含參量正常積分

1、1 含參量正常積分 對(duì)多元函數(shù)其中的一個(gè)自變量進(jìn)行積分形成的函數(shù)稱(chēng)為含參量積分, 它可用來(lái)構(gòu)造新的非初等函數(shù). 含參量積分包含正常積分和非正常積分兩種形式. 一、含參量正常積分的定義 五、例題 四、含參量正常積分的可積性 三、含參量正常積分的可微性 二、含參量正常積分的連續(xù)性 一、含參量正常積分的定義( ,)f x y , ,Ra bc d設(shè)設(shè)是定義在矩形區(qū)域是定義在矩形區(qū)域上的上的 定義在定義在 ,c d上以上以 y 為自變量的一元函數(shù)為自變量的一元函數(shù). 倘若這時(shí)倘若這時(shí) ( ,)f x y ,c d在在上可積上可積, 則其積分值則其積分值 ( )( ,)d , , (1)dcI xf x

2、 yyxa b是定義在是定義在 , a b上的函數(shù)上的函數(shù).一般地一般地, 設(shè)設(shè) ( ,)f x y為定義在區(qū)域?yàn)槎x在區(qū)域二元函數(shù)二元函數(shù). .當(dāng)當(dāng) x取取 , a b上的定值時(shí)上的定值時(shí), ,函數(shù)函數(shù) 是是( , )f x y( ,)| ( )( ) ,Gx yc xyd xaxb上的二元函數(shù)上的二元函數(shù), 其中其中c (x), d (x)為定義在為定義在 , a b上的連上的連續(xù)函數(shù)續(xù)函數(shù)( (圖圖19-119-1),), 191 圖圖OyxbaG( )yc x ( )yd x , a b( ,)f x y若對(duì)于若對(duì)于上每一固定的上每一固定的 x 值值, 作為作為 y 的函的函 數(shù)在閉區(qū)

3、間數(shù)在閉區(qū)間 ( ),( ) c xd x 上可積上可積, 則其積分值則其積分值 ( )( )( )( ,)d , , (2)d xc xF xf x yyxa b是定義在是定義在 ,a b上的函數(shù)上的函數(shù).( )I x( )F x用積分形式用積分形式 (1) 和和 (2) 所定義的這函數(shù)所定義的這函數(shù) 與與通稱(chēng)為定義在通稱(chēng)為定義在 , a b上的含參量上的含參量 x 的的( (正常正常) )積分積分, , 或或簡(jiǎn)稱(chēng)為簡(jiǎn)稱(chēng)為含參量積分含參量積分. . 二、含參量正常積分的連續(xù)性( )I x 的的連連續(xù)續(xù)性性( ,)f x y定理定理19.1 () 若二元函數(shù)若二元函數(shù)在矩在矩 形區(qū)域形區(qū)域 ,

4、 ,Ra bc d 上連續(xù)上連續(xù), 則函數(shù)則函數(shù)( )( ,)ddcI xf x yy在在 a , b上連續(xù)上連續(xù).證證 設(shè)設(shè) 對(duì)充分小的對(duì)充分小的 , ,xa b, , xxxa b有有 ( (若若 x 為區(qū)間的端點(diǎn)為區(qū)間的端點(diǎn), , 則僅考慮則僅考慮 00 xx 或或) ), 于是于是 ()( ) (,)( ,)d ,(3)dcI xxI xf xx yf x yy由于由于 ( ,)f x y在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 R上連續(xù)上連續(xù), 從而一致連續(xù)從而一致連續(xù), 0 , 0 , 即對(duì)任意即對(duì)任意總存在總存在對(duì)對(duì)R內(nèi)任意兩點(diǎn)內(nèi)任意兩點(diǎn) 1122(,)(,)xyxy與與，只要只要1212|,|

