（6， ）3（3次,372 J方的中點坐標是2上），把戶20,產2s代入尸二t十心解得六斗上，的卬垂線所在的直線是J=匯+4力,C4力0以點工為國心，以/的長為半徑畫弧？與x軸的交點為點g、g ；上葬 出一近力-向 二k 136，"，以點B為圖上以一如的長為半徑畫弧，與H軸沒有交點，綜上,可得若以。三點 為頂點的三角形是等腰三角形，1M點c的個數(shù)為3.故選B.考點：1.等腰三角形的判定；2.坐標與圖形性質

19、；3.分類討論；4.綜合題；5.壓軸題.7. （2016山東濱州第 6題）如圖， ABC中，D為AB上一點，E為BC上一點，且 AC=CD=BD=B E/A=50° ,則/CDE的度數(shù)為（）A. 50° B , 51° C, 51.5° D, 52.5【答案】D.【解析】試題分析：根據(jù)等腰三角形的性質推出/A=NCDAf5o'2b=/DCEj /RDE=/E皿 根據(jù)二房形的外角性質求出/B=25"，由三角形的內角木碇理求出/時的NBEMa （1BT -25" ） =77.5",根據(jù)平角的定義艮1可求出/CDE=1g0

20、0 -ZCDAl- ZEDB=1900 -50" -77.5° =52, 6" j 故答案選上考點：等腰三角形的性質；三角形內角和定理；三角形的外角性質.二、填空題8. （2016貴州遵義第14題）如圖，在 ABC, AB=BC Z ABC=110 , AB的垂直平分線 D& AC于點D,連接BD則/ ABB 度.【解析】試題分析：在 ABO, AB=BC /AB（=110° ,./ A=/C=35° , = AB的垂直平分線 DE交 AC于點 D, AD=BD . / AB0/A=35 ,故答案為：35.考點：線段垂直平分線的性質.9

21、. （2016 江蘇蘇州 第17題）如圖，在 ABC中，AB=10 , / B=60° , 點 D、E分別在 AB、BC上,且BD=BE=4 ,將 BDE沿DE所在直線折疊得到 B' DE （點B'在四邊形 ADEC內）， 連接AB',則AB' 的長為.【答案】2 ,.17.【解析】試題分析：過點 D作D。B' E于點F,過點BYB' GJ± AD于點G, : / B=60° , BE=BD=4， BD弱等一 一一，.1 .邊二角形, B D白 BDE B FB E=BE=2 DF=23, GD=B F=2, B G

22、=DF=“, AB=1QAG=10- 6=4, .AB' =2,7考點：1軸對稱；2等邊三角形.10. （2016湖北隨州第12題）已知等腰三角形的一邊長為9,另一邊長為方程 x2-8x+15=0的根，則該等腰三角形的周長為.【答案】19或21或23.【解析】試題分析：解方程m-取+15=。得樂3期第二"分以下幾種情況：當?shù)妊切蔚娜呴L為13時，其周長為21j當?shù)妊切蔚娜呴L為9、9、5時，其周長為23;當?shù)裙扇切蔚娜呴L為9、3、3時；尹”叫不符合三角形三邊關系定理，舍去,當?shù)雀谷切蔚娜呴L為九 5時，苴周長為 綜上該等腰三角形的周長為19或%或2力考點：一元二

23、次方程的解法；三角形三邊關系；等腰三角形的性質.11. （2016廣西河池第18題）如圖的三角形紙片中，AB=A（C BG=12cm| Z C=30° ,折疊這個三角形，使點B落在AC的中點D處，折痕為EF,那么BF的長為 cmiBFC114【答案】14 .3【解析】試題分析：過 D作DHL BC過點A作ANL BC于點N, ABAC，/ B=ZC=30 ,根據(jù)折疊可得：DF=BF,ZEDf=ZB=30 , ABAC BC=12cm| . BN=NC=6cm . 點 B落在 AC的中點 D處，AN/ DH . . NH=HG3cm.DH=3tan30 =邪(cm 設 BF=DF=xc

24、mi 則 FH=l2-x- 3=9-x(cmD,故在 RtADFC, DF 2 DH 2 FH 2 ,14 一 , cmi故答案為:3143故 x2 (J3)2 (9 x)2,解得：x=14,即 BF的長為:3考點：翻折變換（折疊問題）12. （2016內蒙古通遼第14題）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為48。，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為【答案】69°或21°【解析】試題分析；分兩種情況討論；若乙1<90° ,如圖1所示：BDJLW，十=9。" -48° =42* , A£=ACf .'.ZABC=C= （1800

25、 -42"）二的 ;若>如, p如圖2所示:同可得:”猛;900 -48° =42° VO1SD口 -42° =118° ? 4B=aC,（130° 1380 ） +2=21。綜上所述；等腰三角形底角的度額為69?；?1。.故答案為：居。或21。.考點：等腰三角形的性質；分類討論.13. （2016福建南平第16題）如圖，等腰 ABC43, CA=CB=4, / ACB120° ,點 D在線段AB上運動（不與A、B重合），將 CADW4CB時別沿直線 CA CB翻折得到 CA電4CBQ給出下列結論： CD=CQCQ/

26、PCQ勺大小不變;' PCC®積的最小值為當點D在AB的中點時， PDQ1等邊三角形，其中所有正確結論的序號是【答案】.【解析】試題分析：丫將ACtD與C8D分別沿直線C九C5翻折得到與6%,工六，正 確；;將AdD與acs9分界的直線CA. 3翻折得到<!躇與/BCQ=£BC3 ：.ZCJM-Zcg= ZCZHZ5CZ ZJ C5=l 20* , J/P等3609 - (NdUJMC4/金CB) =36(T - (120° 4120s ) =120* J J/PC2的大小不變j正確j如圖，過點 Q作 QEL PC交 PC延長線于 E, .一/ PC

