討論隱函數(shù)的存在性連續(xù)性與可微性不僅是出于深刻了學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1討論隱函數(shù)的存在討論隱函數(shù)的存在(cnzi)性連續(xù)性與可微性連續(xù)性與可微性不僅是出于深刻了性不僅是出于深刻了第一頁，共39頁。方程式所確定的函數(shù),通常稱為(chn wi)隱函數(shù)例如： 3221sinyx, zxy .2/32/32/333330 xya, xyzxy.一、隱函數(shù)(hnsh)概念顯函數(shù)：因變量可由自變量的某一分析(fnx)式來表示的函數(shù)稱為顯函數(shù)例如： 隱函數(shù)：自變量與因變量之間的關(guān)系是由某一個隱函數(shù)一般定義： 2R ,:R,EFE設(shè)和方程設(shè)和方程第1頁/共39頁第二頁，共39頁。則成立(chngl)恒等式.,0) )(,(IxxfxF R,IJxI若存在 、使得對任一若

2、存在 、使得對任一有惟一確定的yJ 與之對應(yīng), 能使 ( , ),x yE 且滿足方程 (1) , 則稱由方程 (1) 確定了一個定義在 , 值域含于IJ, )(JyIxxfy 的隱函數(shù)(hnsh). 如果把此隱函數(shù)(hnsh)記為 ( , )0.(1)F x y 第2頁/共39頁第三頁，共39頁。122 yx取值范圍例如由方程可確定如下兩 個函數(shù)(hnsh)： 注2 不是任一方程 都能確定隱函數(shù), 0),( yxF例如 顯然不能確定任何隱函數(shù) 0122 yx注1 隱函數(shù)(hnsh)一般不易化為顯函數(shù)(hnsh)，也不一定需要 )(xfy 化為顯函數(shù)上面把隱函數(shù)仍記為 ，這 與它能否用顯函數(shù)表

3、示(biosh)無關(guān) 注3 隱函數(shù)一般需要同時指出自變量與因變量的 第3頁/共39頁第四頁，共39頁。在2 還要討論由多個方程確定(qudng)隱函數(shù)組的問題. . 0,1, 1,1, )1()(; 1,0, 1,1, )1()(2221 yxxxfyyxxxfy注4 類似地可定義多元隱函數(shù)例如: 由方程 0),( zyxF, ),(yxfz 確定的隱函數(shù) 由方程 0),( uzyxF,),(zyxfu 確定的隱函數(shù) 等等. 第4頁/共39頁第五頁，共39頁。二、隱函數(shù)存在性條件(tiojin)分析 條件時，由方程 (1) 能確定隱函數(shù) , 并使 )(xfy ),(yxF要討論的問題是：當函數(shù)

4、 滿足怎樣一些 該隱函數(shù)具有(jyu)連續(xù)、可微等良好性質(zhì)? )(xfy ),(yxFz (a) 把上述看作曲面 與坐標 0 z平面的交線，故至少要求該交集非空，即 ),(000yxP . )(,0),(0000 xfyyxF ，滿足 連續(xù)是合理的0P)(xfy 0 x),(yxF(b) 為使 在 連續(xù)，故要求 在點 第5頁/共39頁第六頁，共39頁。0),(00 yxFy由此可見，是一個重要條件000000d( ,( )(,)(,)()0,dx xxyF x f xFxyFxyfxx點 存在切線，而此切線是曲面 在點 ),(yxFz 0P的切平面與 的交線，故應(yīng)要求 在 0P),(yxF0

5、z)(xfy 0 x)(xfy (c) 為使 在 可導(dǎo)，即曲線在 0P. )0,0(),(, ),(0000 yxFyxFyx點 可微，且 (d) 在以上條件(tiojin)下，通過復(fù)合求導(dǎo)數(shù), 由 (1) 得到 00000(,)()(,)xyFxyfx.Fxy 第6頁/共39頁第七頁，共39頁。三、隱函數(shù)(hnsh)定理定理11.1 ( 隱函數(shù)存在惟一(wiy)性定理 ) 設(shè)方程 (1) 中 ),(yxF的函數(shù) 滿足以下四個條件： ),(000yxP2R D(i) 在以 為內(nèi)點的某區(qū)域 上連續(xù)； (ii) ( 初始條件 )；0),(00 yxFD),(yxFy(iii) 在 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)

