李坤定積分計(jì)算方法初探3

1、皖西學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 皖西學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 學(xué)號(hào) 2008012443 姓名 李 坤 學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院 專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)0802班指導(dǎo)教師 邵 毅 完成時(shí)間 2012.05 目 錄 一摘要 （3）二英文摘要 （3）三引言 （3）四定積分基本定義 （4） 五定積分的性質(zhì) （4）六微積分的基本公式 （5）七定積分的基本計(jì)算方法 （5）八定積分的簡(jiǎn)化計(jì)算方法 （10）九定積分上的近似計(jì)算 （16）十小結(jié) （21） 十一參考文獻(xiàn)（21）十二致謝（22）定積分計(jì)算方法初探 作 者李坤指導(dǎo)教師邵毅摘 要：定積分是積分學(xué)中的一個(gè)基本問(wèn)題，其計(jì)算方法是很多的，除了用一些基礎(chǔ)的定積分定

2、義、性質(zhì)、分部積分法等方法外，定積分計(jì)算有著特殊的方法和技巧。本論文通過(guò)經(jīng)典例題分析探討定積分計(jì)算方法，并在系統(tǒng)總結(jié)中簡(jiǎn)化、近似計(jì)算方法！并注重在解題中用的方法和技巧。 關(guān)鍵詞：定積分 計(jì)算 方法 技巧 The integral calculation method discussedAbstract: the integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, in addition to use some basic definite integral

3、 definition, the nature, the division of integral method, etc, the way the integral calculation has the special methods and techniques. This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention

4、 to problem in using the methods and skills. Key words: the integral ,calculation, method ,skills 引 言：本文首先給出定積分的定義，也是一種計(jì)算定積分的方法，一般說(shuō)來(lái)很復(fù)雜。本文同時(shí)介紹了牛頓萊布尼茨公式、換元積分法、分部積分法、利用相關(guān)定理簡(jiǎn)化計(jì)算積分以及近似計(jì)算數(shù)值積分幾種計(jì)算定積分的簡(jiǎn)便方法。定積分基本定義 設(shè)函數(shù)在上有界，在中任意插入若干個(gè)分點(diǎn) ，把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)域 各個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度依次為 在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)作函數(shù)值與小區(qū)間長(zhǎng)度的乘積并作出和 （ 1）記，如果不論對(duì)怎樣分法，也不論在小區(qū)

5、間上點(diǎn)怎樣取法，只要當(dāng)時(shí)，和總趨于確定的極限，這時(shí)我們稱這個(gè)極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分（簡(jiǎn)稱積分），記作，即 （2）其中叫做被積函數(shù)，叫做被積表達(dá)式，叫做積分變量，叫做積分下限，叫做積分上限，叫做積分區(qū)間。定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 性質(zhì)2 性質(zhì)3 設(shè)，則性質(zhì)4 如果在區(qū)間上，則性質(zhì)5 如果在區(qū)間上，則推論1 如果在區(qū)間上，則.推論2 性質(zhì)6 設(shè)及分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值，則 性質(zhì)7（定積分中值定理） 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一個(gè)點(diǎn) ，使下式成立： 這個(gè)公式叫做積分中值公式微積分的基本公式定理1 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) 在可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)是 （3）定理

6、2 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù) （4）就是在上的一個(gè)原函數(shù)。定理3 如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則 . （5）定積分的基本計(jì)算方法1 .利用定義法計(jì)算定積分例1 計(jì)算 解 因?yàn)楸环e函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，而連續(xù)函數(shù)是可積的，所以積分與區(qū)間的分法及點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)。因此，為了便于計(jì)算，不妨把區(qū)間分成等份，分點(diǎn)為；這樣，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度取于是，得和式 當(dāng)即時(shí)，取上式右端的極限。由定積分的定義，即得所要計(jì)算的積分為 2. 牛頓萊布尼茨公式定理3 如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則 (6)證明 已知函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，又根據(jù)定理2知道，積分上限的函數(shù) 也是的一個(gè)原函數(shù)。于是這兩

