奧數(shù)訓(xùn)練之韋達(dá)定理

1、奧數(shù)訓(xùn)練之 韋達(dá)定理一、不解方程。求兩根的代數(shù)式的值I、求兩根對稱式的值對稱式：把式子中的兩個字母Xi、X2對掉后如果能和原式的值相等。這樣的式子叫對稱式。例如：|Xi-X2| 把 X1 換成 X2把 X2 換成 Xi 后為 |X2- Xi 而 |xi -X2|= | X2-X1 I 所以|Xi-X2|是輪換式，所有輪換式都可以轉(zhuǎn)換成這兩個字母和與積的混合運(yùn)算。 在總體帶入數(shù)值即可解答例題：已知：方程 3x2+5x+1=0的兩根為XI、X2,不解方程求下列代數(shù)式的值1 i| x| x一+ X21+X22 X21X2+X1 X22X1-3) (X2-3) |X1-X2 | + x1 X2X2X1

2、H、利用根的定義結(jié)合韋達(dá)定理求根的非對稱式的值例題：已知：方程 3x2+5x+1=0的兩根為xi、X2,不解方程求下列代數(shù)式的值2 2(1 ) 3x i +5xi +X1.X2(2)3x i +6x i+X2+XiX22232(3)4x i +X2 +6x i+X2+i0(4)3xi -5x 2-X2+3山、求隱形根的代數(shù)式的值以隱蔽的形式給出方程的根簡稱為隱形根例題：已知a、b為實(shí)數(shù)，且az b若滿足a2 -2a -1 =0,b2 - 2b -1 =0求-的值a b結(jié)后語：把上述的已知式可以改寫成a2 =2a+1 b2=2b+1或a2-仁2a b2-2b=1可以求同樣的問題，解決這類問題的一

3、般方法是化為一般式例題：已知：實(shí)數(shù) a、b滿足a2亠5a亠3=0,3b2亠5b亠1=0 a bz 1求：的值b針對性練習(xí)1、已知：實(shí)數(shù) a、b滿足 3a2 -5a-7 =0,7b2-5b-3 = 0且 a b工一1 求：-的值 b2 22、已知實(shí)數(shù) az b.且滿足(a 1)2 =3 - 3(a1),3(b1) =3 - (b 1)26匕3 +13已知八3二/1,且心1，求/的值4、設(shè)實(shí)數(shù) s、t 滿足 19s2 99s 0,t2 99t 19=0且st = 1，求 “ " 1 的值 t5、若正數(shù)x、y滿足x + y=x y求x + y的最小值w、注意陷阱2 2例題：方程x-x+1=

4、0和2x-3x-仁0的所有實(shí)根的和為 二、已知方程的根，求方程中的字母系數(shù)I：已知一根可求一個字母的值例題：已知：方程 x2+mx+3=0有一個根為1.求：另一個根及 m例題：已知關(guān)于 x的方程x2+（m-1）x+m 2-仁0有一個根為0,求另一根及 m的值已知兩根.可求兩個字母系數(shù)的值.例題：已知方程 x2+px+q=0的兩個根為2和3，求p與q的值例題：已知關(guān)于 x個方程x2+（p+q-i）x+3q-2=0的兩個根為1和2.求：p2+q的值為:山：解兩個根含三個字母系數(shù)的問題.a h zn例題：已知：ax2+bx+c=0的兩個根為2和3 求：的值a + b + c例題：已知：ax2+（b+

5、1）x+c-2=0的兩根分別為1和3,且a+2b+3c=6.求：a、b、c.的值三、已知兩個根的關(guān)系式的值求方程中的字母系數(shù)例題：已知關(guān)于 x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m 2-3=0當(dāng)兩根滿足下列關(guān)系時，分別求1m的值，（1）互為相反數(shù)，（2）互為倒數(shù)，（3）有一根為0，（ 4）兩根之比為 -一3（5）兩根的平方和為10例題：已知關(guān)于x的方程x2+4x+k-仁0的兩根之差為6.求k值例題：已知關(guān)于x的方程x2+m2x+ n=0的兩個實(shí)數(shù)根是 xi、X2.而w、y是方程y2+5my+7=0 的兩根 但Xi-yi=2 . x2-y2=2求m、n的值針對性練習(xí)：1、已知：關(guān)于x的方程x2

6、+（a+1）x+b-仁0的兩個根之比為2: 3判別式的值為1.求方程的 根.2、已知：XI、X2是關(guān)于x的方程x2-2(m+2)x+2m 2-仁0的兩個實(shí)根且滿足x2i - x22=0. 求m的值2 23、已知關(guān)于x的方程x-2(m-2)x+m =0.問：是否存在實(shí)數(shù) m是方程的兩個實(shí)數(shù)根的平方 和等于56?若實(shí)數(shù)m存在.求出m的值若不存在.請說明理由2 24、已知關(guān)于x的方程x +2(m-2)x+m +4=0有兩個實(shí)數(shù)根且這兩個根的平方和比兩個根的 積大21.求m的值25、已知斜邊為5的直角三角形的兩條直角邊a、b的長是方程x -(2m-1)x+4(m-1)=0的兩個根.求m的值6、已知方程

