第六章樣本及抽樣分布

1、第六章 樣本及抽樣分布授課對象】理工類本科二年級授課時數(shù)】4 學(xué)時授課方法】課堂講授與提問相結(jié)合基本要求】1、理解總體、個體和樣本的概念；2、了解經(jīng)驗分布函數(shù)和直方圖的作法，知道格林汶科定理；3、理解樣本均值、樣本方差和樣本矩的概念并會計算；4、理解統(tǒng)計量的概念，掌握幾種常用統(tǒng)計量的分布及其結(jié)論；5、理解分位數(shù)的概念，會計算幾種重要分布的分位數(shù)?！颈菊轮攸c】 樣本均值、樣本方差和樣本矩的計算； 抽樣分布 2分 布， t 分布，F(xiàn) 分布；分位數(shù)的理解和計算?！颈菊码y點】 對樣本、統(tǒng)計量及分位數(shù)概念的理解；樣本矩的計算。【授課內(nèi)容及學(xué)時分配】§ 6.0 前 言 前面五章我們研究了概率論的

2、基本內(nèi)容，從中得知：概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)分支。它是從一個數(shù)學(xué)模型出發(fā)（比如隨機(jī) 變量的分布）去研究它的性質(zhì)和統(tǒng)計規(guī)律性；而我們下面將要研究的數(shù)理 統(tǒng)計，也是研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，并且是應(yīng)用十分廣泛的一門 數(shù)學(xué)分支。所不同的是數(shù)理統(tǒng)計是以概率論為理論基礎(chǔ)，利用觀測隨機(jī)現(xiàn) 象所得到的數(shù)據(jù)來選擇、 構(gòu)造數(shù)學(xué)模型 （即研究隨機(jī)現(xiàn)象） 。其研究方法是 歸納法（部分到整體） 。對研究對象的客觀規(guī)律性做出種種合理性的估計、 判斷和預(yù)測，為決策者和決策行動提供理論依據(jù)和建議。數(shù)理統(tǒng)計的內(nèi)容 很豐富，這里我們主要介紹數(shù)理統(tǒng)計的基本概念，重點研究參數(shù)估計和假 設(shè)檢驗。§ 6.

3、1 隨機(jī)樣本一、總體與樣本1. 總體、個體 在數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中，我們把所研究的全部元素組成的集合稱為總體；而 把組成總體的每個元素稱為個體。例如： 在研究某批燈泡的平均壽命時， 該批燈泡的全體就組成了總體， 而其中每個燈泡就是個體；在研究我校男大學(xué)生的身高和體重的分布情況時，該校的全體男大學(xué)生組成了總體，而每個男大學(xué)生就是個體。但對于具體問題，由于我們關(guān)心的不是每個個體的種種具體特性，而 僅僅是它的某一項或幾項數(shù)量指標(biāo) X （ 可以是向量 ） 和該數(shù)量指標(biāo) X 在總體 的分布情況。 在上述例子中 X 是表示燈泡的壽命或男大學(xué)生的身高和體重。 在試驗中，抽取了若干個個體就觀察到了 X 的這樣或那樣的

4、數(shù)值，因而這 個數(shù)量指標(biāo) X 是一個隨機(jī)變量（或向量） ，而 X 的分布就完全描寫了總體中 我們所關(guān)心的那個數(shù)量指標(biāo)的分布狀況。由于我們關(guān)心的正是這個數(shù)量指 標(biāo)，因此我們以后就把總體和 數(shù)量指標(biāo) X 可能取值的全體組成的集合 等同 起來。定義 1：把研究對象的全體（通常為數(shù)量指標(biāo) X 可能取值的全體組成 的集合）稱為總體；總體中的每個元素稱為個體。我們對總體的研究，就是對相應(yīng)的隨機(jī)變量 X 的分布的研究，所謂總 體的分布也就是數(shù)量指標(biāo) X 的分布，因此， X 的分布函數(shù)和數(shù)字特征分別 稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征。今后將不區(qū)分總體與相應(yīng)的隨機(jī)變量， 籠統(tǒng)稱為總體 X 。根據(jù)總體中所包括個體的總

5、數(shù)，將總體分為：有限總體 和無限總體。例1:考察一塊試驗田中小麥穗的重量:乂=所有小麥穗重量的全體（無限總體）；個體每個麥穗重X對應(yīng)的分布：F(x) P重量 X的麥穗數(shù)總麥穗數(shù)彳(t )21X廠 e 2 dt N(2i2)0 x例2:考察一位射手的射擊情況:X =此射手反復(fù)地?zé)o限次射下去所有射擊結(jié)果全體;每次射擊結(jié)果都是一個個體（對應(yīng)于靶上的一點）個體數(shù)量化x1射中0未中1在總體中的比例p為命中率0在總體中的比例1 p為非命中率總體X由無數(shù)個0，1構(gòu)成，其分布為兩點分布B（1, p）PX 1 p, PX 01 p2.樣本與樣本空間為了對總體的分布進(jìn)行各種研究，就必需對總體進(jìn)行抽樣觀察。抽樣從總

