等價無窮小替換_極限的計算

1、無窮小 極限的簡單計算【教學(xué)目的】1、理解無窮小與無窮大的概念；2、掌握無窮小的性質(zhì)與比較 會用等價無窮小求極限；3、不同類型的未定式的不同解法?！窘虒W(xué)內(nèi)容】1、無窮小與無窮大；2、無窮小的比較；3、 幾個常用的等價無窮小等價無窮小替換；4、求極限的方法?！局攸c難點】重點是掌握無窮小的性質(zhì)與比較用等價無窮小求極限。難點是未定式的極限的求法?！窘虒W(xué)設(shè)計】 首先介紹無窮小和無窮大的概念和性質(zhì)（30分鐘），在理解無窮小與無窮大的概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生重點掌握用等價無窮小求極限的方法（20分鐘）。最后歸納總結(jié)求極限的常用方法和技巧（25分鐘），課堂練習(xí)（15分鐘）?！臼谡n內(nèi)容】一、無窮小與無窮大1

2、.定義前面我們研究了 n數(shù)列xn的極限、x（ x、x）函數(shù)f x的極限、x X。（ x xo、x xo ）函數(shù)f （x）的極限這七種趨近方式。下面我們用 x*表示上述七種的某一種趨近方式，即* nxxxxx0 x x0xx0定義：當(dāng)在給定的x*下，f （x）以零為極限，則稱f （x）是x *下的無窮小，即xm*fx0。例如，lim sinx 0, 函數(shù)sin x是當(dāng)x0時的無窮小.limn(1)n0,1函數(shù)-是當(dāng)x時的無窮小數(shù)列口是當(dāng)n時的無窮小.n【注意】不能把無窮小與很小的數(shù)混淆; 不是無窮小。零是可以作為無窮小的唯一的數(shù),任何非零常量都定義：當(dāng)在給定的x*下,x無限增大，則稱f X是x*

3、下的無窮大，即lim f x 。顯然，nx *時,n、n2、n3、都是無窮大量,無窮大是極限不存在的情形之一。無窮小與無窮大【注意】不能把無窮大與很大的數(shù)混淆；是相對的，在不同的極限形式下，同一個函數(shù)可能是無窮小也可能是無窮大，如lim exxlim ex 0,xf x為無窮大,所以ex當(dāng)x時為無窮小，當(dāng)x時為無窮大。2無窮小與無窮大的關(guān)系：在自變量的同一變化過程中，如果1 1則丄為無窮??；反之，如果 f x為無窮小，且f X 0，則為無窮大。f xf x小結(jié)：無窮大量、無窮小量的概念是反映變量的變化趨勢，因此任何常量都不是無窮大量， 任何非零常量都不是無窮小，談及無窮大量、無窮小量之時，首先

4、應(yīng)給出自變量的變化趨勢。3.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系：定理1 limf(x)=A? f (x) A+ (x),其中(x)是自變量在同一變化過程X? xxx Xo (或x )中的無窮小.證：(必要性)設(shè) lim f (x) = A,令(x)二 f (x)- A,則有 lim (x) = 0,x? xox? xox? x0x? x0f(x) A (x).(充分性)設(shè)f(x) = A +(x),其中(x)是當(dāng)x? X。時的無窮小，則lim f (x) = lim( A+X xx x(x) Alim (x)x x0A【意義】(1 )將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);(2)給出了函數(shù)f(x)在x

5、o附近的近似表達式f(x)?A,誤差為(x).3.無窮小的運算性質(zhì)定理2在同一過程中，有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小【注意】無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小11例如,n時,丄是無窮小，但n個 -之和為1不是無窮小.nn定理3有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小如：lim ( 1)nn 1 c1c1-0， lim xsin0， lim sinx 0nx 0 xx x推論在同一過程中，有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小推論常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小推論有限個無窮小的乘積也是無窮小二、無窮小的比較1例如，當(dāng)x? 0時,x,x2,sinx,x2sin 都是無窮小，觀察各極限:x2lim 0, x2比3x要

6、快得多x 03xlim sinx 1, sinx與x大致相同;X 0 x2 1x sinx 1lim 2 lim sin 不存在.不可比.x 0 xx 0 x極限不同，反映了趨向于零的“快慢”程度不同1.定義：設(shè)，是自變量在同一變化過程中的兩個無窮小，且1 0.(1)如果lim=0,就說 是比 高階的無窮小，記作 =o();如果lim C(C 0),就說與是同階的無窮小；特殊地如果lim = 1,則稱與是等價的無窮小，記作如果lim 飛=C(C ? 0,k0),就說 是 的k階的無窮小.證明：當(dāng)x0時,4xtan3x為x的四階無窮小.4xtan3 xtanx 3 弘吃證:0時,4xta n3x

7、為x的四階無窮小.xm0x4 4lxm0(=)4,故當(dāng) x當(dāng)x 0時，求tanx sinx關(guān)于x的階數(shù).tanx sinx limx 0x3tan x 1 cosx、00(7x2tan xsin x為x的三階無窮小.2.常用等價無窮?。寒?dāng)x 0時，(1)sin x x ；(2) arcsinx x ；(3)tanx x ；(4)arctanx x ；(5) ln(1 x)x ；(6)xe 1-x(7)2彳x1 cosx (8) (1 x) 1 x(9)xa - 17 In a* xlim 1, lim0,即o(),于是有o().1例女口 sin x x o(x), cosx 1 x2o(x2)

