變量間的相關(guān)關(guān)系教案

1、變量間的相關(guān)關(guān)系教案Company number : 0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108 變量間的相關(guān)關(guān)系一、教材分析學(xué)生情況分析：學(xué)生已經(jīng)具備了對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行初步分析的能力，且掌握了一定的 計(jì)算基礎(chǔ)。教材地位和作用：變量間的相關(guān)關(guān)系是高中新教材人教A版必修3第二章節(jié)的內(nèi)容, 本節(jié)課主要探討如何利用線性回歸思想對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)。為以后更好地研究 選修2-3第三章節(jié)回歸分析思想的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。二、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能：利用散點(diǎn)圖判斷線性相關(guān)關(guān)系，了解最小二乘法的思想及線性回歸方 程系數(shù)公式的推導(dǎo)過(guò)程，求出回歸直線的方程并對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)，通過(guò)實(shí)例 加

2、強(qiáng)對(duì)回歸直線方程含義的理解。2、過(guò)程與方法：通過(guò)自主探究體會(huì)數(shù)形結(jié)合、類比、及最小二乘法的數(shù)學(xué)思想方法。通過(guò)動(dòng)手操作培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較和歸納能力。3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：類比函數(shù)的表示方法，使學(xué)生理解變量間的相關(guān)關(guān)系，增強(qiáng) 應(yīng)用回歸直線方程對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)的意識(shí)。三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，了解最小二乘法的思想并利 用此思想求出回歸方程。難點(diǎn)：對(duì)最小二乘法的數(shù)學(xué)思想和回歸方程的理解，教學(xué)實(shí)施過(guò)程中的難點(diǎn)是根據(jù)給出 的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程。四、教學(xué)設(shè)計(jì)）（一）、創(chuàng)設(shè)情境 導(dǎo)入新課1、相關(guān)關(guān)系的理解我們?cè)?jīng)研究過(guò)兩個(gè)變量之間

3、的函數(shù)關(guān)系：一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)著唯一的一個(gè)函數(shù) 值，這兩者之間是一種確定關(guān)系。生活中的任何兩個(gè)變量之間是不是只有確定關(guān)系呢 如：學(xué)生成績(jī)與教師水平之間存在著某種聯(lián)系，但又不是必然聯(lián)系，對(duì)于學(xué)生成績(jī)與 教師水平之間的這種不確定關(guān)系，我們稱之為相關(guān)關(guān)系。這就是我們這節(jié)課要共同探 討的內(nèi)容變量間的相關(guān)關(guān)系。生活中還有很多描述相關(guān)關(guān)系的成語(yǔ)，如：“虎父無(wú)犬子”，“瑞雪兆豐年“。通過(guò)學(xué)生熟悉的函數(shù)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活中 兩個(gè)變量之間還存在的相關(guān)關(guān)系。讓學(xué)生體會(huì)研究變量之間相關(guān)關(guān)系的重要性。感受 數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。（二）、初步探索，直觀感知1、根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，直觀感知變量之間的相關(guān)關(guān)系。在研究相關(guān)關(guān)系

4、前，先 回憶一下函數(shù)的表示方法有哪些列表，畫圖象，求解析式。下面我們就用這些方法 來(lái)研究相關(guān)關(guān)系。看這樣一組數(shù)據(jù)：在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究 人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系年齡2327394145495053545657586061脂肪結(jié)論：隨著年齡增長(zhǎng)，脂肪含量在增加。用X軸表示年齡，y軸表示脂肪。一組樣本數(shù) 據(jù)就對(duì)應(yīng)著一個(gè)點(diǎn)。散點(diǎn)圖這個(gè)圖跟我們所學(xué)過(guò)的函數(shù)圖象有區(qū)別，它叫作散點(diǎn)圖。2、判斷正、負(fù)相關(guān)、線性相關(guān)：請(qǐng)觀察這4幅圖，看有什么特點(diǎn)1-1 三圖4直線附近。我們稱圖1、2中的兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系。這條直線叫做回歸直 線。

