北師大版初中數(shù)學九年級上冊知識講解鞏固練習題正方形(基礎(chǔ))

1、北師大版初中數(shù)學九年級上冊知識講解鞏固練習題正方形(基礎(chǔ))3 / 12正方形(基礎(chǔ))【學習目標】1 .理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關(guān)系；2 .掌握正方形的性質(zhì)及判定方法.【要點梳理】要點一、正方形的定義四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形要點詮釋：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形， 更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個角是直角的菱形.要點二、正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)1 .邊一一四邊相等、鄰邊垂直、對邊平行；2 .四個角都是直角；3 .邊角線一一相等，

2、互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；4 .是軸對稱圖形，有 4條對稱軸；又是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心要點詮釋：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對角線將正方形分為四個等腰直角三角形.要點三、正方形的判定正方形的判定除定義外， 判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形， 再證明它有一個角是 直角或?qū)蔷€相等(即矩形)；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互 相垂直(即菱形).要點四、特殊平行四邊形之間的關(guān)系要點五、順次連接特殊的平行四邊形各邊中點得到的四邊形的形狀(1)順次連接平行四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形(2)順次連接矩形各邊中點得到的四邊形是

3、菱形(3)順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形(4)順次連接正方形各邊中點得到的四邊形是正方形.要點詮釋：新四邊形由原四邊形各邊中點順次連接而成 .(1)若原四邊形的對角線互相垂直，則新四邊形是矩形(2)若原四邊形的對角線相等，則新四邊形是菱形.（3）若原四邊形的對角線垂直且相等，則新四邊形是正方形【典型例題】類型一、正方形的性質(zhì)C1、（2019?臺灣）如圖，有一平行四邊形ABCD與一正方形CEFG,其中E點在AD上.若/ ECD=35 , /AEF=15,貝U/ B 的度數(shù)為何？（）A. 50 B. 55 C. 70 D. 75【思路點撥】 由平角的定義求出/ CED的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和

4、定理求出/D的度數(shù)，再由平行四邊形的對角相等即可得出結(jié)果.【答案】C.【解析】解：四邊形 CEFG是正方形， ./ CEF=90 , . / CED=180 - / AEF - / CEF=180 - 15 - 90 =75, ./ D=180 - / CED - / ECD=180 - 75 - 35 =70, 四邊形ABCD為平行四邊形，/ B= / D=70。（平行四邊形對角相等）.故選C.【總結(jié)升華】 本題考查了正方形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識；練掌握平行四邊形和正方形的性質(zhì)， 由三角形內(nèi)角和定理求出/ D的度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵. 舉一反三：【變式1】已知：如圖，

5、E為正方形ABCM邊BC延長線上的點，F(xiàn)是CD邊上一點，且證明：:四邊形 ABC虛正方形, .BC= DC /BCD= 90 E為BC延長線上的點， ，/DCE= 90 , ./ BCD= / DCE 在ABCF和ADCE中，BC = DC I -NBCF =NDCE ,CF =CE .BCFDCE（ SAS , .BF= DEABCD7卜側(cè)，作等邊三角形 ADE AC, BE相交【變式2】（2018?咸寧模擬）如圖，在正方形 于點F,則/ BFC為（）A. 75 B , 60C . 55【答案】B;提示：:四邊形 ABC虛正方形，/ BAD=90 , AB=AD / BAF=45 , .AD

6、E是等邊三角形，/ DAE=60 , AD=AE ，/BAE=90 +60 =150 , AB=AE /ABEhAEB （180 - 150 ） =15 ,2，/BFC= BAF吆 ABE=45 +15 =60 ; 故選：B.2、如圖，四邊形ABCD邊長為2的正方形，點G是BC延長線上一點，連接AQ點E、 F分別在 AG上，連接 BE、DF, /1 = /2, /3=/4.(1)證明： AB9 ADAF(2)若/AGB= 30 ,求 EF 的長.DBC G【思路點撥】要證明 AB段 DAF,已知/ 1 = 7 2, Z3=Z 4,只要證一條邊對應(yīng)相等即可. 要 求EF的長，需要求出 AF和AE

7、的長.【答案與解析】(1)證明：二.四邊形 ABC皿正方形，.AD= AB,1 = / 2, /3=/4, .DAF AABE(2)解：二四邊形 ABCD正方形，/ AGB= 30 ,.AD/ BG1 = /AGB= 30 , / 1 + Z4=Z DAB= 90 , - / 3= / 4, . / 1 + 73=90 , ，/AFD= 180 (/1 + /3) =90 ,DF AG1 , DF= AD =12 .AF= ,3. AB珞 ADAF.A曰 DF=1 ,【總結(jié)升華】通過證三角形全等得到邊和角相等，是有關(guān)四邊形中證邊角相等的最常用的方法.而正方形的四條邊相等，四個角都是直角為證明三

