對數(shù)公式總結(jié)

1、作者：日期:1對數(shù)的概念如果a(a 0,且a wi )的b次哥等于 N ,即a b =N,那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作:loga N= b，其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).由定義知：負數(shù)和零沒有對數(shù)； a 0 且 a W1,N 0; 1 oga1= 0 , l o g a a=1,a 1 o ga N =N,lo g a a b=b.特別地，以10為底的對數(shù)叫常用對數(shù)，記作lo g 1 0 N,簡記為lgN;以無理數(shù)e(e = 2 . 7 18 28)為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記作 l o g eN ,簡記為lnN.2對數(shù)式與指數(shù)式的互化式子名稱abN指數(shù)式ab = N (底數(shù))(指數(shù))

2、(哥彳1)對數(shù)式logaN=b(底數(shù))(對數(shù))(真數(shù))3對數(shù)的運算性質(zhì)如果 a 0 , a W1,M0, N 0,那么(1) 1 o g a(M N)=log a M+ 1 o g a N.(2) 1 og aM N=lo g aM - lo g aN.(3)lo g aMn=nlogaM (n C R).問：公式中為什么要加條件a0, a wi, M 0,N0 ?logaan = ? (n R)對數(shù)式與指數(shù)式的比較.(學(xué)生填表)式子ab = Nl o a aN=b名稱a 一哥的底數(shù)b一N a一對數(shù)的底數(shù)b 一N 一運算性質(zhì) am ?an= am+ na m 田n =(a m)n=(a 0 且

3、 a w 1,nC R)log a MN = l o gaM+logaNlo g aM N =l o g a M n =(n C R )(a0 , aw1M0,N 0)難點疑點突破對數(shù)定義中，為什么要規(guī)定a 0,且aw1?理由如下：若a V 0,則N的某些值不存在，例如log 2 8若a=0,則NW0時b不存在；N= 0時b不惟一，可以為任何正數(shù)若a=1時，則NW1時b不存在；N =1時b也不惟一，可以為任何正數(shù)為了避免上述各種情況，所以規(guī)定對數(shù)式的底是一個不等于1的正數(shù)解題方法技巧(1)將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式：54=62 5; 2 -6=1 64; 3x=2 7 ; 13m=573.(2)將

4、下列對數(shù)式寫成指數(shù)式： 1 Ogi 2 1 6 =-4 ; l o g 21 2 8 = 7；log327=x; 1 g0.0 1 =-2;Ini 0 = 2 .303; lg 兀=k.解析由對數(shù)定義：ab=N lo g aN=b .解答(1) 1 og5625=4. Iog2164=- 6 .1 og 327=x.Iog135.73= m.解題方法指數(shù)式與對數(shù)式的互化，必須并且只需緊緊抓住對數(shù)的定義：ab=N Io gaN = b. (2)12-4=16. 2 7 = 1 2 8 .3x=2 7 . 1 0-2= 0 .01.e2.3 0 3=10. 10k=兀.2根據(jù)下列條件分別求 x的值

5、：(1 )log 8 x=-23 ; (2)lo g 2(log 5 x)=0 ;(3)lo gx2 7=3 1 +l o g32; (4) 1 o g x(2+3)=-1.解析(1)對數(shù)式化指數(shù)式，得：x= 8-23 = ?(2 )log5 x = 20=1. x= ?(3)31+l o g32 = 3 X3lo g 3 2 =? 27=x?(4) 2 +3= x-l = lx. x=?解答(1)x = 8 23= (23) -2 3 = 2 -2= 1 4.(5) 1 og5x= 2 0=1 , x=5 1 =5.(6) 1 ogx27= 3 X3 lo g 32=3X2= 6 ,.x6=

6、27 =33 =(3) 6 ,故 x =3.(7) 2 + 3=x- 1 = 1x, .1.x=12+ 3 = 2 3.解題技巧轉(zhuǎn)化的思想是一個重要的數(shù)學(xué)思想，對數(shù)式與指數(shù)式有著密切的關(guān)系，在解決有關(guān)問題時，經(jīng)常進行著兩種形式的相互轉(zhuǎn)化.熟練應(yīng)用公式：Ioga1 = 0,l o g aa= 1 , a 1 o g a M= M ,lo g aa n =n.3已知 logax = 4 , loga y =5,求 A=x?3x-1y 212 的值.解析思路一，已知對數(shù)式的值，要求指數(shù)式的值，可將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，再利用指數(shù)式的運算求值；思路二，對指數(shù)式的兩邊取同底的對數(shù)，再利用對數(shù)式的運算求值解