5、圖3、4中的兩個(gè)變量是非線性相關(guān)關(guān)系（三）、循序漸進(jìn)、延伸拓展1、找回歸直線師：下面我們?cè)賮?lái)看一下年齡與脂肪的散點(diǎn)圖，從整體上看，它們是線性相關(guān)的。如果可以求出 回歸直線的方程，我們就可以清楚地了解年齡與 體內(nèi)脂肪含量的相關(guān)性。這條直線可以作為兩個(gè) 變量具有線性相關(guān)關(guān)系的代表。能否畫出這條直 線數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1 ：畫出回歸直線學(xué)生方案一學(xué)生方案二第一種第二種多種方法展示總結(jié)：第二種方法好，因?yàn)樗械狞c(diǎn)離這條直線最近。從整體上看，各點(diǎn)與此直線的 距離和最小。2、利用最小二乘法推導(dǎo)回歸系數(shù)公式假設(shè)我們己經(jīng)得到兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：（馬,其）（/，%）區(qū)，紇）。當(dāng)自變量了取占（i=l，2,

6、 , n）時(shí)，可以得到y(tǒng) = bxi + a （/=1, 2, ,n）,它與實(shí)際收集到的弘之間的偏差是»-丸（ / =1, 2, , n）,這樣用n個(gè)偏差的和來(lái)刻畫“各點(diǎn)與此直線的整體偏差”是比較合適的。總的偏差為（丫-），偏差有正有負(fù)，易抵消，所以1=1采用絕對(duì)值名博-見(jiàn)，由于帶絕對(duì)值計(jì)算不方便所以換成平方， 1=1>2=X（）,I-y,） =（y-歷血-+區(qū)-歷3-。+（"-娓-現(xiàn)在的問(wèn)題就歸結(jié)為：當(dāng)。，b取什么值時(shí)Q最小。將上式展開(kāi)、再合并，就可以得到可以求出Q取最小值時(shí)推導(dǎo)過(guò)程用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以這種使“偏差的和”最小的方法 叫“最小二乘法

7、”。3、求出回歸直線方程，并分析它的意義利用最小二乘法就可以求出回歸系數(shù)，進(jìn)一步求出回歸方程。下面我們具體操作一 下。我們先明確幾個(gè)符號(hào)的含義：士表示年齡，%是23, 公是27,直到人是61。i從1到14, y,表示脂肪，如是，乃是。毛y表示年齡與脂肪的成績(jī)，x：表示 年齡 的平方年齡脂肪23273941454950535456575860611410194321127=工%表示自變量年齡的平 /=1529均數(shù)，歹=工之M表示因變量脂729 /'=115217 n-1681肪的平均數(shù)，表示自變量 f=l20252401的平方和，力看y表示自變量與25001=19QQQ因變量乘積的和。要

8、求出a,乙。b,必須先求出這些量。29163136數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2：求出下列各式的值3249(n=14)33643600 1. i=l372134181_1 "y=-Ex-= n J=i“2x-nxy尸Z=1= = w1=1a = y-bx=y = bx+a通過(guò)計(jì)算，求出了 = 0.448,6 = 0.5765y = 0.5765x-0.448求出回歸直線方程有什么用呢表格中選取年齡x的一個(gè)值代入上述回歸直線的方 程，看看得出的數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)值之間的關(guān)系。估計(jì)值是29.272,與實(shí)際值28.2有偏差，為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的結(jié)果回歸直線是估計(jì)出 的，把。帶入肯定有誤差。試預(yù)測(cè)某人37歲時(shí)，他體內(nèi)的

9、脂肪含量。并說(shuō)明結(jié)果的含 義。代入計(jì)算y = 0.5765x37-0.448=20.882我們不能說(shuō)他的體內(nèi)脂肪含量的百分比一定是先只能說(shuō)他體內(nèi)的脂肪含量在乳附近的可 能性比較大。（四）、線性回歸分析思想在實(shí)際中的應(yīng)用總結(jié)：我們利用回歸直線對(duì)年齡與脂肪的關(guān)系做了上述分析，這種分析方法叫做線性回 歸分析。利用這種分析方法可以對(duì)生活中的很多問(wèn)題進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)。例2有一個(gè)同學(xué)家開(kāi)了一個(gè)小賣部,他為了研究氣溫對(duì)銷售熱飲的影響,經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì),得到 一個(gè)賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表：攝氏溫 度/C。-504712151923273136熱飲杯 數(shù)15615013212813011610489937654（