8、角形全等提供了條件.舉一反三：【變式】如圖，A、B C三點在同一條直線上， AB= 2BC,分另U以AB, BC為邊做正方形 ABEF 和正方形BCMN1接FN, EC.求證：FNk EC.B C【答案】證明：在正方形 ABEF中和正方形 BCMN,AB= BE= EF, BC= BN / FEN= Z EBC= 90 ,一 一 rr 一一 1. AB= 2BC,即 BC= BN= - AB2_1，BN= BE ,即N為BE的中點, 2EN= NB= BC,.FN珞 AECB.FN= EC.類型二、正方形的判定3、如圖所不，在 RtABC中，Z C= 90 , / BAC / ABC的平分線相

9、交于點 D,且DE LBC于點E, DF AC于點F,那么四邊形 CEDF正方形嗎？請說明理由.北師大版初中數(shù)學九年級上冊知識講解鞏固練習題正方形（基礎(chǔ)）解：是正方形，理由如下：作DGL AB于點G. AD 平分/ BACDF = DG同理可得：DG= DEDF，AC, DGL AB,DF= DELDF AC, D吐 BC, Z C= 90 , 四邊形CEDF矩形. DF = DEL四邊形CEDF正方形.【總結(jié)升華】（1）本題運用了“有一組鄰邊相等的矩形是正方形”來判定正方形.（2）證明正方形的方法還可以直接通過證四條邊相等加一個直角或四個角都是直角來證明正方形.舉一反三：【變式】如圖，點O是

10、線段AB上的一點，OA= OC O升分/AOC交AC于點D, OF平分/ COB CFOF 于點 F.（1）求證：四邊形CDOF矩形；（1）證明：OD平分/ AOC OF平分/COB（已知），/AOC= 2/COD /COB= 2/COF /AOG /BOC= 180 , 2ZCOD-2ZCOF= 180 , ./CO /COF= 90 , ./ DOF= 90 ; . OA= OC OD平分/AOC（已知）, ODLAC AD= DC （等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)），/CDO= 90 , .CF OF .ZCFO= 90 四邊形CDOF矩形；（2）當/AOC= 90時，四邊形 CDO陛正

11、方形；理由如下：. /AOC= 90 , AD= DC .OD= DC又由（1）知四邊形 CDO陛矩形，則四邊形CDO四正方形；因此，當/AOC= 90時，四邊形 CDO四正方形.類型三、正方形綜合應(yīng)用 4、如圖，在平面直角坐標系 xoy中，邊長為a （a為大于0的常數(shù)）的正方形ABCD勺對角線AC BD相交于點P,頂點A在X軸正半軸上運動，頂點 B在y軸正半軸上運動（X軸 的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點 O）,頂點C、D都在第一象限. 當/ BAO= 45時，求點P的坐標；（2）求證：無論點 A在X軸正半軸上、點 B在y軸正半軸上怎樣運動，點 P都在/ AOB 的平分線上；9 / 12【

12、答案與解析】解：（1）當/ BAO= 45 時，/ PAO= 90在 RtAOB 中,OA= - AB=交 a,在 Rt APB 中，PA= AB=222點P的坐標為國巨122（2）如圖過點P分另1作X軸、y軸的垂線垂足分別為 M N,則有/ PMA= / PNB= / NP時 / BPA= 90 , / BPW / BP陣 / AP吐 / BPMk 90 /AP陣 / BPN 又 PA= PB, APAhM PBhNPM = PN又 PN LON, PMLOM于是，點P在/AOB的平分線上.【總結(jié)升華】根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造全等的直角三角形是解題關(guān)鍵【鞏固練習】-.選擇題1 .（2019?

13、陜西）如圖，在正方形 ABCD中，連接BD,點。是BD的中點，若 M、N是邊AD上的兩點，連接 MO、NO,并分別延長交邊 BC于兩點M、N則圖中的全等三角 形共有（）14 M N RB-FT A/ClA. 2對 B. 3對 C. 4對 D. 5對2 .（2018?章州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）A.四條邊相等B.對角線互相垂直平分C.對角線平分一組對角D. 對角線相等3 .如圖，正方形 ABCD勺邊長為4cm ,則圖中陰影部分的面積為 （）cm2 .A.6B.8C.16 D.不能確定4 .順次連結(jié)對角線互相垂直的四邊形各邊的中點，所得的四邊形是（）A. 矩形 B. 菱形 C.