7、答解法一 : logax =4, 1 og a y = 5 , .x=a 4 , y = a 5,. A=x512 y 1 3 =(a 4 ) 5 1 2 (a5) 13=a53?a 53=a0=1.解法二對所求指數(shù)式兩邊取以a為底的對數(shù)得logaA=loga(x5 1 2y-13 )= 5121 ogax-13 logay=51 2 X4 13X5=0 ,.A= 1.解題技巧有時對數(shù)運算比指數(shù)運算來得方便，因此以指數(shù)形式出現(xiàn)的式子，可利用取對數(shù)的方法，把指數(shù)運算轉(zhuǎn)化為對數(shù)運算.4設(shè)x, y均為正數(shù)，且x?y1+l g x = 1( x wi 10),求l g ( x y)的取值范圍.解析一個

8、等式中含兩個變量x、y,對每一個確定的正數(shù)x由等式都有惟一的正數(shù)y與之對應(yīng)，故y是x的函數(shù)，從而lg(xy)也是x的函數(shù).因此求lg(xy)的取值范圍實際上是一個求函 數(shù)值域的問題，怎樣才能建立這種函數(shù)關(guān)系呢？能否對已知的等式兩邊也取對數(shù)？解答: x 0 , y 0 ,x?y1+lg x =1 ,兩邊取對數(shù)得：lgx+(1 + l g x) 1 gy=0.即 l g y = lgx1 + l g x(x wi 10,l g xN 1 ).令 l g x= t ,貝U 1 gy = -t1+t ( t 六1).l g (xy) = l g x +1 g y=t t 1 + t =t2 1 +t.

9、解題規(guī)律對一個等式兩邊取對數(shù)是解決含有指數(shù)式和對數(shù)式問題的常用的有效方法；而變量替換可把較復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題.設(shè)S=t2 1 +t,得關(guān)于t的方程t 2-St-S=。有實數(shù)解.A=S2+4S 0,解得 SW-4 或 S 0,故lg (xy )的取值范圍是(一8-4U0 ,+ 8).5求值：(1) lg2 5 +lg2?lg50 + (lg 2 )2 ;(2)2log32-lo g 3329+lo g 38-52log 5 3;(3)設(shè) lga+lgb = 2 1 g(a-2b),求 log2a- 1 o g 2 b 的值;(4)求 71g 2 0?1 2 lg0.7 的值.解析(1 )

10、 25 = 52, 5 0 =5X 10.都化成lg 2與lg 5的關(guān)系式.(2)轉(zhuǎn)化為l。g 32的關(guān)系式.所求1 og2a-l o g 2 b =log2ab由已知等式給出了 a,b之間的關(guān)系，能否從中求出ab的值呢？(4) 7 1 g 2 0?121g0.7是兩個指數(shù)哥的乘積，且指數(shù)含常用對數(shù)，設(shè)x=7 1 g 2 0 ?1 2 1go. 7能否先求出1 gx,再求x?解答(1)原式=lg52+lg2?l g (10X5) +(lg2)2=2 1 g5+lg2?(1+ 1 g5) + (lg 2 ) 2=lg 5 ? (2+lg2)+lg2 + ( 1 g 2)2=lg 1 0 2?(2

11、+ 1 g 2) + lg 2 +( 1 g2)2=(1-1 g 2)( 2 + lg2)+l g 2 +(lg 2 )2=2- 1 g2- (1 g2)2+lg2+(l g 2 ) 2=2.(2)原式=2 1 og32 - (log 325-l o g332)+log323 5log59= 2log32-5log 3 2+2 +3log32 -9=-7.(3)由已知 lg a b = 1 g (a-2b ) 2 ( a -2 b 0), ab= (a2 b)2,即 a2-5 ab+4b2= 0 .1. ab=1 或 ab=4,這里 a 0,b 0 .若 ab = 1,貝U a-2b 0 ,

12、a w 1, c 0 ,c w 1N0)；loga b ?1 o g bc= 1 oga c ;(3) 1 ogab= 1 1 ogba(b 0 , b wi );(4)loga n bm =mnlogab.解析(1 )設(shè)loga N =b得ab=N,兩邊取以c為底的對數(shù)求出b就可能得證.(2)中1 og b c能否也換成以a為底的對數(shù).(3)應(yīng)用(1)將logab換成以b為底的對數(shù).(4)應(yīng)用(1 )將loganbm換成以a為底的對數(shù).解答設(shè)10 g aN=b ,則ab=N,兩邊取以c為底的對數(shù)得：b?logca=logc N , b=log c Nl o gca. logaN=logcNl

