李坤定積分計算方法初探3

1、皖西學院本科畢業(yè)論文（設計） 皖西學院本科畢業(yè)論文（設計） 學號 2008012443 姓名 李 坤 學院 應用數(shù)學學院 專業(yè)班級 數(shù)學與應用數(shù)學0802班指導教師 邵 毅 完成時間 2012.05 目 錄 一摘要 （3）二英文摘要 （3）三引言 （3）四定積分基本定義 （4） 五定積分的性質 （4）六微積分的基本公式 （5）七定積分的基本計算方法 （5）八定積分的簡化計算方法 （10）九定積分上的近似計算 （16）十小結 （21） 十一參考文獻（21）十二致謝（22）定積分計算方法初探 作 者李坤指導教師邵毅摘 要：定積分是積分學中的一個基本問題，其計算方法是很多的，除了用一些基礎的定積分定

2、義、性質、分部積分法等方法外，定積分計算有著特殊的方法和技巧。本論文通過經(jīng)典例題分析探討定積分計算方法，并在系統(tǒng)總結中簡化、近似計算方法！并注重在解題中用的方法和技巧。 關鍵詞：定積分 計算 方法 技巧 The integral calculation method discussedAbstract: the integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, in addition to use some basic definite integral

3、 definition, the nature, the division of integral method, etc, the way the integral calculation has the special methods and techniques. This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention

4、 to problem in using the methods and skills. Key words: the integral ,calculation, method ,skills 引 言：本文首先給出定積分的定義，也是一種計算定積分的方法，一般說來很復雜。本文同時介紹了牛頓萊布尼茨公式、換元積分法、分部積分法、利用相關定理簡化計算積分以及近似計算數(shù)值積分幾種計算定積分的簡便方法。定積分基本定義 設函數(shù)在上有界，在中任意插入若干個分點 ，把區(qū)間分成個小區(qū)域 各個小區(qū)間長度依次為 在每個小區(qū)間上任取一點作函數(shù)值與小區(qū)間長度的乘積并作出和 （ 1）記，如果不論對怎樣分法，也不論在小區(qū)

5、間上點怎樣取法，只要當時，和總趨于確定的極限，這時我們稱這個極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分（簡稱積分），記作，即 （2）其中叫做被積函數(shù)，叫做被積表達式，叫做積分變量，叫做積分下限，叫做積分上限，叫做積分區(qū)間。定積分的性質性質1 性質2 性質3 設，則性質4 如果在區(qū)間上，則性質5 如果在區(qū)間上，則推論1 如果在區(qū)間上，則.推論2 性質6 設及分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值，則 性質7（定積分中值定理） 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一個點 ，使下式成立： 這個公式叫做積分中值公式微積分的基本公式定理1 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) 在可導，并且它的導數(shù)是 （3）定理

6、2 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù) （4）就是在上的一個原函數(shù)。定理3 如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則 . （5）定積分的基本計算方法1 .利用定義法計算定積分例1 計算 解 因為被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，而連續(xù)函數(shù)是可積的，所以積分與區(qū)間的分法及點的取法無關。因此，為了便于計算，不妨把區(qū)間分成等份，分點為；這樣，每個小區(qū)間的長度取于是，得和式 當即時，取上式右端的極限。由定積分的定義，即得所要計算的積分為 2. 牛頓萊布尼茨公式定理3 如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則 (6)證明 已知函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的一個原函數(shù)，又根據(jù)定理2知道，積分上限的函數(shù) 也是的一個原函數(shù)。于是這兩

7、個原函數(shù)之差在上必定使某個常數(shù)，即 . (7)在上式中令，得。又由的定義式（4）及定積分的補充規(guī)定第一條當時，可知，因此，以代入（7）式中的，以代入（7）式中的，可得 在上式中令，就得到所要證明的公式（6）.由定積分補充規(guī)定的第二條當時，可知，（6）式對的情況同樣成立。為了方便起見，以后把記成于是（6）式又可寫成 公式（6）叫做牛頓萊布尼茨公式.例2 計算定積分解 由于是的一個原函數(shù)，所以按牛頓萊布尼茨公式，有 例3 計算解 由于是的一個原函數(shù)，所以 例4 計算解 當時，的一個原函數(shù)是通過例3我們應該特別注意：公式（6） 中的函數(shù)必須是在該積分區(qū)間上的原函數(shù).3.定積分的換元法定理 假設函數(shù)在

8、區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)滿足條件：（1）；（2）在或上具有連續(xù)導數(shù)，且其值域，則有 （8）公式（8）叫做定積分的換元方法例5 計算 解 設，則，且 當時，；當時，.于是.換元法也可以反過來使用。為使用方便起見，把換元公式中左右對調(diào)位置，同時把改記為，而改記為，得這樣我們可用來引用新變量，而.例6 計算 解 設，則， ，且 當時，；當時，.于是 = 由此例可見，不定積分的換元法與定積分的換元法的區(qū)別在于：不定積分的換元法在求得關于新變量的積分后，必須代會原變量，而定積分的換元法在積分變量由換成的同時，其積分限也由和相應地換成和，在完成關于變量的積分后，直接用的上下限和代入計算定積分的值，而不必代會原變量

