導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用

1、精心整理4.7導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用一、利用單調(diào)性證明不等式 單調(diào)性本身就是體現(xiàn)了不等式關(guān)系，因而利用單調(diào)性來證明不等式便是順理成章的事.在4.4中，我們利用導(dǎo)數(shù)的符號就能判斷函數(shù)的單調(diào)性。例 1. 設(shè) e<a<b<e2,證明 ln2 b -ln2a >-42 (b -a). e分析：ln2b - 2b ln2a-2a, (b a)ee證 1： 設(shè) 中(x)=ln2x-&x, 則 (x) = 2小。， ex e,蘆 “(x) =212,當 xe時，"(x)<0, x故(x)單調(diào)減小.從而，當 x<e2 時，叫x)>(e2)=W-4=

2、0,e eT(x)單調(diào)增加.平(b) *(a) ,一.即ln2 b-g b a ln2 a-ga ,故不等式成立.ee注：有時需要多次使用導(dǎo)數(shù)符號判斷單調(diào)性.證 2 分析：ln b -ln a =2n >-4",(e < a < - < b < e2)b -ae- . IX 我s*/國4ln2bln2a ” 2 o ln / 聲 2、因為=(ln x) r = 2- ,(e<a<<b<e)b -a一,二 0,(x >e),工n x、1 - ln x而()二x x從而,c ln c ln e24一ln2 b - ln2 a 4

3、 e注：綜合使用中值定理和單調(diào)性.例 2 證明x <sinx < x,xe fo,二2八2 sin x，冗)分析： <<1, X |0,-n xI 2)證令f(x產(chǎn)亞,XE(0,1x2xcosx -sin x cosx xTanxf ' x =2=20, 0 :二 x :二一x x 2從而 f x = sin-x 在 x (0,x,單調(diào)減少,0) +f I- < f (x)< f (0+)2.八二x : sin x : x, x ：- 10， .二2二、利用中值定理證明不等式1、利用Lagrange中值定理證明不等式設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,

4、b)內(nèi)可導(dǎo)，則有f-f嘰向,Wa,b)于是,我 b - a們依據(jù)關(guān)于f(x)的，得到不等式. 如：(1) A"(x)EB (a<x<b),(2) f'(x)單調(diào)，(a<x<b)r 丁i (3) 如果 | f (x) |<M, (a <x <b)I二“，例 3 證明：當 x >0時，-x <ln(1 +x) <x.1 x分析：1 ：二1n(1 "1 x x證注意到ln1 = 0 ,故可將不等式組變形為對函數(shù)f (x) =lnx在1,1 + x(x>0)上利用拉格朗日中值定理，于是，存在江(1,1 + x

5、),由于乙<E故*e卜1，即2、利用柯西中值定理證明不等式設(shè)f(x), g(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且g'(x) *0(a <x<b),則存在/(a,b),使得f(b) -f(a) f () g(b) -g(a) - g ()如果N <f-()- <M(a <x<b),則可建立相應(yīng)不等式 g(x)例4設(shè)當x ”0時，5(x) >0,且| f'(x)區(qū)叫x),證明：當x 2x0時,| f(x)-f (xo)|< :(x)- :(xo)(4.7.1)分析：=>:"%11p (x)|中(x)-中(x

6、o)證 當x=x0時，式(4.7.1)的等號成立.當x>x0時，有中(x) A中(x0).由柯西中值定理知，存在之W(x0,x),使得考慮到中(x) A0,故中(x)單調(diào)增加，有綜上可知，當x之七時，式(4.7.1)成立.3、利用泰勒中值定理證明不等式由泰勒公式或馬克勞林公式可知，如果涉及具有二階或更高階導(dǎo)數(shù)，可考慮借 助于函數(shù)的泰勒公式或馬克勞林公式來證明，如果是已知最高階導(dǎo)數(shù)的取值范圍時,可用此條件來估計有關(guān)的量，從而可以證明某些不等式.例5設(shè)函數(shù)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)f"(x)A0,且limf(x)=1，證明f (x) >x.x x解 由于函數(shù)f(x)且具有一階導(dǎo)數(shù)且i

7、im23=1，故得f(0)=0,f(0)=1 , x Q x利用函數(shù)f(x)一階馬克勞林公式：f ( ) c f ( ,)f(x) = f (0) + f (0)x 十x =x+x , 其中 己 介于 x 與 0N間，22f ( ) 0,.所以f (x) - x.例6 設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上二階可導(dǎo),f(0) = f(1),且|f"(x)產(chǎn)2.試證證 注意到條件中含有高階導(dǎo)數(shù)，故我們對函數(shù)f(t)在t = x點處用一階泰勒公式:精心整理分別將t=0, t=1代入上式，注意到f (0)=f (1),兩式相減，整理得到因此，三、利用凹凸性證明不等式曲線的凹凸性反映的也是不等關(guān)系:i&#

8、39;X1 +x2”為廣 f。2)或 f l'i +x2f (X1 )+f (x2).22. 22如果可以從r(x)的符號判斷曲線是凹或者凸的，則對應(yīng)上面的不等式就一定成立.例7 證明 當x, y A0,x # y,n >1日寸，證 設(shè)函數(shù)f (t產(chǎn)tn,則因此當t >0, f (t)的圖形是凹的.根據(jù)定義，有例8證明當0<x<n時，有sin'>二.2 二證 設(shè) f (x) =sin x-二，有- 二2 二則曲線y = f (x )在(0* )內(nèi)是凸的.又f (0)= f(n) = 0,所以當0<x<n時，點(0,0)和(町0 )所連的

9、弦在曲線y=f(x)的下方，即f(x)>0,從而sidY.2 二四、利用最值證明不等式 , 1最值關(guān)系本身也是不等關(guān)系，因此要證明f(x)EM或f(x)主m(xw I),則只需證明 一r 1nn例 9 證明-r<xp +(1 -x)p <1,(0<x<1, p >1).2p證 令f (x)=xp+(1-x)p,顯然f (x)在0,1上連續(xù),故f(x)在0,1上有最大值 M ,最 小值m .又由于f(x) = pxp二-p(1-x嚴,令ftx)=0,得駐點X1=2，另有區(qū)間端點x2 = 0,x3=1,比較精心整理得f (X )的最大值M = f (0戶f (1 )=1,最小值,11m=f(2卜產(chǎn).因此，當"°時,2r< xp (1 -x)p <1.例 10 證明 ln x之1(x>0). x、人1r證 令 f (x) =ln x+,x >0.由 x得惟一駐點x=1.又，當0 <x <1時f '(x )<0, f (x )