6、數(shù) ； 00(,)0.yFxy (iv) 則有如(yur)下結(jié)論成立：第7頁/共39頁第八頁，共39頁。00( ),(,),yf xxxx;0)(,(, )()(,(0 xfxFPUxfx在 上連續(xù))(2xf),(00 xx惟一地確定了一個(y )隱函數(shù) 它滿足(mnz)： 00()f xy),(00 xxx, 且當 時, 使得 證 首先(shuxin)證明隱函數(shù)的存在與惟一性證明過程歸結(jié)起來有以下四個步驟 ( 見圖111 )： DPU )(0)(0PU存在某鄰域 ，在 內(nèi)由方程 (1) 1 第8頁/共39頁第九頁，共39頁。 (c) 同號兩邊伸 x0 xy0yO0 x0 x0 y0y(d)

7、利用介值性 x0 xy0yO0 x0 x0()U P0y0y( )yf x (b) 正、負上下分_+_0 xyO0 x0 x0 x0y0y0y (a) 一點正,一片正+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x0 x0 x0 x0y0yNoImage0yyO圖 111第9頁/共39頁第十頁，共39頁。0000, ,SxxyyD.其中其中,),(,0),(SyxyxFy 00(,)0.yFxy (a) “一點(y din)正, 一片正 ”由條件(tiojin) (iv), 不妨設(shè)

8、 ),(yxFy因為 連續(xù)，所以根據(jù) 保號性， 使得 0, (a) 一點正,一片正+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x0 x0 x0 x0y0yNoImage0yySO第10頁/共39頁第十一頁，共39頁。00(,)0,F xy (b) 正、負上下分_+_0 xyO0 x0 x0 x0y0y0y(b) “正、負上下(shngxi)分 ” ,),(,0),(SyxyxFy , ,00 xxx因 故 y),(yxF,00 yy把 看作 的函數(shù)，它在 上 嚴格(yng)增，且

9、連續(xù) ( 據(jù)條件 (i) ) 0(, ),F xy特別對于函數(shù) 由條 00(,)0F xy 件可知件可知00(,)0.F xy 第11頁/共39頁第十二頁，共39頁。因為 關(guān)于 連續(xù)，故由 ),(, ),(00 yxFyxFx (b) 的結(jié)論，根據(jù)保號性， 使得 , )0( 0( ,)0,F x y (c) 同號兩邊伸 x0 xy0yO0 x0 x0 y0y(c) “同號兩邊(lingbin)伸” (d) “利用(lyng)介值性” , ),(00 xxx), (yxFy因 關(guān)于 連續(xù), 且嚴 格增，故由 (c) 的結(jié)論，依據(jù)(yj)介值性定理, 存在惟 0( ,)0,F x y 00(,).

10、xxx第12頁/共39頁第十三頁，共39頁。(d) 利用介值性 x0 xy0yO0 x0 x0()U P0y0y( )yf x滿足00(,),yyy一的 就證得存在(cnzi)惟一的隱函數(shù): .0), ( yxF由的任意性, 這 x0000(,),(,).xIxxyJyy ,)(0JIPU 1若記 則定理結(jié)論 得證 下面再來證明上述(shngsh)隱函數(shù)的連續(xù)性: 00(,) ,xxx即即欲證上述 在 連續(xù). )(xfx( ),yf x 第13頁/共39頁第十四頁，共39頁。00,yyyy( ,)0 ,( ,)0 .F x yF x y類似于前面 (c) ， 使得, 0 ( , )0,F x

11、y ),(yxFy由 對 嚴格增，而 ( ).yf x 其中其中推知(tu zh) .xxOyxxyyy0y0y0P.圖 112 足夠小，使得 ,0 如圖 112 所示,取第14頁/共39頁第十五頁，共39頁。, ),(),(00 xxxx.0),(,0),( yxFyxF, ),(,)( xxxyxfy在 上處處連續(xù)),(00 xx因此 在連續(xù). 由的任意性, 便證得 x)(xf)(xfx),( xxx且當 時，有 類似于前面 (d) ，由于(yuy)隱函數(shù)惟一，故有 第15頁/共39頁第十六頁，共39頁。注1 定理(dngl) 11.1 的條件 (i) (iv) 既是充分條件, 又 是一組

