設函數fx的定義域為I學習教案

1、會計學1設函數設函數fx的定義域為的定義域為I第一頁，編輯于星期二：九點 一分。設函數設函數 f(x) 的定義域為的定義域為 I :一、函數的單調性一、函數的單調性注注: 函數是增函數還是減函數是對定義域內某個函數是增函數還是減函數是對定義域內某個區(qū)間區(qū)間而言的而言的. 有的有的函數在一些區(qū)間上是增函數函數在一些區(qū)間上是增函數, 而在另一些區(qū)間上可能是減函數而在另一些區(qū)間上可能是減函數. . 如果對于屬于定義域如果對于屬于定義域 I 內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值 x1, x2, 當當 x1x2 時時, 都有都有 f(x1)f(x2), 那么就說那么就說 f(

2、x) 在這個區(qū)間上是增在這個區(qū)間上是增函數函數; 如果對于屬于定義域如果對于屬于定義域 I 內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值值 x1, x2, 當當 x1f(x2), 那么就說那么就說 f(x) 在這個區(qū)間上在這個區(qū)間上是減函數是減函數.第1頁/共20頁第二頁，編輯于星期二：九點 一分。 如果函數如果函數y=f(x)在某個區(qū)間是增函數或減函數在某個區(qū)間是增函數或減函數, 那么就說函數那么就說函數 y=f(x) 在這一區(qū)間上具有在這一區(qū)間上具有( (嚴格的嚴格的) )單調性單調性, 這一區(qū)間叫做函數這一區(qū)間叫做函數 y=f(x) 的單調區(qū)間的單調區(qū)間.二、單調區(qū)間二

3、、單調區(qū)間1.取值取值: 對任意對任意 x1, x2M, 且且 x10(0, b0) 的單調區(qū)的單調區(qū)間間.xb解解: 函數函數 f(x) 的的定義域為定義域為(-, 0)(0, +), 典型例題典型例題函數函數 f(x) 的導函數的導函數 f (x)=a- - = , bx2ax2- -b x2函數函數 f(x) 的單調遞增區(qū)間是的單調遞增區(qū)間是 (-, - - ) 與與 ( , +), abab函數函數 f(x) 的單調遞減區(qū)間是的單調遞減區(qū)間是 (- - , 0) 與與 (0, ). abab令令 f (x)0 得得: x2 - - x0 或或 0 x0 得得: x2 x ; ababa

4、b第5頁/共20頁第六頁，編輯于星期二：九點 一分。 求函數的單調區(qū)間是單調性學習中的最基本的問題求函數的單調區(qū)間是單調性學習中的最基本的問題, 但必須但必須注意注意, 如果函數的解析式含有如果函數的解析式含有參數參數, 而且參數的取值影響函數的單調而且參數的取值影響函數的單調區(qū)間區(qū)間, 這時必須對參數的取值進行這時必須對參數的取值進行分類討論分類討論. 注注: 這個函數的單調性十分重要這個函數的單調性十分重要, 應用非常廣泛應用非常廣泛, 它的圖象如圖它的圖象如圖所示所示:oyx2 ab- -2 ab baba- -第6頁/共20頁第七頁，編輯于星期二：九點 一分。2.求函數求函數 f(x)

5、= x+2 - - ax 的單調區(qū)間的單調區(qū)間.解解: 函數函數 f(x) 的的定義域為定義域為-2, +), 當當 a0 時時, f (x)0( (x(- -2, +) ), 當當 a0 時時, 定義域定義域-2, +)為為 f(x) 的單調遞增區(qū)間的單調遞增區(qū)間; f (x)= - -a= , 2 x+2 1 2 x+2 1- -2a x+2 當當 a0 時時, 令令 f (x)0, 則則 2a x+2 1. 4a2(x+2)1 而而 f(x) 的單調遞減區(qū)間是的單調遞減區(qū)間是 ( - -2, +). 4a2 1 x - -2; 4a2 1 令令 f (x) - -2. 4a2 1 當當

6、a0 時時, f(x) 的單調遞增區(qū)間是的單調遞增區(qū)間是 - -2, - -2),4a2 1 第7頁/共20頁第八頁，編輯于星期二：九點 一分。3.試討論函數試討論函數 y=2log2 x- -2log x + 1 的單調的單調性性.1212解解: 令令 t=log x, 則則 t 關于關于 x 在在 (0, +) 上單調遞減上單調遞減.12而而 y=2t2- -2t+1 在在 (-, 上單減上單減, 在在 , +) 上單上單增增,1212又由又由 t得得 x , 1222由由 t 得得 0 x , 1222故函數故函數 y=2log2 x- -2log x+1 在在 , +) 上單調遞增上單

