概率論第一章復習習題課

1、第一章：習題課第一章：習題課1 1 闡述了隨機試驗的特征以及隨機事件之間的關(guān)闡述了隨機試驗的特征以及隨機事件之間的關(guān) 系及運算。系及運算。2 2 給出了隨機事件的頻率及概率的含義和基本性給出了隨機事件的頻率及概率的含義和基本性 質(zhì)。質(zhì)。 3 3 給出了古典概率的定義及其計算公式。給出了古典概率的定義及其計算公式。4 4 給出了條件概率的定義及乘法公式、全概率給出了條件概率的定義及乘法公式、全概率 公式和貝葉斯公式。公式和貝葉斯公式。5 5 給出了隨機事件獨立性的概念，會利用事件給出了隨機事件獨立性的概念，會利用事件 獨立性進行概率計算。獨立性進行概率計算。第一章 小 結(jié)返回主目錄1 1 闡述了

2、隨機試驗的特征以及隨機事件之間的關(guān)闡述了隨機試驗的特征以及隨機事件之間的關(guān) 系及運算。要求：理解系及運算。要求：理解第一章 習題課返回主目錄10 包含關(guān)系包含關(guān)系 20 和事件和事件 30 積事件積事件 40 差事件差事件50 互不相容互不相容60 對立（互逆）事件對立（互逆）事件 BA BAABBA BA BASBABA 且且返回主目錄“A發(fā)生必然導致發(fā)生必然導致B發(fā)生發(fā)生” “A，B中至少有一中至少有一發(fā)生發(fā)生” “A與與B同時發(fā)生同時發(fā)生” “A發(fā)生但發(fā)生但B不發(fā)生不發(fā)生 ”“A與與B不能不能同時發(fā)生同時發(fā)生” ABBA 或或記記 事件間的關(guān)系與運算舉例；事件間的關(guān)系與運算舉例；返回主目

3、錄“A，B，C中至少有一中至少有一發(fā)生發(fā)生” ：CBA“A，B，C中至少有兩中至少有兩發(fā)生發(fā)生” ：ACBCAB“A，B，C中最多有一中最多有一發(fā)生發(fā)生” ：CBACBACBACBA ACBCAB BABABABA , De Morgan De Morgan定律定律: :隨機事件的運算規(guī)律隨機事件的運算規(guī)律第一章 習題課2 2 給出了隨機事件的頻率及概率的含義和基本性給出了隨機事件的頻率及概率的含義和基本性 質(zhì)。要求熟練掌握概率的基本性質(zhì)：質(zhì)。要求熟練掌握概率的基本性質(zhì)：返回主目錄;)(010AP （非負性）（非負性）;1)(20 SP（正則性或正規(guī)性）（正則性或正規(guī)性）則則是是兩兩兩兩互互不

4、不相相容容事事件件若若,3201AA.)()()(2121 APAPAAP（可列可加性）（可列可加性）（1） 概率的（公理化）定義概率的（公理化）定義第一章 習題課返回主目錄則則是是兩兩兩兩互互不不相相容容事事件件若若性性質(zhì)質(zhì),221AAAn)()()()(2121APAPAPAAAPnn （有限可加性）（有限可加性）)()()()()(3APBPAPBPABPBA 性質(zhì)性質(zhì)（包含可減性）（包含可減性）（非降性）（非降性）;1)(4 AP性性質(zhì)質(zhì);)(1)(5APAP 性性質(zhì)質(zhì)（逆事件的概率公式）。性性質(zhì)質(zhì))()()()(6ABPBPAPBAP （2） 概率的性質(zhì)與推廣概率的性質(zhì)與推廣;0)(

