2013年高考新課標全國(I卷)文科數(shù)學試題及答案

1、2013 年普通高等學校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學文史類（全國卷 I 新課標）第I卷一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 已知集合A= 1,2,3,4 ,B= x|x=n2,nA,貝 UACB =（)A. 1,41 2i2=(-i彳1 - -1 i2從 1,2,3,41B 2,3中任取)C. 9,16D 1,2-1 + i22 個不同的數(shù),13（，文 4）已知雙曲線C.2xaC.則取岀的12 個數(shù)之差的絕對值為1D .62 的概率是（）.2y =1_b2=11xy =3（a 0,b 0）的離心率為仝，則C的漸近線方程為21xC .

2、 y =2p： ?x取,2xv3x；命題q: ?x取,x3B.pAqC.pA2（，文 6）設首項為 1，公比為一的等比數(shù)列3A . Sn = 2an 1B . Sn = 3an 2（，文 7）執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的1xA . y=4(，文 5)已知命題A.pAA. 3,4C. 4,3B . 5,2D . 2,5D . y = x1 x2，則下列命題中為真命題的是D.pAqan的前n項和為Sn，則（C . Sn = 4 3antq1,3，則輸出的s屬于（).Sn = 3 2an).8 .（，文 8）O為坐標原點，則APOF的面積為（ ）.B .2運F為拋物線C: y24、2x的焦點，P為

3、C上一點,115=3f1嚴1若|PF|=4.2，C .23n的圖像大致為（，文 10）已知銳角厶ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c= 6，貝 Ub=（）.10B . 9C . 89.(，文 9)函數(shù)f(x)=(1cosx)sinx在n，10.().c,23cos2A+ cos 2A= 0,a= 7，A .11 .(A .，文 11）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（16+8n).8+8n16+16n12 .( ，文 12）已知函數(shù)f（x）=-x22x, x豈0,若|f(x)|冷X,則a的取值范圍是().ln (x 1),x0.(，02,1B.(a，1D.2,04 小題，每

4、小題 5 分.13 .（，文 13）已知兩個單位向量a，b的夾角為 60 ,c=ta+ （1t）b.若b c= 0，則t=二、填空題：本大題共nx3,14 .(，文 14)設x,y滿足約束條件1 Ex y蘭0,15 .（，文 15）已知H是球0的直徑AB上一點，AH HB= 1 2 ,AB丄平面aH為垂足，o截球O所得截面的面積為n,則球O的表面積為_.16 .（，文 16）設當x= 時，函數(shù)f（x）= sinx 2cosx取得最大值，則 cose=_.三、解答題：解答應寫岀文字說明，證明過程或演算步驟.17 .（，文 17）（本小題滿分 12 分）已知等差數(shù)列an的前n項和Sn滿足S3=0，

5、S5= 5.（1）求an的通項公式；則z= 2xy的最大值為(2)求數(shù)列 -a2na2n 118.（，文 18）（本小題滿分 12 分）為了比較兩種治療失眠癥的藥（分別稱為 A 藥，B 藥）的療效，隨機地選取 20 位患者服用 A 藥，20 位患者服用 B 藥，這 40 位患者在服用一段時間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r間（單位：h）.試驗的觀測結果如下：服用 A 藥的 20 位患者日平均增加的睡眠時間：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用 B 藥的 20 位患者日平均增加的睡眠時間：3.21.71.90.

6、80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（1） 分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計算結果看，哪種藥的療效更好？（2） 根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？19 .（，文 19）（本小題滿分 12 分）如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，ZBAA1= 60.（1）證明：AB1A1C;tC_Ci若AB=CB= 2，A1C= 、6，求三棱柱ABCA1B1C1的體積.1/ -20 .(，文 20)(本小題滿分 12 分)已知函數(shù)f(x) = ex(ax+b) x2- 4x，曲線y=f(x)在點(0 ,f

7、(0)處的切線方程為y=4x+ 4. (1) 求a，b的值；討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值.21 .(，文 21)(本小題滿分 12 分)已知圓M： (x+ 1)2+y2= 1,圓N: (x 1)2+y2= 9 ,動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切, 圓心P的軌跡為曲線C.(1) 求C的方程；(2)1是與圓P，圓M都相切的一條直線，丨與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|.請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題做答注意：只能做所選定的題目如果多做，則按所做的第一個題目計分，做答時請用 2B 鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.22 （，文 22）（本小題

8、滿分 10 分）選修 4 1 :幾何證明選講如圖，直線AB為圓的切線，切點為B，點C在圓上，/ABC的角平分線BE交圓于點E,DB垂直BE交圓于點D.x = 4 + 5cost,23 （，文 23）（本小題滿分 10 分）選修 44 :坐標系與參數(shù)方程已知曲線Ci的參數(shù)方程為（t為參數(shù)） ，y = 5 + 5s int以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為p= 2sin0.（1）把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程；求C1與C2交點的極坐標（p%,0 0 2n） 24 .(，文 24)(本小題滿分 10 分)選修 45 :不等式選講已知函數(shù)f(x) = |2x 1|

9、 + |2x+a|,g(x)=x+ 3. 當a= 2 時，求不等式f(x) 1,且當xe,時，f(x)豈(x)，求a的取值范圍.IL 2 22013 年普通高等學校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學文史類(全國卷 I 新課標)第I卷一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1 .答案：A解析：TB =X|X= n2,n A= 1,4,9,16,:A CB= 1,4.2.答案：B丄1+2i1+2if1+2ij2+i,1.解析：2=-1+ i.(1 i )-2i2223.答案：B解析：由題意知總事件數(shù)為為1.34.答案：C222b21b 1c=a+