10、1）畫出散點(diǎn)圖（2）從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律（3）求回歸方程 （4）如果某天的氣溫是2,預(yù)測(cè)這天賣出的熱飲杯數(shù)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)3：求出下列各式的值(n=U)=-X=y=-iy.=產(chǎn)Lxz = i=l r=l/=1f=lnb =a = y-bx=y = bx+aZ"； 一 Xr=l(五)利用相關(guān)系數(shù)判斷線性相關(guān)程度利用最小二乘法求出回歸直線的方程后，可以對(duì)上面兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)。是不是所有的相關(guān)關(guān)系都可以求出回歸直線的方程請(qǐng)大家觀察這4幅圖結(jié)莖線不能很好地反嗡些變量線性相映。.97O.S-+注意它的符號(hào)：當(dāng)>0時(shí)，X, y正相關(guān)，當(dāng)<0時(shí)，X,

11、y負(fù)相關(guān)，統(tǒng)計(jì)學(xué)認(rèn)為:對(duì)于r,若 e-L-0.75,那么負(fù)相關(guān)很強(qiáng)，若/£0.75,1,那么正相關(guān)很強(qiáng),若£(0.75,0.30或re 0. 30, 0. 75),那么相關(guān)性一般,若£-0.25,0.25,那么相關(guān)性較弱,不同的相關(guān)性可以從散點(diǎn)圖上直觀地反應(yīng)出來(lái)，觀察這幾幅散點(diǎn)圖，判斷圖中的兩 個(gè)變一一量的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱。圖1、2正線性相關(guān)，圖1中的點(diǎn)密集，相關(guān)性比圖2 好。利用相關(guān)系數(shù)也可以看出相關(guān)性，圖1中尸接近1,圖2中尸，所以可以總結(jié)出相 關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，線性相關(guān)關(guān)系就越強(qiáng)。（五）、歸納總結(jié)，內(nèi)化知識(shí)回歸直線方程的求法：先判斷變量是否線性相關(guān)若線性相關(guān)

12、，利用公式計(jì)算出。、b利用回歸方程對(duì)生活實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)高考統(tǒng)計(jì)部分線性回歸方程具體如何應(yīng)用線性回歸方程為9 =/+G的求法：_ 1（1）先求變量x的平均值，既工=一（1+尤+ &+ X”）n -_1（2）求變量y的平均值，既=一（必+則+必+”） n （3）求變量x的系數(shù)6,有兩個(gè)方法（_）（_一 刃法= j（題目給出不用記憶）次（%-元）21=1=（七刃（"刃十竺秋”2）十二5二：）（之力（需理解并會(huì)代入數(shù)據(jù)）L（X1- x）- + （x2-x）-+.+（xn- x）-J2（七 一了）（一刃法25 =-（題目給出不用記憶）;=1=華：?（這個(gè)公式需要自己記憶，稍微簡(jiǎn)

13、單些） x; 4-x; +.+X； - nx（4）求常數(shù)£, a = y-bx最后寫出寫出回歸方程9 =八十力?？梢愿膶憺椋簓 = bx-a （女與y不做區(qū)分） 例：已知為），之間的一組數(shù)據(jù):01231357求），與x的回歸方程：_ 1解： 先求變量X的平均值，既x=(0+1 + 2+3) = 1.54_1(2)求變量y的平均值，既y = ：(l + 3 + 5 + 7) = 4(3)求變量x的系數(shù)6,有兩個(gè)方法_ (一 一 一)"?)+色一亍)(% 一 9)+ (，一 亍)(7 一 刃 + (，一 了)(打一刃 力(%! - X) 4-(X2 - X) +(X3 - X) +(X4- X)l_ (0 1.5)(1 4) + (1 1.5)(3 4) + (21.5)(5 4) + (3 1.5)(7 4) _ 5(0-1.5)2 + (l-1.5)2+(2-1.5)2+(3-1.5)27法 26 xii+ x2z + -xnyn, y 0xl +