5、1 P性性質(zhì)質(zhì)（加法公式）第一章 習題課返回主目錄)()()()()()()()() 1ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP （加法公式）)()()()()2ABPBPABPABP 重重 要要 推推 廣廣常用公式常用公式)(1)()(CBAPCBAPCBAP 第一章 習題課特點是：特點是： 樣本空間的元素只有有限個；樣本空間的元素只有有限個； (有限性有限性) 每個基本事件發(fā)生的可能性相同。（等可能性）每個基本事件發(fā)生的可能性相同。（等可能性） 3 等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型） 等可能概型返回主目錄.)(中中基基本本事事件件總總數(shù)數(shù)包包含含的的基基本本事事件件數(shù)數(shù)即即

6、：SAAP 隨機事件的概率隨機事件的概率:第一章 習題課二、縮小樣本空間法二、縮小樣本空間法-適用于古典概型適用于古典概型返回主目錄一、公式法一、公式法)0)( AP)()()(APABPABP 設事件A所含樣本點數(shù)為樣本點數(shù)為 ,事件AB所含樣本樣本點數(shù)為點數(shù)為 ,則則AABnnABP )(AnABn4 4 給出了條件概率的定義及乘法公式、全概率給出了條件概率的定義及乘法公式、全概率 公式和貝葉斯公式。要求掌握：公式和貝葉斯公式。要求掌握：（1）條件概率的定義、計算公式：）條件概率的定義、計算公式：第一章 習題課返回主目錄（2） 乘法公式乘法公式 ABPAPABP 01 1212131212

7、102 nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP )0(121 nAAAP)0)( AP（3 3）全概率公式）全概率公式 11nnnnnBAPBPABPAP（已知原因，求結(jié)果）（已知原因，求結(jié)果）第一章 習題課返回主目錄 , 2 , 1,1)()|()()|()()()|(njjBPjBAPnBPnBAPAPnABPAnBP（4 4）BayesBayes（逆概）公式：（逆概）公式：（已知結(jié)果，求原因）已知結(jié)果，求原因）第一章 習題課（1） 兩事件獨立的定義兩事件獨立的定義 若隨機事件若隨機事件 A 與與 B 相互獨立，則相互獨立，則 BPAPABP （2）兩事件獨立性的性質(zhì)：）兩事件獨立性的

8、性質(zhì)：事件事件A 與與 B 相互獨立的充分必要條件為：相互獨立的充分必要條件為： , )0( AP BPABP 返回主目錄5 5 給出了隨機事件獨立性的概念，會利用事件給出了隨機事件獨立性的概念，會利用事件 獨立性進行概率計算。獨立性進行概率計算。01BABABA與與、與與、與與也相互獨立也相互獨立.02第一章 習題課返回主目錄注意注意1：兩事件：兩事件相互獨立與互不相容的區(qū)別：相互獨立與互不相容的區(qū)別： “A與與B互不相容互不相容”，指兩事件不能同時發(fā)生，指兩事件不能同時發(fā)生，即即 P（AB）=0。 “A與與B相互獨立相互獨立”，指，指A是否發(fā)生不影響是否發(fā)生不影響B(tài)發(fā)生的概率，即發(fā)生的概率

9、，即P（AB）=P（A）P（B）或）或)0)()()( APBPABP必然事件必然事件S與任意隨機事件與任意隨機事件A相互獨立；相互獨立； 不可能事件不可能事件與任意隨機事件與任意隨機事件A相互獨立相互獨立03第一章 習題課注意注意2 2：設事件設事件 A 與與 B 滿足：滿足： 0 BPAP即：若事件即：若事件 A 與與 B 相互獨立，則相互獨立，則 AB；若若 AB =，則則事件事件 A 與與 B 不相互獨立。不相互獨立。返回主目錄則互不相容與相互獨立不能同時成立則互不相容與相互獨立不能同時成立。（3）三個事件的獨立性）三個事件的獨立性 CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBP

10、APABP第一章 習題課2 、三個事件的獨立性、三個事件的獨立性設設A、B、C是三個隨機事件，如果是三個隨機事件，如果 CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABP則稱則稱A、B、C是相互獨立的隨機事件是相互獨立的隨機事件第一章 習題課注意注意3 3：在三個事件獨立性的定義中，四個等式是缺一不在三個事件獨立性的定義中，四個等式是缺一不可的即：前三個等式的成立不能推出第四等可的即：前三個等式的成立不能推出第四等式的成立；反之，最后一個等式的成立也推不出式的成立；反之，最后一個等式的成立也推不出前三個等式的成立前三個等式的成立注意注意54 三個事件相互獨立的性質(zhì)：三個事件相互獨立

11、的性質(zhì)： 若若A，B，C是相互獨立的三個事件，則是相互獨立的三個事件，則相互獨立相互獨立與與與與與與與與與與,CBACBACBABCACBACBABCACBA 第一章 習題課（4 4）n n個事件的相互獨立性個事件的相互獨立性等式成立：等式成立：個隨機事件，如果下列個隨機事件，如果下列為為，設設nAAAn21 nnmiiiiiikjikjijijiAPAPAPAAAPniiiAPAPAPAAAPnkjiAPAPAPAAAPnjiAPAPAAPnm2121211)(112121個個隨隨機機事事件件相相互互獨獨立立這這，則則稱稱nnAAA21第一章 習題課n重Bernoulli 試驗中恰好成功k次

12、的概率 而對于每一種指定好的方法，由前面的討論可知樣本點因此，的概率都為knkqppqqpCBPknkknkn1，nk，2105 n重貝努里概型n,21，取個，其余取個在此樣本點中，有AknAkii例例1 已知已知 A、B、C 是三個是三個兩兩獨立的兩兩獨立的事件，且事件，且則則, )()()(CPBPAP ,169)( CBAP, ABC解解)()()()()()()(ABCPBCPACABPCPBPAP 2)( 3)(3APAP ?)( AP)(169CBAP 第一章 習題課例例2,169)()( CBAPAP.41)( AP,2 . 0)( ABP又又,1)()( BAPBAP故故,41

13、)(43)( APorAP解之得解之得已知已知 A、B是是兩兩事件，且事件，且,4 . 0)( AP則則?)( BAP第一章 習題課,1)()( BAPBAP解解,)()()()(BPBAPBPABP )()()(1)(BAPBPBPABP 知知故故)()()(BPAPABP 由由, )()(1)(BAPBAPBAP 從而從而（A、B獨立）獨立）, 5 . 0)()()( APABPBP)()()()(ABPBPAPBAP 7 . 0 第一章 習題課 )(BAP)()()(ABPBPAP . cba 則則)()()(ABPAPBAP )(ABP)()()(BAPBPAP . bccbaa 例例

14、3已知已知,)(,)(,)(cBAPbBPaAP ?)( BAP解解第一章 習題課則則,91)( BAP例例4已知已知?)( AP. )()(BAPBAP A、B獨立，獨立，)32(答：答：第一章 習題課例例 5 5 在 12000 的整數(shù)中隨機的取一個數(shù)，問取到的整數(shù)既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的概率是多少？解：解：設 A 為事件“取到的整數(shù)能被 6 整除”， B 為“取到的整數(shù)能被 8 整除”，則所求的概率為：,33462000333由于).()()()(),(1)()(ABPBPAPBAPBAPBAPBAP其中為：6，12，181998 共 333 個，所以能被 6 整除的整數(shù)

15、第一章 概率論的基本概念等可能概型AB 為“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除”.200083)(,2000250)(:ABPBP同理得.43200050012000832503331)()()(1ABPBPAPp于是所求的概率為：其中 B =8, 16, 2000 , AB = 24, 48 1992 ，,)(2000333AP第一章 概率論的基本概念等可能概型例 5袋中有10個黑球，5個白球現(xiàn)擲一枚均勻的骰子，擲出幾點就從袋中取出幾個球若已知取出的球全是白球，求擲出3點的概率解： 設：B= 取出的球全是白球 621，點擲出iiAi則由Bayes公式，得61333iiiABP