8、.3.等價無窮小替換定理：設(shè)且lim 一存在，則lim lim .2用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式證：lim lim( ) lim lim lim 一 lim .(1)求limx (2tan 2x.；01 cosx(2)lim 1x 0 cosx 1(1)(2x)2TT = 8 x22cosx 2x , tan2x2x. 故原極限=呢(2)原極限=002x2x求limx錯解:正解:故原極限二tanx sinxsin3 2x0時,tan x x,0時,sin 2x 2x,lim 3 x?°(2x)16sin x x.原式 limx 0tan x sin x1 3tan x(1 co

9、sx) x3,2只有因子乘積形式才可以進行等價無窮【注意】和、差形式一般不能進行等價無窮小替換, 小替換。求 tan5x cosx 1x 0sin3x解： tanx 5x o(x), sin 3x3x o(x), 1 cosx原式=limx? 01 225x+ o(x) + x + o(x )23x+ o(x)叫IKo-3一 x2 o(x2).2o(x2)x 53.三、極限的簡單計算1.代入法：直接將xX。的X。代入所求極限的函數(shù)中去，若f xo存在，即為其極542x5 3x4 2x 限，例如lim仝產(chǎn) 2x x 1 3x3 2x 42;若f x0不存在，我們也能知道屬于哪種未定式,9便于我們

10、選擇不同的方法。例如,limx 3 x9-就代不進去了，但我們看出了這是一個3未定式，我們可以用以下的方法來求解。2.分解因式，消去零因子法例如,2lim x 3 x 3lim x 3x 33.分子（分母）有理化法limx 2x253.x2.2x 1、5 2x22x2xx 2 x 2 limx 22x2又如，lim 、x21xlimx4. 化無窮大為無窮小法例如,lim 3x2 + x- 7 = limx2x2 - x + 4 x3+ -x1 +x7x4x實際上就是分子分母同時除以2x這個無窮大量。由此不難得出limxma°xb°xnm 1a1xn 1am bnaobo &

11、#39;0,2n再如,limn2n5n3n5nlimn1，（分子分母同除5n）。5. 利用無窮小量性質(zhì)、等價無窮小量替換求極限例如,0 ,(無窮小量乘以有界量)xarcta nx 1lim 2x 3x x 1又如,4x 1x2 2x 3解：lim(x2 2x 3) 0,商的法則不能用x 1又 lim (4x 1)3 0,x 1x2 2x 3 limx 1 4x 10-0.3由無窮小與無窮大的關(guān)系4x 1 x2 2x再如，等價無窮小量替換求極限的例子見本節(jié)例3例5。6. 利用兩個重要極限求極限(例題參見§ 1.4例3 例5)7. 分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)求極限1 xx 0例如，設(shè) f(x)

12、2',求 lim f (x).x2 1, x 0x 0解：x 0是函數(shù)的分段點，兩個單側(cè)極限為lim f(x) lim (1 x) 1, lim f(x) lim (x2 1)1,x 0x 0x 0x 0左右極限存在且相等，故lim f(x) 1.x 0【啟發(fā)與討論】1 1思考題1:當(dāng)x ? 0時,y -sin-是無界變量嗎？是無窮大嗎?解: (1)取 x0(k 0,1,2,3,)x x12k -2y(x°) 2k取x。,當(dāng)k充分大時，y(x°) M .無界,21(k 0,1,2,3,)2k當(dāng)k充分大時，Xk,但y(xQ 2k sin2k 0 M .不是無窮大.結(jié)論

13、：無窮大是一種特殊的無界變量，但是無界變量未必是無窮大 .思考題 2:若 f(x) 0,且 Jim f (x) A，問：能否保證有A0的結(jié)論？試舉例說明.1解：不能保證.例f(x)X 0,X思考題3:任何兩個無窮小量都可以比較嗎？1 時 f(X)-解：不能例如當(dāng)X【課堂練習(xí)】f(x)0 limxf(x) lim - A 0.X xx，g(x)sin x +都是無窮小量xlim sinx不存在且不為無窮大，故當(dāng)x時f (x)和g (x)不能比較.求下列函數(shù)的極限Xe cosx (1) limx 0 xx解：原極限=lim e COSxx 0x.e 1 lim0lim -x 0COSX3sin x

14、 x2 cos(2)求 limx 0 (1 cosx)ln(1 x)【分析】型，拆項。解:原極限= xm03si nx x'cos1x2x=0。3 sin x2x2x cosx2x(3) limX5,425x 4x 3x2x5 4x 1【分析】“抓大頭法”，用于一型解:5原極限=lim X 24：二=2，或原極限=!im予'x x(4) lim( X2 x x)；X【分析】分子有理化解：原極限=limx,x2-=limx x(5)匹(2x-2xx 2)【分析】型,是不定型,四則運算法則無法應(yīng)用,需先通分，后計算。解：02（2x-2x)= lim4x2 x 一2小x x 2 廣 x 2 Tim 2 x24 x 22X（6） limx ° x29 3【分析】“0 ”型，是不定型，四則運算法則失效，使用分母有理化消零因子。0解：原極限=limx 0.x2x2=6_2 nlim (-2n n弓)lim 1 2 2一-n nnlimnlim -(1 -) n 2 n1(7)求 lim(-yn n解：n時,是無窮小之和.先變形再求極限【內(nèi)容小結(jié)】一、無窮小（大）的概念無窮小與無窮大是相對于過程而言的 .1、主要內(nèi)容：兩個定義；四個定理；三個推論.2、幾點注意（1）無窮小（大）是變量，不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無