14、 正方形 D. 梯形5 .如圖，在邊長為 2的正方形 ABCM, M為邊AD的中點，延長 MD至點E,使ME= MC以DE為邊作正方形 DEFG點G在邊CD上，則DG的長為（）A.3-1 B. 3 - 55 C. .5 1 D. .5 -1D6 .如圖，正方形 ABCM,對角線AC, BD相交于點0,則圖中的等腰三角形有（A. 4 個B . 6 個 C .8 個 D .10 個7 .若正方形的邊長為 a ,則其對角線長為 ,若正方形ACEF的邊是正方形 ABCM對 角線，則正方形 ACEF與正方形ABC而面積之比等于.8 .如圖，在四邊形 ABCM, AB= BC= CD= DA對角線AC與B

15、D相交于點O,若不增加任何 字母與輔助線，要使四邊形 ABC皿正方形，則還需增加一個條件是 .9 .如圖，將邊長為2cm的正方形ABCD替其對角線 AC剪開，再把 ABC沿著AD方向平移,得到 ABC若兩個三角形重疊部分的面積是1cm2,則它移動的距離 AA等于cm.A D8C10 .如圖，邊長為2的正方形ABCD勺對角線相交于點 O,過點O的直線分別交 AR BC于E、 F,則陰影部分的面積是 .11 .如圖.邊長為1的兩個正方形互相重合，按住其中一個不動， 將另一個繞頂點 A順時針旋轉(zhuǎn)45 ,則這兩個正方形重疊部分的面積是 .12 . （2018?長春）如圖，點 E在正方形 ABCD的邊C

16、D上.若4ABE的面積為8, CE=3 , 則線段BE的長為三.解答題13 . （2019?樂山）如圖，在正方形 ABCD中，E是邊AB的中點，F(xiàn)是邊BC的中點，連結(jié) CE、DF.求證：CE=DF .14 . （2018?鐵力市二模）如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE BC于點E;PFXCD于點F,連接EF,給出下歹U五個結(jié)論： AP=EF;APLEF;/ PFE=/BAP ;PD=EC;PB2+PD2=2PA2,正確的有幾個？ .15.如圖，邊長為3的正方形ABCDg點C按順時針方向旋轉(zhuǎn) 交ADT H,求DH的長.30后，得到正方形 EFCG EF【答案與解析】一.選擇題1.

17、【答案】C.【解析】四邊形 ABCD是正方形，.AB=CD=CB=AD , / A=/C=/ABC= ZADC=90 , AD / BC, 在 ABD和 BCD中，北師大版初中數(shù)學九年級上冊知識講解鞏固練習題正方形(基礎(chǔ))IAB=BCAD=CDABDA BCD , . AD / BC, / MDO= Z M BO , 在 MOD和 M OB中， ZMDO=Zir B0| /MOD二NV OB,DM=BMyMDOA M BO,同理可證4 NOD NOB, MON M ON ；全等三角形一共有 4對.故選C.廝曠 F C2.【答案】D;14 M N【解析】正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊相等，四個角都

18、是直角，對角線互相垂直平分且相等，并且每一條對角線平分一組對角；菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊相等，對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分 一組對角；因此正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是：對角線相等；故選：D.3 .【答案】B;【解析】陰影部分面積為正方形面積的一半.4 .【答案】A;5 .【答案】D;【解析】利用勾股定理求出 CM= J5 ,即ME的長，有DM= DE,所以可以求出 D口J5 -1 , 進而彳#到DG的長.6 .【答案】C;二.填空題7 .【答案】缶，2 ： 1 ;【解析】正方形 ACEFW正方形ABCM邊長之比為、2：1.8 .【答案】AC= BD或AB, BC【解析】.在四

19、邊形 ABCD43, AB= BC= CD= DA,.四邊形 ABC虛菱形.,.要使四邊形 ABCD 是正方形，則還需增加一個條件是AC= BD或AB! BC.9 .【答案】1 ;【解析】移動距離為 BC =X ,重疊部分面積為 CEX BC=1 ,所以x(2x) = 1 ,得.2(X1 ) =0 ,所以 x=1 .10 .【答案】1;【解析】由題可知 DE室ABFCO陰影面積就等于三角形11 .【答案】夜-1;【解析】DE = DC = J21 ,重疊部分面積為 2父工父1212 .【答案】5;【解析】解：過 E作EM，AB于M ,四邊形ABCD是正方形，AD=BC=CD=AB ,EM=AD , BM=CE ,.ABE的面積為8