Chapter43Gauss積分

1、3 Gauss積分積分/*Gauss Integration*/一、引言一、引言二、二、Gauss型求積公式型求積公式三、求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用三、求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用求積公式求積公式當(dāng)求積系數(shù)當(dāng)求積系數(shù)Ak(k=1,2,n)、求積節(jié)點、求積節(jié)點xk(k=1,2,n) 都可以自由選取時都可以自由選取時,其代數(shù)精確度最高可以達到多其代數(shù)精確度最高可以達到多少次少次? 當(dāng)求積系數(shù)當(dāng)求積系數(shù)Ak(k=1,2,n)和求積節(jié)點和求積節(jié)點xk(k=1,2,n)都可以自由選取時都可以自由選取時,n點的求積公式點的求積公式(1)的代數(shù)精確度最高可以達到的代數(shù)精確度最高可以達到2n-1次次.),()()()()(

2、1fRxfAdxxfxfInkkkba(1)一、引言一、引言引理引理1假設(shè)求積公式假設(shè)求積公式(1)具有具有m次代數(shù)精確度次代數(shù)精確度,即對任意即對任意的的m次代數(shù)多項式次代數(shù)多項式mmiiimPxaxp0)(求積公式求積公式(1)精確成立精確成立.111001( )(.)mnbimmikmkmkkaikax x dxA a xaxa xa即即(2)證明證明于是于是mkkmkbamxpAdxxpx1)()()(記記midxxxibai, 2 , 1 , 0,)(111 100.mmmmaaaa由于系數(shù)由于系數(shù) 的任意性的任意性110,.,mmaaa a則則(2)式成為式成為10111.nnnm

3、mkkkkkkkkaA xaA xaA(3)故使故使(3)式成為恒等式的充要條件是式成為恒等式的充要條件是(4)mmnnmmnnnxAxAxAxAxAxAAAA221112211021(4)式的待定系數(shù)有式的待定系數(shù)有2n個個,所以確定待定系數(shù)的所以確定待定系數(shù)的獨立條件至多給出獨立條件至多給出2n個個,從而可知從而可知m至多為至多為2n-1 n點的求積公式點的求積公式(1)具有具有2n-1次代數(shù)精確度次代數(shù)精確度(或或稱為具有最高的代數(shù)精確度稱為具有最高的代數(shù)精確度)時時,稱為稱為Gauss型求積型求積公式公式. 定義定義1 Gauss型求積公式的求積節(jié)點型求積公式的求積節(jié)點 , 稱為稱為G

4、auss點點,它們可以通過求區(qū)間它們可以通過求區(qū)間a,b上帶權(quán)上帶權(quán) (x)的的n次正交多次正交多項式項式gn(x)的的n個根獲得個根獲得.所以先介紹正交多項式及所以先介紹正交多項式及其性質(zhì)其性質(zhì).然后討論然后討論Gauss型求積公式的構(gòu)造型求積公式的構(gòu)造,等等等等.nkkx1二、二、Gauss型求積公式型求積公式n點的求積公式若具有最高的代數(shù)精確度點的求積公式若具有最高的代數(shù)精確度,或具有或具有2n-1次的代數(shù)精確度成為次的代數(shù)精確度成為Gauss型求積公式型求積公式.求積節(jié)點求積節(jié)點 和求積系數(shù)和求積系數(shù) 如何選取如何選取,才能才能使之成為使之成為Gauss型求積公式型求積公式?nkkx1

5、nkkA1定理定理1 求積公式求積公式(1)中的中的n個求積節(jié)點個求積節(jié)點 ,取在區(qū)取在區(qū)間間a,b上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù) (x)的的n次正交多項式次正交多項式 gn(x)的的n個根成為個根成為Gauss型求積公式型求積公式.nkkx1a,b上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù) (x)的的n次正交多項式次正交多項式gn(x)的的n個個根記為根記為 nkkx1在兩邊同乘在兩邊同乘 (x),并從并從a到到b積分積分. 由正交多項式的由正交多項式的性質(zhì)可知性質(zhì)可知,含含 項的積分為零項的積分為零.*( ) ( )ngx q x,首項系數(shù)為首項系數(shù)為dn ,由定義有由定義有證明證明,)(12baPxfn設(shè)設(shè)nnnkkn

6、dxgxxxg)()()(1*1( ), ( ) , nq x r xPa b因此因此,)()()()(*xrxgxqxfn所以所以babadxxrxdxxfx)()()()(至少具有至少具有n-1次代數(shù)精確度次代數(shù)精確度,()()(1,2,., )kkf xr xkn又可知又可知( )( )nnIfIr即即注意到當(dāng)注意到當(dāng) 作為插值節(jié)點時建立的作為插值節(jié)點時建立的n點插值點插值求積公式求積公式nkkx1nkkknxfAfI1)()(1( ) , nr xPa b而而所以所以)()()(1rIxrArInnkkk21( ) , nf xPa b綜合可知當(dāng)綜合可知當(dāng)時時,求積公式求積公式成立成立