16、APABPAPBAP第一章 概率論的基本概念3條件概率例5（續(xù)）06161615115531535iiiCCCC04835. 0第一章 概率論的基本概念3條件概率 有兩箱同種類的零件。第一箱裝有兩箱同種類的零件。第一箱裝50只，其中只，其中10只一等品；只一等品；第二箱裝第二箱裝30只，其中只，其中18只一等品。只一等品。今從今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。求：兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。求： （1）第一次取到的零件是一等品的概率；）第一次取到的零件是一等品的概率； （2）第一次取到的零件是一等品的條件下）第一

17、次取到的零件是一等品的條件下 ，第二次取到的也是一等品的概率；第二次取到的也是一等品的概率； （3）已知第一次取到的零件是一等品，）已知第一次取到的零件是一等品，求它求它是第一箱是第一箱的的零件的零件的概率；概率；例3?)(1 AP?)(12 AAP全概率公式和貝葉斯公式全概率公式和貝葉斯公式?)(11ABP第一章 習題課 解解 ： 設設 Ai 表示表示“第第i次取到一等品次取到一等品”(i=1,2)，Bi ( i= 1,2)表示表示“取到的是第取到的是第 i箱箱中的產(chǎn)品中的產(chǎn)品”,全概率公式和貝葉斯公式全概率公式和貝葉斯公式例3（續(xù)）1）由全概率公式，有）由全概率公式，有,)()()()()

18、(2121111BAPBPBAPBPAP 5010(21)3018;52 第一章 習題課)()()|(12112APAAPAAP 例3（續(xù)）)()()()()(2221112121BPBAAPBPBAAPAAP 250210(21PP)230218PP)2951499(101 4856. 0)2951499(41 )()()()|(111111APBPBAPABP 414 . 01 . 0 2）由全概率公式和條件概率公式，有）由全概率公式和條件概率公式，有3）由）由貝葉斯公式貝葉斯公式，有，有第一章 習題課例 4三門火炮向同一目標射擊，設三門火炮擊中目標三門火炮向同一目標射擊，設三門火炮擊中目

19、標的概率分別為的概率分別為0.3，0.6，0.8若有一門火炮擊中若有一門火炮擊中目標，目標被摧毀的概率為目標，目標被摧毀的概率為0.2；若兩門火炮擊中；若兩門火炮擊中目標，目標被摧毀的概率為目標，目標被摧毀的概率為0.6；若三門火炮擊中；若三門火炮擊中目標，目標被摧毀的概率為目標，目標被摧毀的概率為0.9試求目標被摧毀試求目標被摧毀的概率的概率解：設：解：設：B = 目標被摧毀目標被摧毀 321，門門火火炮炮擊擊中中目目標標有有 iiAi 321，門火炮擊中目標門火炮擊中目標第第 iiCi第一章 概率論的基本概念1-6 獨立性由全概率公式，得由全概率公式，得 niiiABPAPBP1而而 32

20、13213211CCCPCCCPCCCPAP 321321321CPCPCPCPCPCPCPCPCP 8 . 04 . 07 . 02 . 06 . 07 . 02 . 04 . 03 . 0 332. 0 第一章 概率論的基本概念1-6 獨立性 3213213212CCCPCCCPCCCPAP 321321321CPCPCPCPCPCPCPCPCP 8 . 06 . 07 . 08 . 04 . 03 . 02 . 06 . 03 . 0 468. 0 3213CCCPAP 321CPCPCP 8 . 06 . 03 . 0 144. 0 所以所以 9 . 0144. 06 . 0468.