9、例7 計算 .解 由于，在上，在上，所以= 注意 如果忽略在上非正，而按計算，將導致錯誤4定積分的分部積分法依據(jù)不定積分的分部積分法 ，可得 簡記作 或 這就是定積分的分部積分法.公式表明原函數(shù)已經(jīng)積出的部分可以先用上、下限代入.例8計算 .解 例9 計算解 先用換元法.令，則，且 當時，；當,.于是 例10 求定積分分析 這里被積函數(shù)這是含變量的積分，但是積不出來，所以求應使用分部積分法，將變限定積分作分部積分中的.解 評注 對這種類型的題，也可以將所求的積分看成是一個二次積分，通過交換積分次序后求的它們的值.如: 定積分的簡化計算方法1.對稱區(qū)間上的定積分1.1利用對稱區(qū)間上的奇偶性計算定

10、積分： 若為奇函數(shù)，則 若為偶函數(shù)，則例11 計算定積分 解 根據(jù)積分的對稱性可得 例12 設非負連續(xù)函數(shù)滿足計算解 例13計算定積分解 = 評注：本題雖然不是對稱區(qū)間，但經(jīng)過換元后化成對稱區(qū)間，再利用對稱區(qū)間上奇函數(shù)和偶函數(shù)的積分性質，化簡積分.2.周期函數(shù)的定積分此類題一般應先利用周期函數(shù)定積分的性質進行化簡，然后在計算.例14 計算定積分解 評注：當被積函數(shù)是三角函數(shù)，積分區(qū)間是的整數(shù)倍時，應注意使用周期函數(shù)的定積分的性質.3.被積函數(shù)的分母為兩項的和，而分子為其中一項的定積分此類型的題一般利用變量代換完成，所做代換滿足以下兩點要求：3.1變換前后積分的上、下限或者不變、或者交換位置3.

11、2交換后，分母中的另一項成為分子中的項例 15 計算下列積分（1）（2）解 （1） 所以因此 （2） 所以因此4. 含參變量的積分4.1若于矩形區(qū)域，上二元連續(xù)，則積分于上也連續(xù)，且.4.2 若 于，上關于還是連續(xù)可微的，則關于 也是連續(xù)可微的，且.在上面結論中，一重積分改為有界閉區(qū)域上的多重積分，改為多元參變量，導數(shù)改為偏導數(shù)，結論仍然成立。4.3 若，連續(xù)可微，二元連續(xù)且關于連續(xù)可微，則 例 16 計算積分.解 考慮含參量積分，顯然，又，因，所以 = =， 因此 = =，另一方面，所以。5有理積分和可化為有理積分的積分5.1 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)是指兩個多項式的商所表示的函數(shù)，當分子的最

12、高項的次數(shù)大于分母最高項的次數(shù)時稱之為假分式，反之為真分式，在求有理函數(shù)的積分時，若有理函數(shù)為假分式應先利用分項式的除法，把一個假分式化成一個多項式和一個真分式之和的形式，然后再求。任何有理真分式的定積分都可歸結為下列四種類型的積分。5.1.1 ； 5.1.2 ；5.1.3 ，（）；5.1.4 ，（，）。5.2可化為有理函數(shù)的積分能通過有限次四則運算構成有理函數(shù)的無理函數(shù)積分稱為可化為有理函數(shù)的積分。5.2.1 含有簡單根式的積分形如，其中，是常數(shù)且，. 令 ，則 ，且，于是. (*) 因為是有理函數(shù)，而有理函數(shù)的一階導還是有理函數(shù)，所以(*)式右端被積函數(shù)是關于的有理函數(shù)，從而這類無理函數(shù)積

13、分可以化為有理函數(shù)的積分。形如，其中，都是常數(shù)，。利用歐拉變換，它可化為有理函數(shù)的積分。5.2.2 三角函數(shù)有理式的積分由三角函數(shù)與常數(shù)經(jīng)有限次四則運算所構成的式子叫三角函數(shù)有理式。因為任何三角函數(shù)都可以用正弦與余弦函數(shù)來表示，所以三角函數(shù)有理式可記為，形如，若用代換 總可以把積分化為有理函數(shù)的積分。6其他類型的定積分.例17 設為正整數(shù)，則解 記 所以 例18 設求解 因為 于是 故 .例19 設函數(shù)連續(xù)，且，已知求.解 由于令可得 從而 上式兩端對求導，可得 所以 上式中令，得因此 .定積分上的近似計算數(shù)值積分就是利用函數(shù)的若干個函數(shù)值，近似計算定積分，定積分在幾何上表示曲線，軸以及直線，