27、Q120。，/ QC=60° ,在 RD QC曰，tan Z QCE-QE , CQ，QE=CQ< tan / QCECQ< tan 60° =6 CQ = CP=CD=CQ，Sapcqf1 CPX QE=1 CPX 邪 CQ: CD2 ,，CD 222最短時，&PC最小，即：CD! AB時，CM短，過點 C作C吐AB,此時CF就是最短的 CDAC=B(C=4, /13232ACB120 , ./ AB(=30 ,CF=-BO2,即：CD最短為 2, . Sapccsj =CD2=- 22 = 2>/3 .錯222將 CADW4CB盼別沿直線 CA

28、 CB翻折得到 CA* CBQA摩AP, / DAB/PAC : / DAB30° ,.rZ AP1=60° ,APD等邊三角形，PD=AQ ZADf=60 ,同理： BD德等邊三角形，DQ=BQ /BDQ60。，/ PDQ60。，.當點 D在 AB的中點，.二 AD=BD）,，PD=DQ. DP幅等邊三角形，正確, 故答案為：.考點：幾何變換綜合題；定值問題；最值問題；綜合題；翻折變換（折疊問題）14. （2016四川達州第15題）如圖，P是等邊三角形 ABC內一點，將線段 AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AQ連接BQ若PA=6, PB=8, PC=1Q則四邊

29、形 APBQ勺面積為【解析】試題分析:如囹，連結田，根據(jù)等邊三角形的性質得/目氏F0",出5a再根據(jù)旋轉的性質得的-F卡6,/F弧=00。，即可苧族ZYATQ為等邊三角形，所以PQ=AP=6/在AAFC和ABQ中，ZCAF=ZfiAQ,AF=PQ,利用8必判定AAPC經的的根據(jù)全等三角形的性質可得FC=期二10 j在ABFQ中，已知咫守二國,PQ!=6 EQ:=10即F相+PQJbq）所以公網(wǎng)為宣角三角附J /改十=箕。所以5二6 4尸0工氣十5二；下二乂臼考點：旋轉的性質；等邊三角形的性質；全等三角形的判定及性質.15. （2016湖南長沙第 17題）如圖， ABC中，AC=8,

30、BC=5, AB的垂直平分線 DE交AB于點D,交邊 AC于點E,則4BCE的周長為【解析】試題分析：已知而是好的垂直平分線，根據(jù)線般的垂克平分線的性質得到EA=ES,所以ABCE的周長 %/E44EB=BC+EC*A=BC*ACr3考點：線段的垂直平分線的性質16. （2016湖南婁底第17題）如圖，WA ABC沿直線DE折疊，使點C與點A重合，已知 AB=7, BC=6則 BCD的周長為【解析】試題分析：將 ABCg直線DE折疊后，使得點 A與點C重合，由折疊的性質可得 AD=CD由AB=7, BC=6可得 BCD勺周長=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=7+6=13考點：翻

31、折變換（折疊問題） 三、解答題17. （2016山東淄博第 22題）（8分）如圖，已知 ABC AD平分/ BAC交BC于點D, BC的中點為 M, ME/ AD交BA的延長線于點 E,交AC于點F.（1）求證：AE=AF（2）求證：BE=j （AB+AC.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析【解析】試題分析；(1)根據(jù)角平分尊的性反及書丑主的性質易/AE*/詆，即可用AE=AFj(2)作段"硼，交EA 的延長線于G,已知K=AG,根據(jù)三角形中位線定理的推論證明BE=E%再利用三用形的申位線定理艮問證 得結論.試題解析：(1)息平分/6前.-Zbad=Zcad, '/ad/

32、 e%二Nbad=z>ef, Zcad=Zafe二/ae 戶 4fe,J.AE=AF.(2)作CG4EM,交BA的延長線于G.二郎 Ms,/-Zg=Zaef Nacg=Nafe,: Nae k Nafe,Zg=Zacc7二4 AC,TBM二CM. EM/CC,7.BE-EC,. BE=1 BG=1 (BA+AG =1 (AB+AC.222G考點：三角形中位線定理；等腰三角形的判定與性質.18. (2016湖南懷化第17題)如圖，已知 AD=BC AC=BD(1)求證： AD軍 ABCA(2) OA與OB相等嗎？若相等，請說明理由.DC【答案】（1）詳見解析；（2） OA=OB理由詳見解析

33、【解析】試題分析：（1）根據(jù)定理推出全等即可（2）根據(jù)全等得出NOAB=/OEAJ根據(jù)等角對等邊得弄呵.試題解析: <1）證明：:在AADB 和ARI2A 中. AB-BC, AB=BA, BD-AC 7，樂（SS£）j（2）解;OA=OB,理由是；.ADE絲ZCAjabd=Nbm>.OA=CB.考點：全等三角形的判定與性質；等腰三角形的判定.19. （2016廣西河池第21題）如圖，AE/ BF, AC平分/ BAE交BF于C.（1）尺規(guī)作圖：過點 B作AC的垂線，交 ACT 0,交AE于D,（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的圖形中，找出兩條相等的線段，并予以證明.【答案】（1）作圖見解解析；（2） AB=AD=BC【解析】試題分析；（1）利用基本作圖作上eUwe即可j（2）先利用平行線的性JS得NENO/ECTj再根據(jù)角平分線的定義和等量代換得到/3己=/56則BA=BC,然后根據(jù)等腰三角形的判定方法由工必上。平分N旦得到衛(wèi)生.現(xiàn) 所以留三分試題解析：（1）如圖，斤。為所作JBC F(2) ABAD=BC.證明如下：'