10、b，飛.a24a 2b雙曲線的漸近線方程為y二一x,a1漸近線方程為yX.故選C.25.答案：B解析：由 20= 30知，p為假命題.令h(x)=x3 1 +X2,h(0)= 1v0,h(1)=10,X3 1 +X2=0 在(0,1)內(nèi)有解.?XR ,X3= 1 X2，即命題q為真命題.由此可知只有pAq為真命題.故選 B.6.答案： D.2解析：n1anSn/.q /Tq吁=3 - 2an,故選 D.1-q1-q37.答案：A解析： 當一 1 t0，排除 A.I 2當 x(0,n時，f(x)= sin2x+ cosx(1 cosx)= 2cos2x+ cosx+ 1.2令f(x)=0，得xn

11、32故極值點為xn n，可排除 D，故選 C.310 .答案：D1解析：由 23cos2A+ cos 2A= 0，得 cos2A=251/cosA =.536+b24913cosA=，二b= 5 或b(舍)2漢6b5故選 D.11 .答案：A解析：該幾何體為一個半圓柱與一個長方體組成的一個組合體.,12V半圓柱=n22X4=8n，2V長方體=4 X2X2 = 16.所以所求體積為 16 + 8n.故選 A.12 .答案：D解析：可畫出|f(x)|的圖象如圖所示.當a0 時，y=ax與y= |f(x)|恒有公共點，所以排除 B，C；當a切時，若x 0,則|f(x)|淘x恒成立.若xO，則以y=a

12、x與y= | x2+ 2x|相切為界限，y = ax,由2得x2 (a+ 2)x=0.y=x -2x,= (a+ 2)2= 0，.a= 2.a q 2,0 故選 D.第H卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第 13 題第 21 題為必考題，每個試題考生都必須做答.第22 題第 24 題為選考題,b = ta+ (1 -t)bb= 0,即ta b+ (1 -t)b2=0.1t+1 1=0.2 = 2.14 答案：3解析：畫出可行域如圖所示.畫出直線 2x-y= 0，并平移，當直線經(jīng)過點A(3,3)時，z取最大值，且最大 值為z= 2X3 3 = 3.915 .答案：一n2解析：如圖，設球O的半徑為R

13、，2R貝 UAH=-，3ROH=.3又-ZxEH2=n,/EH=1.2+ 12，二R2=9.82y，因此可看出A藥的療效更好.(2)由觀測結果可繪制如下莖葉圖：從以上莖葉圖可以看出， A 藥療效的試驗結果有 的葉集中在莖 2,3 上，而 B 藥療效的試驗結果有 的葉集中在莖 0,110 10上，由此可看出 A 藥的療效更好.19 .(1) 證明：取AB的中點O,連結OC,OA1,A1B.因為CA=CB，所以OC1AB.由于AB=AA1，ZBAA1= 60 ，故AA1B為等邊三角形，所以OA11AB.因為OCHOA1=O,所以AB丄平面OA1C.又A1C?平面OA1C，故AB1A1C.(2) 解

14、：由題設知ABC與AA1B都是邊長為 2 的等邊三角形，所以OC=OA1=、3.又A1C= 6，則A1C2=OC2+OA2，故OA19C.因為OCDAB=O,所以OA1丄平面ABC，OA1為三棱柱ABC-A1B1C1的高.又ABC的面積SSBC=、3，故三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=SSBCX)A1= 3.20 .解：(1)f(x) = eX(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0) = 4,f(0) = 4.故b=4,a+b= 8.從而a= 4 ,b=4.由(1)知，f(x) = 4ex(x+ 1)-x2-4x,0；當xq- 2, In 2)時，f(x) 0.故f(x)在(g,2),

15、 ( In 2，+旳上單調(diào)遞增，在(2, In 2)上單調(diào)遞減. 當x= 2 時，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f( 2) =4(1 e2).21 .解：由已知得圓M的圓心為M( 1,0)，半徑ri= 1 ；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r2= 3.設圓P的圓心為P(x,y)，半徑為R.(1)因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切， 所以 |PM| + |PN| = (R+r1)+ (r2R)=r1+r2=4.由橢圓的定義可知，曲線C是以M,N為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為,3的橢圓(左頂點除外)，其方程為2 2xy=1(x工一 2).43對于曲線C上任意一點P(x,y),由于|PM| |

16、PN|= 2R 22,所以R電，當且僅當圓P的圓心為(2,0)時，R= 2.所以當圓P的半徑最長時，其方程為(x 2)2+y2= 4.若I的傾斜角為 90 ，則I與y軸重合，可得|AB| =2、3.從而/ABE=/BCE=/CBE= 30 所以CF1BF,x =4 +5cost,解：將消去參數(shù)t，化為普通方程(x 4)2+ (y 5 尸=25 ,y = 5 +5si n t即C1：x2+y2 8x 10y+ 16 = 0.x= Pcos日，將*.代入x2+y2 8x 10y+ 16 = 0 得p2 8 pcos 0 10pin0+ 16 = 0.y =sin v所以C1的極坐標方程為p2 8 pcos010 psin0+ 16= 0.C2的普通方程為x2+y2 2y= 0.廠22x +y _8x_10y+16 = 0,由22x y -2y二0解得xj或x=0,故 Rt 玉CF外接圓的半徑等于y=1ly=224 .解：(1)當a= 2