7、組r 2x - y +a + 2 =0"、(1)x-y+1=0(2)x = %的兩組解為1f和x二 x2且Xi,x2是兩(1)求a的值個不相等的實(shí)數(shù)，若 x12 x22 -3x1x2 y1y2 =a2 - a -1，(2)不解方程組能否判斷方程組的兩組解都是正數(shù)，為什么？感悟：在求解過程中涉及求根過程的不用檢驗(yàn)忽略根的值只用韋達(dá)定理形式解決問題的必須檢驗(yàn))四、作方程：2、2 b c =bcax +bx+c=0可化為： x+x+=0而 X1+X2=- .xi X2= a aaa2-原方程又可以寫為 x -(x什X2)X+X1X2=0說明：兩個之和是一次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù).兩根之積為常數(shù)項(xiàng).

8、I：直接給出兩根.求做方程-1'5 T5一例題：以 和為根的一兀二次方程為：2 2H:已知方程.所求做方程的根與已知方程的根有聯(lián)系例題：已知方程 3x2-5x+仁0的兩個根分別為X1與X2 當(dāng) y1與y2滿足下列條件時分別寫出兩根為y1與y2的方程.1 y1=X11.y2=X2 y1=X2+2.y2=X2+2 y1=2x1 . y2=2x2 y1= -X1. y2= -X2 y1=x21 . y2=x22(6)y1= X1. y2= . X2五、由韋達(dá)定理構(gòu)造方程例題：已知兩數(shù)的和為 5這兩個數(shù)的乘積為 6.求這兩數(shù)例題：解下列方程組(1)Jx +1 + Jy +1 = 7 (2) 1

9、、(X +1)(y +1) =144例題：已知：x、y是正整數(shù)，并且 xy+x+y=23，x2y+xy2=120求：x2+y2的值例題：已知：a+ b=2 . ab-c2=1求：a、b、c的值例題：已知：a、b、c均為實(shí)數(shù).且a-b=8ab+c2+i6=0 求:a、b、c.的值.六、由韋達(dá)定理解決方程的根的分布兩根同為正的條件:.：_0x1x20x1x20兩根同為負(fù)的條件:-0X! x2 : 0xAx20兩根異號的條件：x1x2<00兩根同大于a的條件：X! x2 - 2a% -a）（x2 -a） 0 :一 0兩根同小于a的條件*x1 +x2 c2a3 _ a)(x2 _ a) >

10、 0一個大于a另一個小于a的條件：（xi-a）（x2-a）<0例題：關(guān)于x的方程x2-（m+1）x+5-m=0.有兩個正根求 m的取值范圍.例題：當(dāng)m為何值時.方程x2-（m+1）x+m=0的兩根都大于-1例題：當(dāng)n取何值時方程 x2-11x+30+n=0的兩實(shí)根都大于 5.六、韋達(dá)定理在函數(shù)中的應(yīng)用例題（千104、4）設(shè)二次函數(shù)y=x2+x-1的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是 xi、x?, 求Xi5+5X2的值3例題（千106、13）在直角坐標(biāo)系中，拋物線y = x2 mxm2（m ' 0）與x軸交于A、4B（ A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)）兩點(diǎn)，若 A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離分別為 OA、OB且

11、滿足1 1 2一 一=，求m的值OB OA 3例題（千109、6）設(shè)二次函數(shù)y=x2+2（cos肝1）x+cos26（0 ° < 0 < 90° ）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為X1、X2，且I X1-X 2 1< 2 2,求0的取值范圍例題(千111、5)已知拋物線 C: y=x2-(k-2)x+(k+1) 2 (1)求證：不論k為何值，拋物線 的頂點(diǎn)總在拋物線 y=3x +12x+9上；(2)要使拋物線 C和x軸有兩個不同的交點(diǎn) AB求k 的取值范圍；(3)當(dāng)(2)中AB間的距離取得最大值時，求此時的k值和/ AMB的度數(shù)(M是拋物線C的頂點(diǎn))1 2

12、1例題4 :已知拋物線y= x mx m與x軸交于A、B兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C,若2 2/ ACB=9 0 ° ,求 m 的值例題2:在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)P (0, 2)任作一條直線與拋物線y=ax2 (a>0)交于兩點(diǎn)的直線，設(shè)交點(diǎn)為 A、B,若/ AOB=90(1) 判斷AB兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積是否為一個確定的值，并說明理由(2) 確定拋物線y=ax2 (a > 0)對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式(3) 當(dāng)厶AOB的面積為4.2時，求直線 AB所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式例題(千、83、例23)已知拋物線 y=2x2+x+15所截得的線段長為，求m的值18七、韋達(dá)定理在不等式中的應(yīng)用例題：已知不等式 x2-bx+c v 0的解集是3v x v 5,則a+b