13、og c a.(2)由(1) log b c= 1 og a clogab.所以 logab?10gb c = 1 o g ab?logac 1 ogab = l o ga c .(3)由(1 )log a b= 1 ogb b 1 o gba=1logba.解題規(guī)律中10 g aN= 1 ogcN 1 ogca叫做對數(shù)換底公式，(2)(3)(4)是(1)的推論，它們在對數(shù)運算和含對數(shù)的等式證明中經(jīng)常應(yīng)用.對于對數(shù)的換底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)1 og a nbm=l o ga b ml o gaan = mloga b nloga a =mnl o gab.7已知 1

14、 og6 7 =a , 3 b = 4 ,求 log1 2 7.解析依題意a ,b是常數(shù)，求1 o g 127就是要用a,b表示lo g127 ,又3b=4即log 3 4=b,能否將log12 7轉(zhuǎn)化為以6為底的對數(shù)，進而轉(zhuǎn)化為以3為底呢？解答已知 l o g6 7 = a,log3 4 =b ,1.1 o g127=log 6 7log6 1 2=a1+log62.又 log62=l o g3 2 10g 36=lo g 321+log32,由 1 og 34 =b，得 21og32=b. Jo g32 = b2,10g62=b2 1 + b 2 = b2+ b . 1 og127= a

15、1 +b2+b=a(2 + b )2 + 2 b.解題技巧利用已知條件求對數(shù)的值，一般運用換底公式和對數(shù)運算法則，把對數(shù)用已知條件表示出來，這是常用的方法技巧8已知 x,y,z CR+,且 3x = 4y=6z.(1)求滿足2x=py的p值；(2)求與p最接近的整數(shù)值；(3 )求證:1 2y = 1z-1x.解析已知條件中給出了指數(shù)哥的連等式，能否引進中間量m,再用m分別表示x,y,z?又想，對于指數(shù)式能否用對數(shù)的方法去解答？解答(1)解法一 3x=4 y log3 3 x=log3 4 y x=ylog34 2 x =2y 1 og 3 4 = y 1 og316 , p=log 3 16.

16、解法二設(shè)3 x=4 y = m,取對數(shù)得：x?l g3=lgm,ylg4 = 1 gm,x =lgml g3,y=lgmlg4, 2 x=2lg m l g 3 , p y= plgmlg4. 由 2y=py,得 2lgmlg 3 =p 1 gm lg4,p =2lg4l g 3=lg421g 3 = 1 og31 6 .(2) . 2=1o g 39 1 o g 31 6 V 1 o g 3 27= 3 , .2 p 3.又 3- p =1og327-1og31 6 = log 3271 6 , p 2 = 1 og 3 1 6 -log 3 9=log31 6 9, 而 2 7 161 6

17、 9 , I og 3271 6 3 -p.與p最接近的整數(shù)是3.解題思想提倡一題多解.不同的思路，不同的方法，應(yīng)用了不同的知識或者是相同知識的靈活運用， 既發(fā)散了思維，又提高了分析問題和解決問題的能力，何樂而不為呢？(2)中涉及比較兩個對數(shù)的大小.這是同底的兩個對數(shù)比大小.因為底31,所以真數(shù)大的對數(shù)就大，問題轉(zhuǎn)化為比較兩個真數(shù)的大小，這里超前應(yīng)用了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以鼓勵學(xué)生 超前學(xué)習(xí)，自覺學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)積極性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x,y,z C R+, . . k 1 ,則 x = lgml g 3,y= 1 g mlg4,z= 1 g m 1 g 6 ,所以 1z 1x

18、 = lg 6 lgm- 1 g3lg m =lg6-l g 3 1 gm=lg 2 1g m , 12y= 1 2?lg4lgm= 1 g2lgm , 故 1 2y = 1z- lx.解法二 3 x=4y=6 z = m ,則有 3=m1x ，4 =m 1 y,6=m1 z ，得 m 1 z - 1x= 6 3 =2=m12y.1z-1 x =12y.9已知正數(shù) a, b 滿足 a2 + b2 =7ab .求證:lo g m a +b3= 12(1 ogma+l o g m b) (m0 且m w 1). 解析已知a0,b0 , a2+b2 = 7ab.求證式中真數(shù)都只含a,b的一次式，想：