7、個(gè)原函數(shù)之差在上必定使某個(gè)常數(shù)，即 . (7)在上式中令，得。又由的定義式（4）及定積分的補(bǔ)充規(guī)定第一條當(dāng)時(shí)，可知，因此，以代入（7）式中的，以代入（7）式中的，可得 在上式中令，就得到所要證明的公式（6）.由定積分補(bǔ)充規(guī)定的第二條當(dāng)時(shí)，可知，（6）式對(duì)的情況同樣成立。為了方便起見，以后把記成于是（6）式又可寫成 公式（6）叫做牛頓萊布尼茨公式.例2 計(jì)算定積分解 由于是的一個(gè)原函數(shù)，所以按牛頓萊布尼茨公式，有 例3 計(jì)算解 由于是的一個(gè)原函數(shù)，所以 例4 計(jì)算解 當(dāng)時(shí)，的一個(gè)原函數(shù)是通過(guò)例3我們應(yīng)該特別注意：公式（6） 中的函數(shù)必須是在該積分區(qū)間上的原函數(shù).3.定積分的換元法定理 假設(shè)函數(shù)在

8、區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)滿足條件：（1）；（2）在或上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且其值域，則有 （8）公式（8）叫做定積分的換元方法例5 計(jì)算 解 設(shè)，則，且 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.于是.換元法也可以反過(guò)來(lái)使用。為使用方便起見，把換元公式中左右對(duì)調(diào)位置，同時(shí)把改記為，而改記為，得這樣我們可用來(lái)引用新變量，而.例6 計(jì)算 解 設(shè)，則， ，且 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.于是 = 由此例可見，不定積分的換元法與定積分的換元法的區(qū)別在于：不定積分的換元法在求得關(guān)于新變量的積分后，必須代會(huì)原變量，而定積分的換元法在積分變量由換成的同時(shí)，其積分限也由和相應(yīng)地?fù)Q成和，在完成關(guān)于變量的積分后，直接用的上下限和代入計(jì)算定積分的值，而不必代會(huì)原變量

9、例7 計(jì)算 .解 由于，在上，在上，所以= 注意 如果忽略在上非正，而按計(jì)算，將導(dǎo)致錯(cuò)誤4定積分的分部積分法依據(jù)不定積分的分部積分法 ，可得 簡(jiǎn)記作 或 這就是定積分的分部積分法.公式表明原函數(shù)已經(jīng)積出的部分可以先用上、下限代入.例8計(jì)算 .解 例9 計(jì)算解 先用換元法.令，則，且 當(dāng)時(shí)，；當(dāng),.于是 例10 求定積分分析 這里被積函數(shù)這是含變量的積分，但是積不出來(lái)，所以求應(yīng)使用分部積分法，將變限定積分作分部積分中的.解 評(píng)注 對(duì)這種類型的題，也可以將所求的積分看成是一個(gè)二次積分，通過(guò)交換積分次序后求的它們的值.如: 定積分的簡(jiǎn)化計(jì)算方法1.對(duì)稱區(qū)間上的定積分1.1利用對(duì)稱區(qū)間上的奇偶性計(jì)算定

10、積分： 若為奇函數(shù)，則 若為偶函數(shù)，則例11 計(jì)算定積分 解 根據(jù)積分的對(duì)稱性可得 例12 設(shè)非負(fù)連續(xù)函數(shù)滿足計(jì)算解 例13計(jì)算定積分解 = 評(píng)注：本題雖然不是對(duì)稱區(qū)間，但經(jīng)過(guò)換元后化成對(duì)稱區(qū)間，再利用對(duì)稱區(qū)間上奇函數(shù)和偶函數(shù)的積分性質(zhì)，化簡(jiǎn)積分.2.周期函數(shù)的定積分此類題一般應(yīng)先利用周期函數(shù)定積分的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后在計(jì)算.例14 計(jì)算定積分解 評(píng)注：當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)，積分區(qū)間是的整數(shù)倍時(shí)，應(yīng)注意使用周期函數(shù)的定積分的性質(zhì).3.被積函數(shù)的分母為兩項(xiàng)的和，而分子為其中一項(xiàng)的定積分此類型的題一般利用變量代換完成，所做代換滿足以下兩點(diǎn)要求：3.1變換前后積分的上、下限或者不變、或者交換位置3.

