常用基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式積分公式

1、(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)，(13)(14)(15)(16)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)，都可導(dǎo)，則( 1)( 2 ) (是常數(shù))( 3)( 4)反函數(shù)求導(dǎo)法則若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)、單調(diào)且，則它的反函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且或復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)，而且及都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為或. 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù).雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)都是初等函數(shù)，它們的導(dǎo)數(shù)都可以用前面的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則求出=dx 2 x c x可以推出下表列出的公式:x a* * * * * xdx c,In a特別，exdx ex c(6)(10)(11)或(14)(1

2、5)(16)sin xdxcosx ccosxdx sin x c12dx sin xcsc2 x dxcot x c12dx cos x2,sec xdxtan x1 dx22a xx arcsin 一ac (a0),特別,1 dx arcsin x c1 x2-arctan 一c (a0),特別,17 dx arctan x c1 x2-2-dx a x-lln 2ac (a0)1 .1 . x a / 小7dx In c (a 0) x (a 0)22 ,x 22x a dx ：；x a 2 a22a x atan xdx In cosx ccot xdx In sin x ccscxd

3、x，dx sin xInInInsecxdx1 dx cosxIncscxx tan 一2secxcotxtan xxtan 2 41_, x2 a2dx(a 0)In(18)2a .In x2,(a 0) o2v y 2 2a _ x x _22_.a x dx arcsin . a x c2 a 2eax sin bxdx(19)axe cosbxdxasinbx bcosbx2.2a bbsin bx acosbxax e cax e cn切1、2：22、n1n 1。(遞推公式)2(n 1)a (a x )2(n 1)a跟我做練習(xí)（一般情形下，都是先做恒等變換或用某一個積分法，最后套用某

4、一個積分公式例24含根式Jax2 bxc的積分 &4x 5 dxJ(x 2)2 1d(x 2)套用公式?J(x 2)2 1 ln (x 2) J(x 2) x x2 4x 5dx1 (2x 4) 4 x2 4x 5dx21 . x2 4x 5d(x224x5) 2x2 4x 5dx（請你寫出答案）1dxx2 4x 5,(x 2)2d(x 2) ln (x 2) . (x 2)2 1 1套用公式/ x dxx2 4x 5(2x_4)_4 dxx2 4x 5d(x2 4x 5),x2 4x 52 ,2一5 dx（請你寫出答案）5 4x x2dx32 (x 2)2d(x2) WarcsinU

5、23x22,32 (x 2)2(6)x 5 4x x2dx套用公式(4 2x) 4 5 4x x2dx 21 . 5 4x x2 d(5 4x x2) 25 4x x2 dx2 （請你寫出答案）dx dx5 4x x2d(x 2)32 (x 2)2套用公式arcsin_23xdx5 4x x21"2(4 2x) 4 dx 1d(5 4x x2) ? dx. 5 4x x225 4x x2. 5 4x x2（請你寫出答案）例25求原函數(shù)11 x4dx.解因為4一 24- 22 21 x4 (1 2x2 x4) 2x2 (1 x2)2(、.2x)2 (1 2xx2)(1 < 2xx

6、2)所以令11 x4Ax Bx22x 1Cx Dx22x 1（A,B,C,D為待定常數(shù)）(AxB)(x22x 1) (Cx D)(x22x 1)x2. 2x 1 x2 , 2x 1從恒等式(Ax B)(x22x 1) (Cx D)(x2V2x 1） 1 （兩端分子相等），可得方程組A .2B,2A BB D 1 （常數(shù)項）C V2D 0 （一次項系數(shù)）V2C D 0 （二次項系數(shù)）A C 0 （三次項系數(shù)）.-1111解這個方程組（在草紙上做），得A -=,B 1,C-=,D -.因此,2.222.2211_1_J二 dx2422 dx :近 1_ 2x2 dx 1(2x.2)2dx 1(2x

7、2)dx1 x22x 14/2 x2, 2x14.2x22x 14 dx1 x4x22x 1x22x 1x2 9x 1”1d(x22x 1) 14.2x22x 1412 2x 22 dx（套用積分公式12右端的第一個積分為1 C1ln(x2 2x 1) arctan(. 2x 1)4 22.2類似地，右端的第二個積分為1 22x ；、2x2dx 1=ln(x2. 2x 1) =arctan( 2x 1)4,22,2所以11x2 - 2x 11-1一zdx=ln _=arctan(、2x 1) =arctan( 2x1 x44,2x22x 1 2.22.21)1 . x2.2x 11. 2x尸I

8、n 丁= -尸arctan2 (見下注)4,2 x2. 2x 1 2.21 x2【注】根據(jù)tan( ) -tantan一，則1 tan tantan arctan(，、2x 1) arctan( 2x 1)(.2x 1)晨 2x 1)2、2x、2x1 ( .2x 1)(、2x 1) 2(1 x2) 1 x2因此，例26 求arctand 2x1)arctan(. 2x1) arctan,2xdx rx(01).關(guān)于dx(0 cosx1),見例17tan 4(半角替換)，則2cosxX - 22 smX - 22 x 222cos2 1 1 12sec2 -1 tan2-1 t21 t2dx d

9、(2arctan t)t2dtdx1 cosx于是,dt2dt(1 )-(1 1t2121 xc arctantan- c12,122【點評】求初等函數(shù)的原函數(shù)的方法雖然也有一定的規(guī)律，但不像求它們的微分或?qū)?shù)那樣規(guī)范化.這是因為從根本上說，函數(shù) y y(x)的導(dǎo)數(shù)或微分可以用一個“構(gòu)造性”的公式y(tǒng)(x h) y(x)y (x) lim -d- 或 dy y (x)dxh 0 h確定下來，可是在原函數(shù)的定義中并沒有給出求原函數(shù)的方法.積分法作為微分法的逆運算,其運算結(jié)果有可能越出被積函數(shù)所屬的函數(shù)類.譬如，有理函數(shù)的原函數(shù)可能不再是有理函數(shù)，初等函數(shù)的原函數(shù)可能是非初等函數(shù)(這就像正數(shù)的差有可能是負數(shù)、整數(shù)的商有可能是分數(shù)一樣).有的初等函數(shù)盡管很簡單，可是它的原函數(shù)不能表示成初等函數(shù)，譬如sin x 箋dx等 xxe x2dx,1 .e .dx, dx,In xx都不能表示成初等函數(shù).因此，一般說來求初等函數(shù)的原函數(shù)要比求它們的微分或?qū)?shù)困難.盡管如.因此,得多.我們用上面那些方法能夠求出原函數(shù)的函數(shù)，只是初等函數(shù)中的很小一部分 此，我們畢竟