6、體中按照一定的規(guī)則抽出一部分個體的行動。般地，我們都是從總體中抽取一部分個體進(jìn)行觀察，然后根據(jù)觀察所得數(shù)據(jù)來推斷總體的性質(zhì)。按照一定規(guī)則從總體 X 中抽取的一組個體 (X1,X2, ,X n )稱為總體的一個樣本，顯然，樣本為一隨機(jī)向量。為了能更多更好的得到總體的信息，需要進(jìn)行多次重復(fù)、獨立的抽樣 觀察(一般進(jìn)行 n 次)，若對抽樣要求 代表性 ：每個個體被抽到的機(jī)會一 樣，保證了 Xi,X2, ,Xn的分布相同，與總體一樣。獨立性：Xi,X2, ,Xn相 互獨立。那么，符合“代表性”和“獨立性”要求的樣本(Xi，X2，,Xn)稱為簡單隨機(jī)樣本。易知，對有限總體而言，有放回的隨機(jī)樣本為簡單隨機(jī)

7、樣 本，無放回的抽樣不能保證 Xi,X2, ,Xn的獨立性；但對無限總體而言，無 放回隨機(jī)抽樣也得到簡單隨機(jī)樣本，我們本書則主要研究 簡單隨機(jī)樣本 。對每一次觀察都得到一組數(shù)據(jù)(Xi,X2, ,Xn)，由于抽樣是隨機(jī)的，所以觀察值(Xi,X2, ,Xn )也是隨機(jī)的。為此，給出如下定義：定義2：設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，若Xi,X2, ,Xn是具有同一分布函 數(shù)F(x)的相互獨立的隨機(jī)變量，則稱(Xi,X2, ,Xn)為從總體X中得到的容 量為n的簡單隨機(jī)樣本，簡稱樣本。把它們的觀察值(Xi,X2, ,Xn )稱為樣 本值定義3:把樣本(XiX,Xn)的所有可能取值構(gòu)成的集合稱為樣本空間，

8、顯然一個樣本值(Xi, X2, ,Xn)是樣本空間的一個點。二、樣本的分布：設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，( Xi,X2, ,Xn )是X的一個樣本，則其聯(lián) n合分布函數(shù)為：F*(Xi，X2，,Xn)=F(Xi)。i 1例3：設(shè)總體XB(1,p), (Xi，X2， Xn)為其一個簡單隨機(jī)樣本，則樣本空間(Xi，X2，,Xn)Xi0,1 ; i 1,2,n，因為 PX XpX(1p)1 X，x 0,1所以樣本的聯(lián)合分布列為：P X1 X1,X2X2,L ,Xn XnPM1X1 P X 2PX.&pX1(1 p)1 X1 .pX2(1p)1 X2 pXn(1p)1 Xn Xi 0,1i 1

9、,2,n§ 6.2分布函數(shù)與概率密度函數(shù)的近似解在概率論中，我們介紹了幾種常用的分布函數(shù)以及它們的性質(zhì)，當(dāng)時 我們總假定它們都是先給定的，而在實際中，所遇到的用于描述隨機(jī)現(xiàn)象 的隨機(jī)變量，事先并不知道其分布函數(shù)，甚至連其分布類型也一無所知，那么，怎么樣才能確定它的分布函數(shù)F(x)呢?一般地，利用樣本及樣本值，建立一定的概率模型，用由此獲得的概率統(tǒng)計信息來對總體X的F(x)進(jìn)行估計和推斷，這就是：一、經(jīng)驗分布函數(shù)1.定義：設(shè)(Xi,X2, ,Xn)是來自總體X的樣本，用S(x)表示：x R，Xi,X2,L ,Xn中不大于x的隨機(jī)變量的個數(shù)，定義經(jīng)驗分布函數(shù)為1Fn(x) S(x) x

10、R。n設(shè)(X1,X2, ,Xn)是樣本的一個觀察值，令這n個數(shù)值由小到大的順序排列后為：X； < x2< X； << X；，對 x R由定義很容易得到經(jīng)驗分布函數(shù)的觀察值：*0X X；kFn (x)xk x xk ； k 1,2, n 1n*1X Xn通常也稱Fn*(X)是總體X的經(jīng)驗分布函數(shù)，在不至于混淆的情況下統(tǒng)一用Fn(x)來表示總體X的經(jīng)驗分布函數(shù)。顯然，F(xiàn)n(x)是單調(diào)非降右連續(xù)的跳躍函數(shù)(階梯函數(shù))，在點X xk處有間斷，在每個間斷點的躍度為丄，(k = 1, 2, 3,，n)且0 Fn(x) 1 ,nlim Fn(x) =0, lim Fn(x) = 1，