11、2交換后，分母中的另一項(xiàng)成為分子中的項(xiàng)例 15 計(jì)算下列積分（1）（2）解 （1） 所以因此 （2） 所以因此4. 含參變量的積分4.1若于矩形區(qū)域，上二元連續(xù)，則積分于上也連續(xù)，且.4.2 若 于，上關(guān)于還是連續(xù)可微的，則關(guān)于 也是連續(xù)可微的，且.在上面結(jié)論中，一重積分改為有界閉區(qū)域上的多重積分，改為多元參變量，導(dǎo)數(shù)改為偏導(dǎo)數(shù)，結(jié)論仍然成立。4.3 若，連續(xù)可微，二元連續(xù)且關(guān)于連續(xù)可微，則 例 16 計(jì)算積分.解 考慮含參量積分，顯然，又，因，所以 = =， 因此 = =，另一方面，所以。5有理積分和可化為有理積分的積分5.1 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)是指兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù)，當(dāng)分子的最

12、高項(xiàng)的次數(shù)大于分母最高項(xiàng)的次數(shù)時(shí)稱之為假分式，反之為真分式，在求有理函數(shù)的積分時(shí)，若有理函數(shù)為假分式應(yīng)先利用分項(xiàng)式的除法，把一個(gè)假分式化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和的形式，然后再求。任何有理真分式的定積分都可歸結(jié)為下列四種類型的積分。5.1.1 ； 5.1.2 ；5.1.3 ，（）；5.1.4 ，（，）。5.2可化為有理函數(shù)的積分能通過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成有理函數(shù)的無(wú)理函數(shù)積分稱為可化為有理函數(shù)的積分。5.2.1 含有簡(jiǎn)單根式的積分形如，其中，是常數(shù)且，. 令 ，則 ，且，于是. (*) 因?yàn)槭怯欣砗瘮?shù)，而有理函數(shù)的一階導(dǎo)還是有理函數(shù)，所以(*)式右端被積函數(shù)是關(guān)于的有理函數(shù)，從而這類無(wú)理函數(shù)積

13、分可以化為有理函數(shù)的積分。形如，其中，都是常數(shù)，。利用歐拉變換，它可化為有理函數(shù)的積分。5.2.2 三角函數(shù)有理式的積分由三角函數(shù)與常數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算所構(gòu)成的式子叫三角函數(shù)有理式。因?yàn)槿魏稳呛瘮?shù)都可以用正弦與余弦函數(shù)來(lái)表示，所以三角函數(shù)有理式可記為，形如，若用代換 總可以把積分化為有理函數(shù)的積分。6其他類型的定積分.例17 設(shè)為正整數(shù)，則解 記 所以 例18 設(shè)求解 因?yàn)?于是 故 .例19 設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，已知求.解 由于令可得 從而 上式兩端對(duì)求導(dǎo)，可得 所以 上式中令，得因此 .定積分上的近似計(jì)算數(shù)值積分就是利用函數(shù)的若干個(gè)函數(shù)值，近似計(jì)算定積分，定積分在幾何上表示曲線，軸以及直線，