7、.nkkkbaxrAdxxfx1)()()(證明略證明略.之值近似積分值之值近似積分值, In(f) 有下面的誤差估計有下面的誤差估計用用n點點Gauss求積公式求積公式nkkknxfAfI1)()(定理定理22( ) , nf xCa b則則Gauss型求積公式型求積公式(1)的誤差的誤差估計估計R( ,f)為為其中其中banndxxgxnffR2*)2()()()!2()(),(nkknxxxg1*)()(在稍后討論在稍后討論Gauss積分值數(shù)列的收斂性等問題時積分值數(shù)列的收斂性等問題時,需要用到需要用到Gauss型求積公式的求積系數(shù)大于零的型求積公式的求積系數(shù)大于零的結(jié)論結(jié)論. 這里用下

8、面的定理給出這里用下面的定理給出.,定理定理3 Gauss型求積公式的求積系數(shù)型求積公式的求積系數(shù) 大于零大于零nkkA1證明證明21()( )nkkkxxf xxx這里這里 為區(qū)間為區(qū)間a,b上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù) (x)的的n次正交多項式次正交多項式gn(x)的的n個根個根nkkx1顯然顯然kjxxkjxfnkiiikj, 1)(0)(1( )( ) ( )( )()nbnjjajI fx f x dx IfA f x21,()nkkiii kAxx，由于由于 ,所以對所以對f(x)求積公式求積公式(1)精確成精確成立立, 即即22( )nf xP21,()0,( ) ( )0nbkiaii

9、 kxxx f x dx因為因為0,1,2,3,.,kAkn所以所以存在存在 ,使得使得( ) , mmpxP a bGauss型求積公式的收斂性型求積公式的收斂性 若若f(x) Ca,b,則則Gauss型求積公式所求積分值型求積公式所求積分值序列序列In(f)收斂于積分值收斂于積分值I(f).因為因為f(x) a,b, 由由Weierstrass定理對任意的定理對任意的 10,定理定理4即即bankkkndxxfxxfAlim)()()(1證明證明1( )( )mf xpx對任意的對任意的x a,b成立成立.()()0mnmI pIp由于公式由于公式(1)為為Gauss型求積公式時具有型求積

10、公式時具有2n-1次代次代數(shù)精確度數(shù)精確度,取取 N(m+1)/2()()nmmIpI p故當(dāng)故當(dāng) nN時時,即即m2N-12n-1時時, 有有成立成立.( )( )( )()()()nmmnmI fIfI fI pI pIp()( )nmnIpIf于是于是( )()( ) ( )( )bmmaI fI pxf xpx dx11nkkA1()()kmkf xpx1()( )()()nnmnkmkkkIpIfA pxf x11nkkA0,1,2,.,kAkn因為因為記記1( )nbkakCx dxA故故11111( )( )02nnnkkkkI fIfAAClim( )( ).nnIfI f即即

11、三、三、Gauss型求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用型求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用定理實際上給出了構(gòu)造定理實際上給出了構(gòu)造Gauss型求積公式的一種型求積公式的一種方法方法.先求出區(qū)間先求出區(qū)間a,b上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù) (x)的的n次正交多項式次正交多項式然后求出多項式的然后求出多項式的n個根個根,從而獲得了求積節(jié)點。從而獲得了求積節(jié)點。 最后代入下式求求積系數(shù)。最后代入下式求求積系數(shù)。mmnnmmnnnxAxAxAxAxAxAAAA221112211021Gauss-Lagendre求積公式的積分區(qū)間為求積公式的積分區(qū)間為-1,1,權(quán)權(quán)函數(shù)函數(shù) (x)=1. Gauss-Legendre求積公式的積分區(qū)間為求

12、積公式的積分區(qū)間為0,+ ),權(quán)權(quán)函數(shù)函數(shù)Gauss-Hermitte求積公式的積分區(qū)間為求積公式的積分區(qū)間為(- ,+ ),權(quán)函數(shù)權(quán)函數(shù)( )xxe2( )xxe表表4-5為為Gauss-Legendre求積公式的求積系數(shù)和求積公式的求積系數(shù)和求積節(jié)點求積節(jié)點注意：注意：需要指出的是需要指出的是,不同求積公式的求積系數(shù)與求積不同求積公式的求積系數(shù)與求積節(jié)點節(jié)點,積分區(qū)間和權(quán)函數(shù)是不同的積分區(qū)間和權(quán)函數(shù)是不同的.(1)例如例如,n點的點的Gauss-Chebyshev求積公式求積公式,它的它的n個個求積系數(shù)求積系數(shù):而而n個求積節(jié)點則為個求積節(jié)點則為:12nAAAn21cos,1,2,. .2