21、02 . 0332. 0 BP4768. 0 第一章 概率論的基本概念1-6 獨立性例例5（配對問題配對問題） 某人寫了某人寫了n封不同的信，欲寄往封不同的信，欲寄往n個不同的地個不同的地址?，F(xiàn)將這址。現(xiàn)將這n封信隨機的插入封信隨機的插入n只具有不同通信地只具有不同通信地址的信封里，求至少有一封信插對信封的概率。址的信封里，求至少有一封信插對信封的概率。-加法公式的應用問題加法公式的應用問題解解設：設： =“第第 封信插對信封封信插對信封”i), 2 , 1(ni B=“至少有一封信插對信封至少有一封信插對信封”則則nAAAB21 nnnkjikjinjijiniinAAAPAAAPAAPAP

22、AAAPBP211111211)()( 第一章 習題課iA例例5(續(xù)）續(xù)） )(iAP!n )(jiAAP)!1( n), 2 , 1(ni n1 !n)!2( n1)(1 niiAP)1(nji ! 21!)!2()!2( ! 2!)!2()(21 nnnnnnCAAPnnjiji!)!()(21nknAAAPkiii )1(1niik 第一章 習題課例例5(續(xù)）續(xù)）!1)1(! 41! 31! 211)(1nBPn !1!)!()(21211knknCAAAPknniiiiiikk ), 2 , 1(nk 第一章 習題課例例6（可列可加性的應用問題）（可列可加性的應用問題） 設有甲、乙兩名

23、射手輪流獨立地向同一目標射設有甲、乙兩名射手輪流獨立地向同一目標射擊，甲的命中率為擊，甲的命中率為 ，乙的命中率為，乙的命中率為 ，甲先，甲先射，誰先命中誰得勝。試分別求甲獲勝的概率和乙射，誰先命中誰得勝。試分別求甲獲勝的概率和乙獲勝的概率。獲勝的概率。1p2p第一章 習題課設設 =“輪流射擊輪流射擊,第第 次次射中，前射中，前 次未中次未中”iBi1 i則則 表示表示“甲在甲在第第 次次才才射中射中”), 2 , 1(12 kBk12 k解：解：且且兩兩互不相容。兩兩互不相容。,531BBB設設 =“甲獲勝甲獲勝”，則，則B 531BBBB設設 =“第第 次次射中射中”，則，則iAi,321

24、AAA且且1222112 kkkAAAAB相互獨立，相互獨立，例例6（續(xù)）（續(xù)）第一章 習題課)()()()()(1222112 kkkAPAPAPAPBP121)1()1(pppkk )()(120 kkBPBP1210)1()1(pppkkk )1)(1(1211ppp 例例 7設在N件產(chǎn)品中有M件次品，每次從中任意取出一件，有放回地取n次試求取出的n件產(chǎn)品中恰有k件次品的概率解： B= 取出的n件產(chǎn)品中恰有k件次品 每取一次只有兩種結(jié)果：，取出次品A因此每取一次產(chǎn)品可看作是一次Bernoulli試驗 ，取出正品A n重貝努里概型例 7（續(xù)）并且， ，NMAP NMAP1因此，有放回地取

25、n 件產(chǎn)品可看作是一個 n 重Bernoulli試驗由前面的討論，可知 knkknNMNMCBP1 n重貝努里概型例 8某病的自然痊愈率為 0.25，某醫(yī)生為檢驗某種新藥是否有效，他事先制定了一個決策規(guī)則：把這藥給 10 個病人服用，如果這 10 病人中至少有4 個人痊愈，則認為新藥有效；反之，則認為新藥無效求： 新藥有效，并且把痊愈率提高到 0.35，但通過試驗卻被否定的概率新藥完全無效，但通過試驗卻被判為有效的概率 n重貝努里概型例 8（續(xù)） 給10個病人服藥可看作是一10重Bernoulli試驗某病人痊愈令： A 35. 0AP 若新藥有效，則此時若否定新藥，只有在試驗中不到4人痊愈因此30101065. 035. 0iiiiCP 否定新藥5138.