11、它滿足分布函數(shù)的三個性質(zhì)，所以必是一個分布xx函數(shù)。一般地，隨著n的增大，F(xiàn)n(x)越來越接近X的分布函數(shù)F(x)，關(guān)于這一 點，格列汶科(Glivenko )在1953年給了理論上的論證，即：2.定理1( Glivenko-Th ):若總體X的分布函數(shù)為f(x)，經(jīng)驗分布函數(shù)為 Fn(x)，則對x R，有：P lim( sup | Fn(x) F(x) |) 0 1nxFn(x) 一致 F(x)定理表明，F(xiàn)n(x)以概率1 一致收斂于F(x), 即:可以用Fn(x)來近似F(x)，這也是利用樣本來估計和判斷總體的基本理論和依據(jù)。例4:某廠從一批熒光燈中抽出10個，測其壽命的數(shù)據(jù)(單位千時)如

12、下：95.5，18.1，13.1， 26.5， 31.7， 33.8， 8.7， 15.0，48.8，48.3求該批熒光燈壽命的經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x)(觀察值)。解：將數(shù)據(jù)由小到大排列得:8.7 , 13.1 , 15.0 , 18.1 , 26.5, 31.7 , 33.8 , 48.8 , 49.3 , 95.5 ,則經(jīng)驗分布函數(shù)為：0X8.70.18.7X13.10.213.1X15.00.315.0X18.10.418.1X26.5Fn(X)0.526.5X31.70.631 .7X33.80.733.8X48.80.848.8X49.30.949.3X95.51X95.5二、利用直方

13、圖求密度函數(shù)的近似解：設(shè)(X1,X2, ,Xn)為來自總體X的一個樣本，其樣本觀察值為 (X1,X2, ,Xn)，將該組數(shù)值X1,X2, ,Xn分成I組，可作分點：玄。®©,問(各組 距可以不相等)，則各組為：仏，3!,( a-a? , , ( ai 1, ai ,若樣本觀 察值中每個數(shù)值落在各組中的頻數(shù)分別為 m1 , m2, m3，mi，則頻率分 別為：匹,匹旦；以各組為底邊，以相應(yīng)組的頻率除以組距為高，n nn建立I個小矩形，即得總體X的直方圖。由上分析可知：直方圖中每一矩形的面積等于相應(yīng)組的頻率設(shè)總體X的密度函數(shù)為f（x），貝y：總體X （真實值）落在第k組（aki

14、 ,ak的概率為：akf (x) dx。ak 1由Bernoulli大數(shù)定理可知：當(dāng)n很大時，樣本觀察值（單個）落在該區(qū)間的頻率趨近于此概率；即：（aki，ak上矩形的面積接近于f（x）在此區(qū)間上曲邊梯形的面積，當(dāng) n無限增大時，分組組距越來越小，直方圖就 越接近總體X的密度函數(shù)f（x）的圖象。（這與定積分的意義具有同樣的道 理）。§ 6.3 樣本的數(shù)字特征由第三章節(jié)知：隨機(jī)變量的數(shù)字特征，能夠反映隨機(jī)事件的某些重要 的概率特征，從第一節(jié)可知，樣本也是一組隨機(jī)變量（隨機(jī)向量） ，為了詳 細(xì)刻劃樣本觀察值中所包含總體 X的信息及樣本值的分布情況，下面我們 研究樣本的數(shù)字特征。一、樣本均

15、值與樣本方差 （隨機(jī)變量）n定義1，設(shè)（Xi,X2, ,Xn）是來自總體X的一個樣本，稱X - Xi為 n i i樣本均值。1EQ2 22nX nX )nn2 I2 I22S(Xi X) (Xi 2XXi X )n 1 i 1n 1 i 1nX 2)為樣本方差。n1(Xi X)2為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。n 1 i i征。樣本均值與樣本方差分別刻劃了 樣本的位置特征及樣本的分散性特二、矩1.總體矩(數(shù)值)設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，則稱mk E(Xk)(假設(shè)它存在)為總體X的k階原點矩；稱k E(X E(X)k為總體X的k階中心矩。把總體的各階中心矩和原點矩統(tǒng)稱為總體矩表示 總體X的數(shù)字特征。特別地：m1 = E(X) ；2 D(x)是總體X的期望和方差。仿此，下面給出樣本矩的定義：2.樣本矩(r.v)定義2：設(shè)(X1,X2, ,Xn)是來自總體X的一個樣本，則稱nAk - Xik , k=1, 2, 3 ;為樣本的k階原點矩（隨機(jī)變量）n i -nBk - （Xi X）k, k=1, 2, 3；為樣本值的k階中心矩（隨機(jī)變量）。n i -特別地，A X，但b2與Sbk一 (X X)k ； k=1 , 2, 3卻不同