5、,xxyy 就有就有 1122|(,)(,)|. (4)f xyf xy 所以由所以由(3), (4)可得可得, |,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)| ()( )|(,)( ,)|ddcI xxI xf xx yf x yyd().dcxdc即即 I (x) 在在 , a b 上連續(xù)上連續(xù).同理可證同理可證: : 若若( ,)f x y在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域 R上連續(xù)上連續(xù), ,則含參則含參 量量 y的積分的積分 ( )( ,)d (5)baJ yf x yx在在c ,d 上連續(xù)上連續(xù). .注注1 對(duì)于定理對(duì)于定理19.1的結(jié)論也可以寫(xiě)成如下的形式的結(jié)論也可以寫(xiě)成如下的形式: 若若( ,)f x y在矩形區(qū)域在矩

6、形區(qū)域 R 上連續(xù)上連續(xù), ,則對(duì)任何則對(duì)任何 0 , ,xa b都有都有 00lim( ,)dlim( ,)d .ddccxxxxf x yyf x yy這個(gè)結(jié)論表明這個(gè)結(jié)論表明, ,定義在矩形區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)定義在矩形區(qū)域上的連續(xù)函數(shù), ,其極其極限運(yùn)算與積分運(yùn)算的順序是可以交換的限運(yùn)算與積分運(yùn)算的順序是可以交換的. . , , , ,a bc dc d上上連連續(xù)續(xù)可可改改為為在在上上連連續(xù)續(xù) 其其中中 為任意區(qū)間為任意區(qū)間. . 注注2 由于連續(xù)性是局部性質(zhì)由于連續(xù)性是局部性質(zhì), , 定理定理19.1中條件中條件f 在在( )F x 的的連連續(xù)續(xù)性性( ,)f x y定理定理19.2 (

7、) 若二元函數(shù)若二元函數(shù)在區(qū)在區(qū) 域域( ,)| ( )( ) ,Gx yc xyd xaxb上連續(xù)上連續(xù), 其其 中中c(x), d(x)為為 , a b上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), 則函數(shù)則函數(shù) ( )( )( )( ,)d(6)d xc xF xf x yy在在 , a b上連續(xù)上連續(xù).證證 對(duì)積分對(duì)積分(6)用換元積分法用換元積分法, 令令 ( )( ( )( ) .yc xt d xc x當(dāng)當(dāng) y 在在c(x)與與d(x)之間取值時(shí)之間取值時(shí), t 在在 0, 1 上取值上取值, 且且 d( ( )( )d .yd xc xt所以從所以從(6)式可得式可得 ( )( )( )( ,)d

8、d xc xF xf x yy10( , ( )( ( )( )( ( )( )d .f x c xt d xc xd xc xt由于被積函數(shù)由于被積函數(shù) ( , ( )( ( )( )( ( )( )f x c xt d xc xd xc x在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域 , 0 ,1a b 上連續(xù)上連續(xù), , 由定理由定理19.1得積分得積分 (6)所確定的函數(shù)所確定的函數(shù) F(x) 在在a, b連續(xù)連續(xù). 三、含參量正常積分的可微性( )I x 的的可可微微性性( ,)f x y定理定理19.3 () 若函數(shù)若函數(shù) 與其偏導(dǎo)與其偏導(dǎo) ( ,)xfx y , ,Ra bc d數(shù)數(shù)都在矩形區(qū)域都在矩形

9、區(qū)域 上連續(xù)上連續(xù), , 則函數(shù)則函數(shù) ( )( ,)ddcI xf x yy在在 , a b上可微上可微, 且且d( ,)d( ,)d .dddxccf x yyfx yyx , a b , xxa b 證證 對(duì)于對(duì)于 內(nèi)任意一點(diǎn)內(nèi)任意一點(diǎn)x, 設(shè)設(shè)(若若 x為為 區(qū)間的端點(diǎn)區(qū)間的端點(diǎn), 則討論單側(cè)函數(shù)則討論單側(cè)函數(shù)), 則則 ()( )(,)( ,)d .dcI xxI xf xx yf x yyxx由微分學(xué)的拉格朗日中值定理及由微分學(xué)的拉格朗日中值定理及 ( ,)xfx y在有界閉在有界閉 域域 R上連續(xù)上連續(xù)( (從而一致連續(xù)從而一致連續(xù)),),對(duì)對(duì) 0 ,0, 只要只要 x 時(shí)時(shí)，