13、kkxknn.正是因為正是因為Gauss-Chebyshev求積公式的求積系數(shù)求積公式的求積系數(shù)相同相同,所以在實際計算時所以在實際計算時,乘法的次數(shù)只需一次乘法的次數(shù)只需一次,節(jié)節(jié)省了省了n-1次的乘法運算次的乘法運算.Gauss-Chebyshev求積公式的積分區(qū)間為求積公式的積分區(qū)間為-1,1,權(quán)函數(shù)權(quán)函數(shù)211)(xx(2) Gauss-Chebyshev求積公式的求積系數(shù)是相同的求積公式的求積系數(shù)是相同的.問題是構(gòu)造區(qū)間問題是構(gòu)造區(qū)間0,1上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù) 的兩的兩點點Gauss型求積公式型求積公式.( ) xx容易計算出當(dāng)容易計算出當(dāng) 時時23( )1, ,f xx xx111

14、220( )()()(,)x f x dxA f xA f xRx f求求A1, A2, x1, x2使求積公式使求積公式具有三次代數(shù)精確度具有三次代數(shù)精確度.方法方法110( )x f x dx2 2 2 2,3 5 7 9的積分值分別為的積分值分別為1212,A A x x,所求所求公式具有公式具有3次代數(shù)精確度次代數(shù)精確度.故可得故可得為未知數(shù)的方程組為為未知數(shù)的方程組為例例1解解*2122()()0gxgx又因為又因為x1,x2為為Gauss型求積公式的求積節(jié)點型求積公式的求積節(jié)點所以它們是區(qū)間所以它們是區(qū)間0,1上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù) 且且( )xx*2( )gx首項系數(shù)為首項系數(shù)為1

15、的二次正交多項式的二次正交多項式的兩個根的兩個根.*22( )gxxpxq不妨記不妨記,為此為此12,x x又因為又因為必須滿足必須滿足(2),(3),(4)121 122221 122331 1222/32/52/72/9AAAxA xAxA xAxA x(1)(2)(3)(4)*121222*1 1212222(1)(2)(3)()()0(2)(3)(4)()()0qpAgxA gxqpAx gxA x gx所以由所以由222357222579qpqp 可得關(guān)于可得關(guān)于p,q的方程組為的方程組為109521pq 解此方程組得解此方程組得120.2899491980.821161912xx1

16、20.2775559970.389110669AA*22( )gxxpxq將所求將所求p,q代入代入,求得其根為求得其根為12,x x再將所求再將所求代入方程代入方程(1)(2),聯(lián)立解得聯(lián)立解得10( )0.277555997 (0.289949198)x f x dxf0.389110669 (0.821161912)(,)fRx f為此為此,公式公式為所求具有為所求具有3次代數(shù)精確度的求積公式次代數(shù)精確度的求積公式.( )xx*2( )gx求出區(qū)間求出區(qū)間0,1上帶權(quán)函數(shù)上帶權(quán)函數(shù)的二次正交多項式的二次正交多項式12,x x,并求出其根并求出其根,獲獲得求積節(jié)點得求積節(jié)點.*012( )

17、,( ),( )gx gx gx21, ,x x由于由于和和都是都是線性無關(guān)組線性無關(guān)組,11/220( , )( ) ( ),( ,)f gx f x g x dxff f記記方法方法212,A A再求方程組獲得求積系數(shù)再求方程組獲得求積系數(shù)20,1P求得所需的求得所需的正交多項式正交多項式.這種方法可以稱作將它們正交化這種方法可以稱作將它們正交化.所以考慮由所以考慮由*1000000( ),)( ,),)( ,)( ,)0gx exx e e ex ex e*00002( )1,(,)2/3,2/3gxggg令令*00*02( )3.2( )gxegx所以所以*100( )( ,),gxx

18、x e e又令又令這樣這樣*1( )gx0e0( )gx即如此作出的即如此作出的與與正交正交,也與也與正交正交.100323( ,)252x ex xdx 由于由于*11238( ),( )5175gxxgx所以所以*22221100( )(,)(,) .gxxx e ex e e2117516(,)8315x e2032(,),27x e*11*12( )1753175858( )gxexgx這樣這樣,同理可令同理可令*2( )gx10,e e并且容易驗證并且容易驗證,與與正交正交.*22105( )921gxxx所以所以容易求得容易求得這里需要附帶說明的是這里需要附帶說明的是,Gauss-Legendre,Gauss-Chebyshev求積公式作數(shù)值求積精度求積公式作數(shù)值求積精度不夠時不夠時,可以采取將積分區(qū)間可以采取將積分區(qū)間a,b若干等分后若干等分后,將每一個子區(qū)間映射到區(qū)間將每一個子區(qū)間映射到區(qū)間-1,1上再用相同節(jié)上再用相同節(jié)點數(shù)的求積公