Matlab自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)的計(jì)算和作圖

1、自相關(guān)函數(shù)（Autocorrelation function ,縮寫ACF）是、中常用的數(shù)學(xué)工具，反映了同一序列在不同時(shí)刻的取值之間的相關(guān)程度。自相關(guān)函數(shù)在不同的領(lǐng)域，定義不完全等效。在某些領(lǐng)域，自相關(guān)函數(shù)等同于（autocovariance） 。信號處理在信息分析中，通常將自相關(guān)函數(shù)稱之為自協(xié)方差方程。用來描述信息在不同時(shí)間。的，信息函數(shù)值的相關(guān)性。= +/（士一?。┮睯 -ooJ -ooI，其中“*”是算符，（,了為取自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)以下以一維自相關(guān)函數(shù)為例說明其性質(zhì)，多維的情況可方便地從一維情況推廣得到。? 對稱性：從定義顯然可以看出 R（i） = R（-i）。連續(xù)型自相關(guān)函數(shù)為當(dāng)f為時(shí)

2、，有：R/D =%（?。┊?dāng)f是時(shí)，該自相關(guān)函數(shù)是，滿足：% ?。?用其中星號表示。? 連續(xù)型實(shí)自相關(guān)函數(shù)的峰值在取得，即對于任何延時(shí)T ,均有西| 孫0）。該結(jié)論可直接有得到。離散型自相關(guān)函數(shù)亦有此點(diǎn)工? 的自相關(guān)函數(shù)是具有與原函數(shù)相同周期的函數(shù)。? 兩個(gè)相互無關(guān)的函數(shù)（即對于所有P,兩函數(shù)的均為 0）之和的自相關(guān)函數(shù)等于各自自相關(guān)函數(shù)之和。?由于自相關(guān)函數(shù)是一種特殊的互相關(guān)函數(shù)，所以它具有后者的所有性質(zhì)。? 連續(xù)時(shí)間信號的自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)，在除 T = 0之外的所有點(diǎn)均為0。?()表明，自相關(guān)函數(shù)和函數(shù)是一對對：瑁丁)=廣J gPdr.J DC? 實(shí)值、對稱的自相關(guān)函數(shù)具有實(shí)對稱的變換函數(shù)，

3、因此此時(shí)中的復(fù)指數(shù)項(xiàng)可以 寫成如下的余弦形式：R(t) = /5(/1 cos/t) dfJ-oo /coK(丁) cos(27t/t) dr. 8的自相關(guān)函數(shù)為S函數(shù)：rnn = E7z(t)n(f - 7) = 6(丁)自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)的問題在時(shí)間序列分析的研究中，首先是判別時(shí)間序列的穩(wěn)定性，如果時(shí)間序列是平穩(wěn)的就可以計(jì)算這些數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)。如果自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，偏相關(guān)函數(shù)是截尾的，那麼數(shù)據(jù)符合AR (P)模型。如果自相關(guān)函數(shù)是截尾的，偏相關(guān)函數(shù)是拖尾的，那麼數(shù)據(jù)復(fù)合MA( Q )模型如果自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，那麼數(shù)據(jù)復(fù)合ARMA( P,Q )模型。自相關(guān)

4、函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)的matlab計(jì)算和作圖1. 首先說說自相關(guān)和互相關(guān)的概念。這個(gè)是信號分析里的概念，他們分別表示的是兩個(gè)時(shí)間序列之間和同一個(gè)時(shí) 問序列在任意兩個(gè)不同時(shí)刻的取值之間的相關(guān)程度，即互相關(guān)函數(shù)是描述隨機(jī)信號x(t),y在任意兩個(gè)不同時(shí)刻t1, t2的取值之間的相關(guān)程度，自相關(guān)函數(shù)是描 述隨機(jī)信號x(t)在任意兩個(gè)不同時(shí)刻t1 , t2的取值之間的相關(guān)程度?；ハ嚓P(guān)函數(shù) 給出了在頻域內(nèi)兩個(gè)信號是否相關(guān)的一個(gè)判斷指標(biāo)，把兩測點(diǎn)之間信號的互譜與 各自的自譜聯(lián)系了起來。 它能用來確定輸出信號有多大程度來自輸入信號， 對修正測量中接入噪聲源而產(chǎn)生的誤差非常有效.事實(shí)上，在圖象處理中，自相關(guān)和互相

5、關(guān)函數(shù)的定義如下：設(shè)原函數(shù)是f(t) ， 則自相關(guān)函數(shù)定義為 R(u)=f(t)*f(-t) ， 其中 * 表示卷積； 設(shè)兩個(gè)函數(shù)分別是f(t)和 g(t) ， 則互相關(guān)函數(shù)定義為 R(u)=f(t)*g(-t) ， 它反映的是兩個(gè)函數(shù)在不同的相對位置上互相匹配的程度。那么，如何在matlab 中實(shí)現(xiàn)這兩個(gè)相關(guān)并用圖像顯示出來呢？dt=.1;t=0:dt:100;x=cos(t);a,b=xcorr(x,'unbiased');plot(b*dt,a)上面代碼是求自相關(guān)函數(shù)并作圖， 對于互相關(guān)函數(shù)， 稍微修改一下就可以了， 即 把a(bǔ),b=xcorr(x,'unbiase

6、d');改為a,b=xcorr(x,y,'unbiased');便可。2. 實(shí)現(xiàn)過程：在 Matalb 中，求解 xcorr 的過程事實(shí)上是利用 Fourier 變換中的卷積定理進(jìn)行的，即R(u)=ifft(fft(f) xfft(g),其中x表示乘法，注：此公式僅表示形式計(jì)算， 并非實(shí)際計(jì)算所用的公式。 當(dāng)然也可以直接采用卷積進(jìn)行計(jì)算， 但是結(jié)果會與 xcorr 的不同。事實(shí)上，兩者既然有定理保證，那么結(jié)果一定是相同的，只是沒有用對公式而已。下面是檢驗(yàn)兩者結(jié)果相同的代碼：dt=.1;t=0:dt:100;x=3*sin(t);y=cos(3*t);subplot(3,

7、1,1);plot(t,x);subplot(3,1,2);plot(t,y);a,b=xcorr(x,y);subplot(3,1,3);plot(b*dt,a);yy=cos(3*fliplr(t); % or use: yy=fliplr(y);z=conv(x,yy);pause;subplot(3,1,3);plot(b*dt,z,'r');即在 xcorr 中不使用 scaling。3. 其他相關(guān)問題：1) 相關(guān)程度與相關(guān)函數(shù)的取值有什么聯(lián)系？相關(guān)系數(shù)只是一個(gè)比率，不是等單位量度，無什么單位名稱，也不是相關(guān)的百分?jǐn)?shù)， 一般取小數(shù)點(diǎn)后兩位來表示。 相關(guān)系數(shù)的正負(fù)號只表示相關(guān)的方向，絕對值表示相關(guān)的程度。 因?yàn)椴皇堑葐挝坏亩攘浚?因而不能說相關(guān)系數(shù)0.7是 0.35兩倍， 只能說相關(guān)系數(shù)為 0.7 的二列變量相關(guān)程度比相關(guān)系數(shù)為 0.35 的二列變量相關(guān)程度更為密切和更高。也不能說相關(guān)系數(shù)從0.70 到 0.80與相關(guān)系數(shù)從0.30到 0.40 增加的程度一樣大。對于相關(guān)系數(shù)的大小所表示的意義目前在統(tǒng)計(jì)學(xué)界尚不一致，但通常按