10、就有就有(,)( ,)( ,)xf xx yf x yfx yx (,)( ,),xxfxx yfx y (0,1). 其其中中因因此此( ,)ddxcIfx yyx (,)( ,)( ,) ddxcf xx yf x yfx yyx ().dc , ,xa b這就證明了對(duì)一切這就證明了對(duì)一切 有有 , , Ra bp q , a b上連續(xù)上連續(xù), c(x), d(x)為定義在為定義在上上 d( )( ,)d .ddxcI xfx yyx( )F x( ,),( ,)xf x yfx y定理定理19.4 (的可微性的可微性) 設(shè)設(shè)在在 其值含于其值含于 p, q內(nèi)的可微函數(shù)內(nèi)的可微函數(shù), 則函

11、數(shù)則函數(shù)( )( )( )(, )dd xc xF xf x yy在在 , a b上可微上可微, 且且( )( )( )( ,)d( ,( )( )d xxc xFxfx yyf x d x d x( , ( ) ( ) . (7)f x c x c x證證 把把 F(x) 看作復(fù)合函數(shù)看作復(fù)合函數(shù): ( )( , ,)( ,)d ,dcF xH x c df x yy( ),( ).cc xdd x由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及變動(dòng)上限積分的性質(zhì)由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及變動(dòng)上限積分的性質(zhì), 有有 ddd( )dddHHcHdF xxxcxdx( )( )( ,)d( ,( ) ( )( , ( ) ( )

12、 .d xxc xfx yyf x d x d xf x c x c x注注 由于可微性也是局部性質(zhì)由于可微性也是局部性質(zhì), 定理定理19.3 中條件中條件 f 與與 , , , ,xfa bc dc d 在在上上連連續(xù)續(xù)可可改改為為在在上上連連續(xù)續(xù)其中其中 為任意區(qū)間為任意區(qū)間. . 四、含參量正常積分的可積性由定理由定理19.1與定理與定理19.2推得推得:( )I x 的的可可積積性性( ,)f x y定理定理19.5 () 若若在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域 , ,Ra bc d , a b上連續(xù)上連續(xù), ,則則 I (x)與與 J (y)分別在分別在和和 ,c d上可積上可積. . 這就是說(shuō)這

13、就是說(shuō): 在在( ,)f x y連續(xù)性假設(shè)下連續(xù)性假設(shè)下, 同時(shí)存在兩個(gè)同時(shí)存在兩個(gè)求求積順序不同的積分積順序不同的積分: ( ,)ddbdacf x yyx ( ,)dd .dbcaf x yxy 與與 為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便起見(jiàn)為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便起見(jiàn), 今后將上述兩個(gè)積分寫(xiě)作今后將上述兩個(gè)積分寫(xiě)作d( ,)dbdacxf x yyd( ,)d .dbcayf x yx 與與 前者表示前者表示( ,)f x y先對(duì)先對(duì) y 求積然后對(duì)求積然后對(duì) x 求積求積, 后者則后者則表示求積順序相反表示求積順序相反. 它們統(tǒng)稱(chēng)為它們統(tǒng)稱(chēng)為累次積分累次積分.在在( ,)f x y連續(xù)性連續(xù)性假設(shè)下假設(shè)下,累次積分與求積順序

14、無(wú)關(guān)累次積分與求積順序無(wú)關(guān).( ,)f x y , ,Ra bc d定理定理19.6 若若在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域上上 連續(xù)連續(xù), 則則 d( ,)dd( ,)d . (8)bddbaccaxf x yyyf x yx1( )d( ,)d ,udacI uxf x yy2( )d( ,)d ,ducaIuyf x yx證證 記記 1d( )( )d( ).duaI uI xxI uu12 , ,( )( )ua bI uI u現(xiàn)現(xiàn)在在分分別別求求與與的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). .其中其中2( )( ,)d .dcIuH u yy2( ) ,( ,)( ,)d ,uaIuH u yf x yx令令對(duì)于對(duì)于 則有