12、十分重要的條件(tiojin). 例如： 在點 雖 ,0)0 , 0(,0),(33 yFxyyxF)0,0(.xy 不滿足條件 (iv)，但仍能確定惟一的隱函數(shù) 0)(),(22222 yxyxyxF (雙紐線), 在 點 同樣不滿足)0,0(條件(tiojin) (iv); 如圖113 所示, 在該點無論多xyO11 圖 113么小的鄰域內(nèi), 確實 第16頁/共39頁第十七頁，共39頁。用這兩個較強的條件，一則是使用(shyng)時便于檢驗， 的作用(zuyng)二則是在后面的定理(dngl) 11.2 中它們還將起到實質(zhì)性 注3 讀者必須注意, 定理 11.1 是一個局部性的隱 函數(shù)存在

13、定理例如從以上雙紐線圖形看出: 除了 )0, 1( , )0, 1( , )0, 0( 三點以外, 曲線上其余各點處都 注 2 條件 (iii) 、 (iv) 在證明中只是用來保證在鄰 )(0PU域 內(nèi) 關(guān)于為嚴格單調(diào)之所以采 ),(yxFy不能確定惟一的隱函數(shù). 第17頁/共39頁第十八頁，共39頁。存在局部隱函數(shù) ( 這不難用定理 11.1 加 )(xfy 以檢驗(jinyn)，見后面第四段的例) 注4 在方程 中, 0),( yxFxy與 的地位是平等 的. 當條件(tiojin) (iii) 、 (iv) 改為 . )(ygx 時，將存在局部的連續(xù)隱函數(shù) ),(yxFx0),(00 y

14、xFx 連續(xù), 且 “”第18頁/共39頁第十九頁，共39頁。),(yxF定理 11.2 ( 隱函數(shù)可微性定理 ) 設(shè)函數(shù) 滿 D足定理 11.1 中的條件 (i) (iv), 在 內(nèi)還存在連 ),(yxFx0),( yxF續(xù)的 . 則由方程 所確定的隱 函數(shù) 在 I 內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且)(xfy ( , )( )( , ).(2)( , )xyFx yfx,x yIJFx y ( 注: 其中(qzhng)00(,)Jyy與與),(00 xxI示于定理(dngl)11.1 的證明 (d) ).第19頁/共39頁第二十頁，共39頁。( )()yf x , yyf xxJ. .0),(, 0),

15、( yyxxFyxF使用微分中值定理, 使得 , )10( 0(,)( , )F xx yyF x y ,Ixxx 證 設(shè)則 由條件(tiojin)易知 F 可微，并有 (,)yFxx yyy, (,)xFxx yyx第20頁/共39頁第二十一頁，共39頁。.),(),(yyxxFyyxxFxyyx 顯然也是連續(xù)函數(shù))(xf 0 x,0 yyxFFf,因 都是連續(xù)函數(shù), 故 時并有 00(,)( )limlim(,)xxxyFxx yyyfxxFxx yy ( , ),( , ).( , )xyFx yx yIJFx y 第21頁/共39頁第二十二頁，共39頁。,0),(),( yyxFyxF

16、yx.0)( yFyyFFyFFyyyxyyxxx(3)2232.xyxyyxxxyyyF F FF FF FF),(yxF注1 當 存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時，所得隱函 數(shù)也二階可導(dǎo)應(yīng)用(yngyng)兩次復(fù)合求導(dǎo)法，得 將 (2) 式代入上式，經(jīng)整理(zhngl)后得到 21(2)xxxyyyyyFF yF yF第22頁/共39頁第二十三頁，共39頁。注2 利用公式(gngsh) (2) , (3) 求隱函數(shù)的極值:0 y 00 xFF( , )A x y% % %(a) 求使 的點 , 即 的解 0 xFA(b) 在點 處因，而使 (3) 式化簡為 .AyxxAFFy (4)0 (0)Ay 或

17、或(c) 由極值判別法, 當 時, 隱函數(shù) 在 取得極大值(或極小值).y( )yf x x第23頁/共39頁第二十四頁，共39頁。設(shè)在以點 為內(nèi)點的某區(qū)域 上, ),(0000zyxP3R D,0),(000 zyxF.0),(000 zyxFz則存在某鄰域 在其內(nèi)存在惟一的、連 ,)(0DPU 續(xù)可微的隱函數(shù) ，且有),(yxfz 注3 由方程(fngchng) 0),( zyxF(5),(yxfz 確定隱函數(shù)的相關(guān)定理簡述如下： F 的所有一階偏導(dǎo)數(shù)(do sh)都連續(xù)，并滿足 第24頁/共39頁第二十五頁，共39頁。0),(21 yxxxFn,.yxxyzzFFzzffxFyF (6)