7、調遞增, 在在 (0, 上單調遞減上單調遞減.12122222第8頁/共20頁第九頁，編輯于星期二：九點 一分。 4.設函數設函數 f(x)=kx3+3(k- -1)x2- -k2+1. (1)當當 k 為何值時為何值時, 函數函數 f(x) 的的單調遞減區(qū)間是單調遞減區(qū)間是 (0, 4); (2)當當 k 為何值時為何值時, 函數函數 f(x) 在在(0, 4)內單調遞內單調遞減減.不等式不等式 f (x)0 的解集為的解集為( (0, 4) ), 0 與與 4 是方程是方程 kx2+2(k- -1)x=0 的兩根的兩根,即即 kx2+2(k- -1)x0 的解集為的解集為( (0, 4)

8、), 故由根與系數的關系可求得故由根與系數的關系可求得 k 值為值為 . 13(2)命題等價于命題等價于 kx2+2(k- -1)x0 對對 x (0, 4) 恒成立恒成立, 設設g(x)=kx+2(k- -1), 等價于等價于 kx+2(k- -1)0 對對 x (0, 4) 恒成立恒成立, 由于由于 g(x) 的圖象為一條直線的圖象為一條直線, g(0)0 g(4)0 k . 13則則 ( (或分離變量或分離變量 k0 得得: x- -1 或或 0 x1; 由由g (x)0 得得: - -1x1. 故故 g(x) 的單調遞增區(qū)間是的單調遞增區(qū)間是 (- -, - -1) 與與 (0, 1)

9、;單調遞減區(qū)間是單調遞減區(qū)間是 (- -1, 0) 與與 (1, +).5.已知已知 f(x)=8+2x- -x2, 若若 g(x)=f(2- -x2), 試確定試確定 g(x) 的單調區(qū)間的單調區(qū)間.第11頁/共20頁第十二頁，編輯于星期二：九點 一分。 6.已知已知f(x)是定義在是定義在R上的增函數上的增函數, 對對xR有有f(x)0, 且且f(5)=1, 設設F(x)=f(x)+ , 討論討論 F(x) 的單調性的單調性, 并證明你的并證明你的結論結論. f(x) 1 分析分析: 這是抽象函數的單調性問題這是抽象函數的單調性問題, 應該用單調性定義解決應該用單調性定義解決. 解解: 在

10、在 R 上任取上任取 x1, x2, 設設 x1f(x1) 且且:F(x2)- -F(x1)=f(x2)+ - -f(x1)+ f(x1)1f(x2)1=f(x2)- -f(x1)1- - . f(x1)f(x2) 1f(x) 是是 R 上的增函數上的增函數, 且且 f(5)=1, 當當 x5 時時 0f(x)1, 而當而當 x5 時時 f(x)1.若若 x1x25, 則則 0f(x1)f(x2)1, 0f(x1)f(x2)0, F(x2)F(x1); 1- - x15, 則則 f(x2)f(x1)1, f(x1)f(x2)1, 綜上綜上, F(x) 在在 (- -, 5 上上為減函數為減函數

11、, 在在 5, +) 上上為增函數為增函數.f(x2)- -f(x1)0, F(x2)F(x1). 1- - 0, f(x1)f(x2) 1第12頁/共20頁第十三頁，編輯于星期二：九點 一分。(1)證證: 由已知由已知, 對任意的對任意的 x1, x2(-, +) 且且 x10, f(x2- - x1)1. f(x2- - x1)- -10. f(x2)- -f(x1)0 即即 f(x2)f(x1). f(x) 是是 R 上上 的增函數的增函數.(2)解解: f(4)=5, 令令 a=b=2 得得: f(4)=f(2)+f(2)- -1, 從而從而 f(2)=3.原原不等式等價于不等式等價于

12、 f(3m2- -m- -2)f(2).f(x) 是是 R 上上 的增函數的增函數, 3m2- -m- -22, 即即 3m2- -m- -40. 解得解得: - -1m . 4343故不等式故不等式 f(3m2- -m- -2)0 時時, 有有 f(x)1. (1)求證求證: f(x) 是是 R 上上 的增函數的增函數; (2)若若 f(4)=5, 解不等解不等式式 f(3m2- -m- -2)0. 解得解得: - -1x0. 1x2 1- -x1 1+x1 1- -x2 1+x2 又對任意的又對任意的 x1, x2(0, 1) 且且 x10, 且有且有: 1x1 1x2 1+x21+x10

13、; 1- -x11- -x20, 1- -x1 1+x1 1- -x2 1+x2 - - 0. log2 - -log2 0. 1- -x1 1+x1 1- -x2 1+x2 即即 f(x1)f(x2). 函數函數 f(x) 在在 (0, 1) 內單調遞減內單調遞減. 由于由于 f(x) 是奇函數是奇函數,故故函數函數 f(x) 在在 (- -1, 0) 內也單調遞減內也單調遞減. 第14頁/共20頁第十五頁，編輯于星期二：九點 一分。 9.已知函數已知函數 f(x) 的定義域為的定義域為 (- -, 0)(0, +), 且滿足條件且滿足條件: f(xy)=f(x)+f(y), f(2)=1,