19、能否將真數(shù)中的一次式也轉(zhuǎn)化為二次，進而應(yīng)用a2+b2=7ab?解答 log m a+b3=log m ( a + b 3 ) 212= 解題技巧將a+b3向二次轉(zhuǎn)化以利于應(yīng)用a2+b2=7ab是技巧之一.應(yīng)用a 2 + b2=7ab將真數(shù)的和式轉(zhuǎn)化為ab的乘積式，以便于應(yīng)用對數(shù)運算性質(zhì)是技巧之二.12 1 ogm a + b 32= 1 2lo g ma2+b 2 +2ab9 . ,. a2+ b 2= 7 a b,log m a + b3= 1 210gm7ab + 2 a b9=1 210gma b= 1 2(lo gma + lo g m b ), 即 1 o gm a +b3 = 1

20、2 (lo g m a + logmb).思維拓展發(fā)散1數(shù)學(xué)興趣小組專門研究了科學(xué)記數(shù)法與常用對數(shù)間的關(guān)系.設(shè)真數(shù)N=axi0n.其中N 0,1 Wal0,nCZ.這就是用科學(xué)記數(shù)法表示真數(shù)N .其科學(xué)性體現(xiàn)在哪里？我們只要研究數(shù) N的 常用對數(shù)，就能揭示其中的奧秘 .解析由已知，對 N= a X10n取常用對數(shù)得,1 gN=n+1ga.真數(shù)與對數(shù)有何聯(lián)系？解答 1 g N=1g(a X10n尸n+lga.n Z , 1 a 10, .1 g a 0,1).我們把整數(shù)n叫做N的常用對數(shù)的首數(shù)， 把1 g a叫做N的常用對數(shù)的尾數(shù)，它是正的純小數(shù) 或0 .小結(jié):lgN的首數(shù)就是N中1 0 n的指

21、數(shù)，尾數(shù)就是1ga,0 lg 0 ,1 g N的首數(shù)和尾數(shù)與 axi 0n有什么聯(lián)系？有效數(shù)字相同的不同正數(shù)其常用對數(shù)的什么相同？什么不同？2若lg x的首數(shù)比lg 1x的首數(shù)大 9,1 gx的尾數(shù)比lg 1x的尾數(shù)小03 80 4,且1g0.203 4=1 . 3 08 3 ,求 1gx,x , 1g1 x 的值.解析 1g0. 203 4=1308 3,即 lgO. 2 0 3 4=1 +0. 308 3, 1 是對數(shù)的首數(shù)，0 .30 8 3是對數(shù)的尾數(shù)，是正的純小數(shù)；若設(shè)1 g x= n +1 g a,則1g1x也可表出.解答設(shè) 1 gx=n+1ga,依題意 1 g1x=(n-9) +

22、 ( 1 g a + 0 .380 4).又 lg 1 x=- 1 g x=-(n+1ga),(n- 9 )+(1ga+038 0 4 )= -n-1 g a,其中 n-9 是首數(shù)，lga+0 3 8 0 4 是尾數(shù),-n-1ga= (n+1)十 ( 1 -1ga),-(n +1)是首數(shù)1-1 g a是尾數(shù)，所以:n-9=-(n + 1)lga+ 0. 3 8 0 4=1 lga n= 4 , 1 g a= 0 .308 3.-1 g x= 4+0.308 3=4.3083 ,. 1g0.203 4=1.3083 , . x = 2 .03 4 M04.1 g 1 x = - (4+ 0 .3

23、 0 83)=5 . 691 7 .解題規(guī)律把Igx的首數(shù)和尾數(shù)，1g1x的首數(shù)和尾數(shù)都看成未知數(shù)，根據(jù)題目的等量關(guān)系列方程.再由同 一對數(shù)的首數(shù)等于首數(shù)，尾數(shù)等于尾數(shù)，求出未知數(shù)的值，是解決這類問題的常用方法.3計算：(1)1og 2 -3( 2 + 3)+ 1 o g 6 ( 2 + 3 + 2 3 );(2)21g(1 g a 1 0 0 )2+ 1 g(1ga ).解析(1 )中.2+3與2 3有何關(guān)系？ 2 +3+2- 3雙重根號，如何化簡？(2)中分母已無法化簡，分子能化簡嗎？解題方法認真審題、理解題意、抓住特點、找出明確的解題思路和方法，不要被表面的繁、難所嚇倒.解答原式=10g