18、更一般(ybn)地，由方程 ),(21nxxxfy 確定隱函數(shù) 的相關(guān)定理, 見華 師大下冊 p.149 上的定理18.3 , 這里不再(b zi)詳述. 第25頁/共39頁第二十六頁，共39頁。0)(22222 yxyx解 令 它有連續(xù)的 ,)(),(22222yxyxyxF .2)(4,2)(42222yyxyFxyxxFyx 求解 分別得到 ,0),(0),(0),(0),( yxFyxFyxFyxFyx與與四、隱函數(shù)(hnsh)求導(dǎo)數(shù)舉例 例1 試討論(toln)雙紐線方程 ( )( ).yf xxg y或或所能確定的隱函數(shù) 第26頁/共39頁第二十七頁，共39頁。再考慮隱函數(shù)的極值由

19、于 )(xfy 26(0,0)(,)0,44xxFF在其他(qt)所有點處都存在局部的可微隱函數(shù)( ).xg y )0, 1( , )0, 0( 所以，除 這三點外，曲線上在其他 . )(xfy 所有點處都存在局部的可微隱函數(shù) )42,46(, )0, 0( 同理，除 這五點外，曲線上 (0,0)1,00.yyFF第27頁/共39頁第二十八頁，共39頁。, )126(2),(22 yxyxFxx62,( );44f xx 因此在處取得極大值由對稱因此在處取得極大值由對稱622623(,),(,),442442yxxFF 62(,)443 2320222y性又知, 62( ).44f xx 在處

20、還取得極小值在處還取得極小值第28頁/共39頁第二十九頁，共39頁。各點處都能確定局部的隱函數(shù))(xfy 例2 討論(toln)笛卡兒葉形線(圖114) )0(333 aaxyyx(7)(xfy 所確定的隱函數(shù) 的存在 性，并求其一階、二階導(dǎo)數(shù)(do sh) .3),(33axyyxyxF 解 令 0)(32 xayFy先求出在曲線 (7) 上使 的點為 )2,4(, )0 , 0(33aaBO . 除此兩點外, 方程 (7) 在其他 圖 114第29頁/共39頁第三十頁，共39頁。然后(rnhu)再算出:.)(3)(32222xayxyaxayyaxFFyyx 22254 () ,yxxF

21、Fx yax為了使用(shyng)公式 (3) , 先算出: 由公式(gngsh) (2) 求得 22254 ()(),xyxyF F Fa yaxxay 22254 () .xyyF Fy xay第30頁/共39頁第三十一頁，共39頁。3232.()a xyyax 2232xyxyyxxxyyyF F FF FF FyF 2222222354 ()()()() 27()a yaxxayx yaxy xayyax22333232 3()()ax yxy xyayax223232 3(3)()ax yxyaxyayax第31頁/共39頁第三十二頁，共39頁。平切線(qixin)和垂直切線(qix

22、in)0 y類似于例1 的方法, 求出曲線上使 的點為 . )4,2(33aaA在幾何上，它是兩條曲線 0),( yxF0),( yxFx和,024|3 ayA的交點 (見圖). 容易驗證 所以 )(xfy A34 .a隱函數(shù)在點 取得極大值 AB以上討論同時說明, 該曲線在點 和 分別有水 例3 試求由方程 所確定的隱 3230 xyzxyz函數(shù) 在點 處的全微分 (0,1,1)P( , )zf x y 第32頁/共39頁第三十三頁，共39頁。2(31)d0,xyzz332(2 )d(3)dyzxxxzyyd3dd0,dd3d .Pxyzzxy解法 1 ( 形式計算法 ) 對方程兩邊(lin

23、gbin)微分，得( , , )(0,1,1)x y z 將 代入，又得 解法(ji f) 2 ( 隱函數(shù)法 ) 設(shè) 323( , , ).F x y zxyzxyz由于 上處處連續(xù), 而 3(0,1,1)0,RxyzFFFF 在在2(0,1,1)(31)10,zPFxyz 第33頁/共39頁第三十四頁，共39頁。.313,31222323zyxyzxFFyzzyxxzyFFxzzyzx 因此在點 P 附近(fjn)能惟一地確定連續(xù)可微的隱函數(shù) ( , );zz x y 且可求得它的偏導(dǎo)數(shù)如下： 以 代入, 便得到 ( , , )(0,1,1)x y z 1,3,x Py Pzzdd3d .Pzxy例4 用隱函數(shù)方法(fngf)處理反函數(shù)的存在性及其導(dǎo)數(shù). 解 設(shè) 在 的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù) )(xfy 0 x, )(xf 且