14、 當當 x1 時時, f(x)0. (1)求證求證: f(x)為偶函數；為偶函數；(2)討論函數的單調性；討論函數的單調性；(3)求不等式求不等式 f(x)+f(x- -3)2的的解集解集.(1)證證: 在中令在中令 x=y=1, 得得 f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0. 令令 x=y=- -1, 得得 f(1)=f(- -1)+f(- -1)f(- -1)=0. 再令再令 y=- -1, 得得 f(- -x)=f(x)+f(- -1)=f(x). f(x) 為偶函數為偶函數. 先討論先討論 f(x) 在在 (0, +) 上的單調性上的單調性, 任取任取x1, x2, 設設x2x10

15、, f(x2)f(x1). f(x) 在在 (0, +) 上是增函數上是增函數, 由由 (1) 知知, f(x) 在在(- -, 0) 上是減函數上是減函數. 偶函數圖象關于偶函數圖象關于 y 軸對稱軸對稱, (2)解解: 在中令在中令 y=, 得得: x1由知由知 f( )0. x2 x1 1, x2 x1 f(1)=f(x)+f( )f( ) =- -f(x), x 1 x 1 則則 f(x2)- -f(x1)=f(x2)+f( )=f( ). x2 x1 x1 1 第15頁/共20頁第十六頁，編輯于星期二：九點 一分。(3)解解: fx(x- -3)=f(x)+f(x- -3)2, 由由

16、 、 得得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(- -4), 1) )若若 x(x- -3)0, f(x) 在在 (0, +) 上為增函數上為增函數, 由由 fx(x- -3)f(4) 得得: 2) )若若 x(x- -3)0 x(x- -3)4 x3 - -1x4 - -1x0 或或 3x4; x(x- -3)0 x(x- -3)- -4 0 x3. 0 x3 x R 原不等式的解集為原不等式的解集為-1, 0)(0, 3)(3, 4 . 注注 抽象函數問題是函數學習中一類比較特殊的問題抽象函數問題是函數學習中一類比較特殊的問題, 其基本方其基本方法是變量代換、換元等法是變量代換、

17、換元等, 應熟練掌握它們的這些特點應熟練掌握它們的這些特點. 法二法二 原不等式等價于原不等式等價于 f|x(x- -3)|f(4)( (x 0, x- -3 0) ), 由由 f(x) 在在 (0, +) 上為增函數得上為增函數得: |x(x- -3)|4. 再進一步求得解集再進一步求得解集.第16頁/共20頁第十七頁，編輯于星期二：九點 一分。 10.(04福建福建)已知已知f(x)= (xR) 在區(qū)間在區(qū)間-1, 1 上是增函上是增函數數. ( (1) )求實數求實數 a 的值所組成的集合的值所組成的集合 A；( (2) )設關于設關于 x 的方程的方程 f(x)= 的兩個非零實根為的兩

18、個非零實根為 x1, x2. 試問試問: 是否存在實數是否存在實數 m, 使使得不等式得不等式m2+tm+1|x1- -x2| 對任意對任意 aA 及及 t-1, 1 恒成立恒成立? 若存在若存在, 求求 出出 m 的取值范圍；若不存在的取值范圍；若不存在, 說明理由說明理由.x2+2 2x- -a 1x解解: ( (1) )f (x)= = . 4+2ax - -2x2 (x2+2)2 - -2(x2 - -ax - -2) (x2+2)2 f(x) 在區(qū)間在區(qū)間-1, 1 上是增函數上是增函數, f (x)0 對對 x-1, 1 恒成立恒成立. 即即 x2 - -ax - -20 對對 x

19、-1, 1 恒成立恒成立. 設設 (x)=x2- -ax- -2. 方法一方法一: - -1a1. (1)=1- -a - -20 (- -1)=1+a - -20 對對 x-1, 1 , f(x) 是連續(xù)函數是連續(xù)函數, 且只有當且只有當 a=1 時時, f (- -1)=0以及當以及當 a=- -1 時時, f (1)=0, A=a | - -1a1 . 第17頁/共20頁第十八頁，編輯于星期二：九點 一分。方法二方法二: 對對x-1, 1 , f(x) 是連續(xù)函數是連續(xù)函數, 且只有當且只有當 a=1 時時, f (- -1)=0以及當以及當 a=- -1 時時, f (1)=0, A=a | - -1a1 . (- -1)=1+a - -20 a20 0a1 或或 - -1a0 (1)=1- -a- -20 a20, x1, x2 是方程是方程 x2- -ax- -2=0 的兩實根的兩實根. 從而從而 |x1- - x