24、2- 3 (2-3) - 1 + 12 1 o g 6(2+3+2- 3 )2=-1+ 1 2 1 og6( 4 + 22 + 3?2 -3)=-1 + 1210g 6 6=-12.(2 )原式=2 1 g ( 1 001ga) 2 + 1g(1 g a) = 2 1g 1 0 0+1 g (1g a )2+ 1 g(1ga)= 2 2+ 1 g( 1 g a)2+1 g ( 1ga)=2.4已知 10g2x=1og 3 y= 1 o g 5z 0，比較 x ,3 y , 5 z 的大小.解析已知是對數(shù)等式，要比較大小的是根式，根式能轉(zhuǎn)化成指數(shù)哥，所以，對數(shù)等式應(yīng)設(shè)法轉(zhuǎn)化為指數(shù)式.解答設(shè) 1o

25、g2 x =1og3y=1og 5 z=m0 .貝Ux=2m,y=3m,z= 5 m.x= (2)m,3y=(33) m, 5z=(55 ) m.下面只需比較2與33 ,55的大?。?2)6=2 3 = 8, (33)6=3 2 =9 ,所以 25 5 . 5 5V 2 3 3.又 m0,圖2-7-1考查指數(shù)函數(shù)y= (2)x, y = (33) x, y = (5 5)x在第二象限的圖像，如圖 2-7-1解題規(guī)律轉(zhuǎn)化的思想是一個重要的數(shù)學(xué)思想，對數(shù)與指數(shù)有著密切的關(guān)系，在解決有關(guān)問題時要充分注意這種關(guān)系及對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化比較指數(shù)相同，底不同的指數(shù)哥(底大于0)的大小，要應(yīng)用多個指數(shù)函

26、數(shù)在同一坐標(biāo)系中第 一象限(指數(shù)大于0)或第二象限(指數(shù)小于0)的性質(zhì)進行比較是y =(55)x,是y=( 2 )x，是y=(33 ) x.指數(shù)m0時，圖像在第二象限從下到上，底從大到小.所以(3 3)m(2)m(55) m ,故 3 y v x0,b 0 ,M1)，且 lo gM b =x，則 1 ogMa 的值為()A 若 1 o g63= 0 .6 73 1 , 10 g 6x=-0.32 6 9,貝U x 為()A 若 1 og5log 3 (lo g 2 x)= 0,貝U x=.98l og8 7 ?log76?l o g65=.10 如果方程 l g 2x+ (lg2+ 1 g3)

27、 l gx+l g 2?lg 3 = 0 的兩根為 x1、x2 ,那么 x1?x2 的值為.11生態(tài)學(xué)指出：生物系統(tǒng)中，每輸入一個營養(yǎng)級的能量，大約只有1 0%的能量流到下一個營 養(yǎng)級.H1 一 H2 H3 一 HQ H5 一 H6這條生物鏈中(H n表示第n個營養(yǎng)級，n =1,2,3 , 4, 5,6).已知對H1輸入了 10 6千焦的能量，問第幾個營養(yǎng)級能獲得10 0千焦的能量？1 2 已知 x,y,z 6 R + 且 3x = 4y= 6 z,比較 3 x ,4y, 6 z 的大小.1 3已知a,b均為不等于1的正數(shù)，且axb y =a y bx= 1 ,求證x2=y2.14 已知 2a

28、?5b=2c?5d=10 ,證明(a- 1) (d-1)=(b1) (c-1).15 設(shè)集合 M = x|lgax2-2 (a+1)x-10，若M w , M x|x0且x+1豐1真數(shù)x+ 1 0 .6 .A點撥：對ab=M取以M為底的對數(shù).7 .C 點撥：注意 0.6 7 3 1 + 0 .326 9= 1 , 1 o g 6 1x=0 . 3 26 9 , 所以 1 og63+log6 1 x=l o g63 x =1.3 x=6 , x= 1 2.8 .x= 8 點撥：由外向內(nèi).lo g 3 ( 1 o g2x) = 1, lo g2x= 3 , x =23.9 . 5 點撥:l o g 8 7?lo g 76? 1 og65=l o g85, 8 1 og85 = 5.10.1 6點撥：關(guān)于1 g x的一元二次方程的兩根是1 g x1 , 1 g x 2.由 1 g x 1=-l g 2, lgx2 =