15、則有( ,)H u y( ,)( ,)uHu yf u y因?yàn)橐驗(yàn)?與與都在都在R上連續(xù)上連續(xù), 由由 12( )( )().I uI ukk為為常常數(shù)數(shù)2d( )( ,)d( ,)dddduccIuH u yyHu yyu( ,)d( ) .dcf u yyI u定理定理19.3, 12( )( ) ,I uIu , ,ua b故得故得 因此對(duì)一切因此對(duì)一切 有有 12( )( ) , , .I uIuua b當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 12( )( )0 ,0,I aIak于于是是即得即得ua取取 就得到所要證明的就得到所要證明的(8)式式.ub122d( ).1aaxI axa,1aa以以及及解解 記

16、記由于由于 五、例 題 例例1 求求 1220dlim.1aaaxxa2211xa都是都是 a 和和 x 的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù), 由定理由定理19.2 已已知知1200dlim ( )(0).41axI aIxI (a) 在在 處連續(xù)處連續(xù), , 所以所以 0 a例例2 討論函數(shù)討論函數(shù)21ln(1)( )dxyI xyy 的連續(xù)性的連續(xù)性.( )I x( 1 2,).解解 易見(jiàn)易見(jiàn)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?令令ln(1)1( , ), ( , )(,) 1,2.2xyf x yx yy 0011(,), ,22xa baxb使得使得 ( , )f x y , 1, 2a b 在在( ) ,I x

17、a b在在上連續(xù)上連續(xù), 因此因此上連續(xù)上連續(xù), 從從 0 x0 x( )I x( 1 2,)而在而在上連續(xù)上連續(xù). 由由的任意性可得的任意性可得在在上連續(xù)上連續(xù). . 例例3 計(jì)算積分計(jì)算積分120ln(1)d .1xIxx解解 令令120ln(1)( )d ,0,1.1xIxx 上滿(mǎn)足定理上滿(mǎn)足定理19.3的條件的條件, 于是于是 120( )d .(1)(1)xIxxx 因?yàn)橐驗(yàn)?0)0, (1),III0,1 0,1R顯然顯然 且函數(shù)且函數(shù) 在在( )I 2221,(1)(1)111xxxxxx1112220001( )ddd1111xIxxxxxx 1112200011arctanl

18、n(1)ln(1)12xxx 所以所以211ln2ln(1) .142 1120011( )ln2ln(1) d142Id 112001ln(1)ln2arctan(1)82I ln2ln2(1)88I因而因而 ln2(1).4I 10( )d(1)(0)(1) ,IIII另一方面另一方面 (1)ln2 .8II 所以所以 分分小時(shí)小時(shí), 函函數(shù)數(shù)101( )()( )d(1)!xnxxtf ttn (9) 的各階導(dǎo)數(shù)存在，且的各階導(dǎo)數(shù)存在，且 ( )( )( ).nxf x 例例4 設(shè)設(shè) 在在 的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù), 驗(yàn)證當(dāng)驗(yàn)證當(dāng)|x|充充0 x )(xf解解 由于由于(9)中被積函數(shù)中被積函數(shù) 1(, )()( )nF x txtf t以以及及其其偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) (, )xFx t在原點(diǎn)的某個(gè)方鄰域內(nèi)連續(xù)在原點(diǎn)的某個(gè)方鄰域內(nèi)連續(xù), 于于 是由定理是由定理 19.4 可得可得 201( )(1)()( )d(1)!xnxnxtf ttn 11()( )(1)!nxxf xn201(1)()( )d .(2)!xnnxtf ttn301( )(1)()( )d ,(3)!xnxnxtf ttn ( )101( )(1)()( )