14、所圍成曲邊梯形的面積，近似計算出這個面積就近似計算出了積分。1.矩形法矩形法就是用窄條矩形的面積作為窄條曲邊梯形面積的近似值，整體上用臺階形的面積作為曲邊梯形的近似值.設函數(shù)在上連續(xù)，這時定積分存在，采取把區(qū)間等分的分法，即用分點將分成個長度相等的小區(qū)間，每個小區(qū)間的長為 在小區(qū)間上，取，應有 從而對于任一確定的正整數(shù)，有記 上式可記作 （9）如果取則可得近似公式 （10）以上求定積分近似值的方法稱為矩形法，公式（9）,（10）稱為矩形法公式.2. 梯形法梯形法就是用曲線上兩點的弦近似代替小弧段計算定積分的方法。設函數(shù)在上可積，用分點把區(qū)間分成等份，而 ，過各個點作軸平行直線與曲線交于，這些點

15、的縱坐標記為，原來的曲邊梯形被分成個小曲邊梯形，若把區(qū)間分的足夠細，考慮第個小曲邊梯形就可把弧段近似看成是弦，于是第個小曲邊梯形可近似用直邊梯形代替，連接曲線上相鄰兩點，與，的直線方程為，用直線代替弧段時，第個小曲邊梯形面積近似為，從而個直邊小梯形之和為故有-梯形公式。例 20 設有20米寬河，從河的一岸到對岸每隔2米測得河深為0.2，0.5，0.9，1.1，1.3，1.7，2.1，1.5，1.1，0.6，0.2米，試求河流橫截面積A的近似值。解 把河流橫截面積的底邊看成曲線，則所求面積A=。由題設得數(shù)據(jù)組：寬/米02468101214161820寬/米0.20.50.91.11.31.72.

16、11.51.10.60.2利用梯形公式，由，.梯形法是在所分小區(qū)間上用直線近似代替函數(shù)，這時通過曲線只有兩點，這種代替一般比較粗糙，若在小區(qū)間上用通過曲線上三點的拋物線近似代替函數(shù)，可以得到具有更好精確性的近似公式。3.拋物線法設在區(qū)間上可積，把區(qū)間分成個等份，分點是，其中，個分點縱坐標為，從個小區(qū)間中取出一對相鄰小區(qū)間與，用通過曲線上的三點，及的拋物線近似代替區(qū)間上的曲線,于是拋物線下的面積為： = =，從1到相加得=-辛普森公式。例 21 用拋物線法近似計算，(將區(qū)間分為四等份)。 解 將區(qū)間四等份得到如下一組數(shù)據(jù): 0.95492970.82699330.90031630.6361980

17、.41349670.30010540.190985904等份 ,所以 ，所以.也可以利用級數(shù)求定積分的值無法用定積分基本方法求出原函數(shù)，也可以利用級數(shù)，先把被積函數(shù)展開成級數(shù)的展開式，在來計算.常用的冪級數(shù)： . 例22 求定積分解：而冪級數(shù)于是有 例23 求解： 由上題可知，把被積函數(shù)轉化，為使復雜問題簡化，運用級數(shù)展開式進行近似計算，應用簡單方便，簡化了定積分的計算. 小結:本文主要介紹了以下幾種函數(shù)積分方法:牛頓-萊布尼茨公式法,換元積分法,分部積分法,近似計算數(shù)值積分.牛頓-萊布尼茨公式在積分中發(fā)揮了很大的作用，但在使用時被積函數(shù)在被積區(qū)間必須連續(xù)，而且要求出原函數(shù),在很多情況下被積函

18、數(shù)不具備這樣的條件，原函數(shù)不能表示為初等函數(shù)。這時可以考慮使用換元積分法和分部積分法,而在實際問題中有時被積函數(shù)不具有解析式,是以曲線或表格的形式給出,這時只能用數(shù)值積分近似地計算出積分值。因此，給出一個定積分，我們有時可以使用幾種不同的方法計算,但不同的方法簡捷度不同。當它不滿足某種積分方法的條件時,我們可以用其他的方法計算。所以給出一個定積分問題,我們總能找到方法來解決，能使用多種方法解題時,可以擇優(yōu)選用。參考文獻1 華東師范大學數(shù)學系 編 數(shù)學分析M，北京：高等教育出版社，2002 2 姚允龍 編 高等數(shù)學與數(shù)學分析方法導引M， 上海：復旦大學出版社，1982 3 錢吉林 編 數(shù)學分析題解精粹M，武漢：崇文書局，2003 4 李慶揚 王能超 易大義 編 數(shù)值分析M，武漢：華中科技大學出版社，1986 5 中國科學技術大學高等數(shù)學教研室 編 高等數(shù)學導論M，合肥：