14、所圍成曲邊梯形的面積，近似計(jì)算出這個(gè)面積就近似計(jì)算出了積分。1.矩形法矩形法就是用窄條矩形的面積作為窄條曲邊梯形面積的近似值，整體上用臺(tái)階形的面積作為曲邊梯形的近似值.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，這時(shí)定積分存在，采取把區(qū)間等分的分法，即用分點(diǎn)將分成個(gè)長(zhǎng)度相等的小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)為 在小區(qū)間上，取，應(yīng)有 從而對(duì)于任一確定的正整數(shù)，有記 上式可記作 （9）如果取則可得近似公式 （10）以上求定積分近似值的方法稱為矩形法，公式（9）,（10）稱為矩形法公式.2. 梯形法梯形法就是用曲線上兩點(diǎn)的弦近似代替小弧段計(jì)算定積分的方法。設(shè)函數(shù)在上可積，用分點(diǎn)把區(qū)間分成等份，而 ，過(guò)各個(gè)點(diǎn)作軸平行直線與曲線交于，這些點(diǎn)

15、的縱坐標(biāo)記為，原來(lái)的曲邊梯形被分成個(gè)小曲邊梯形，若把區(qū)間分的足夠細(xì)，考慮第個(gè)小曲邊梯形就可把弧段近似看成是弦，于是第個(gè)小曲邊梯形可近似用直邊梯形代替，連接曲線上相鄰兩點(diǎn)，與，的直線方程為，用直線代替弧段時(shí)，第個(gè)小曲邊梯形面積近似為，從而個(gè)直邊小梯形之和為故有-梯形公式。例 20 設(shè)有20米寬河，從河的一岸到對(duì)岸每隔2米測(cè)得河深為0.2，0.5，0.9，1.1，1.3，1.7，2.1，1.5，1.1，0.6，0.2米，試求河流橫截面積A的近似值。解 把河流橫截面積的底邊看成曲線，則所求面積A=。由題設(shè)得數(shù)據(jù)組：寬/米02468101214161820寬/米0.20.50.91.11.31.72.

16、11.51.10.60.2利用梯形公式，由，.梯形法是在所分小區(qū)間上用直線近似代替函數(shù)，這時(shí)通過(guò)曲線只有兩點(diǎn)，這種代替一般比較粗糙，若在小區(qū)間上用通過(guò)曲線上三點(diǎn)的拋物線近似代替函數(shù)，可以得到具有更好精確性的近似公式。3.拋物線法設(shè)在區(qū)間上可積，把區(qū)間分成個(gè)等份，分點(diǎn)是，其中，個(gè)分點(diǎn)縱坐標(biāo)為，從個(gè)小區(qū)間中取出一對(duì)相鄰小區(qū)間與，用通過(guò)曲線上的三點(diǎn)，及的拋物線近似代替區(qū)間上的曲線,于是拋物線下的面積為： = =，從1到相加得=-辛普森公式。例 21 用拋物線法近似計(jì)算，(將區(qū)間分為四等份)。 解 將區(qū)間四等份得到如下一組數(shù)據(jù): 0.95492970.82699330.90031630.6361980

17、.41349670.30010540.190985904等份 ,所以 ，所以.也可以利用級(jí)數(shù)求定積分的值無(wú)法用定積分基本方法求出原函數(shù)，也可以利用級(jí)數(shù)，先把被積函數(shù)展開成級(jí)數(shù)的展開式，在來(lái)計(jì)算.常用的冪級(jí)數(shù)： . 例22 求定積分解：而冪級(jí)數(shù)于是有 例23 求解： 由上題可知，把被積函數(shù)轉(zhuǎn)化，為使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)化，運(yùn)用級(jí)數(shù)展開式進(jìn)行近似計(jì)算，應(yīng)用簡(jiǎn)單方便，簡(jiǎn)化了定積分的計(jì)算. 小結(jié):本文主要介紹了以下幾種函數(shù)積分方法:牛頓-萊布尼茨公式法,換元積分法,分部積分法,近似計(jì)算數(shù)值積分.牛頓-萊布尼茨公式在積分中發(fā)揮了很大的作用，但在使用時(shí)被積函數(shù)在被積區(qū)間必須連續(xù)，而且要求出原函數(shù),在很多情況下被積函

18、數(shù)不具備這樣的條件，原函數(shù)不能表示為初等函數(shù)。這時(shí)可以考慮使用換元積分法和分部積分法,而在實(shí)際問(wèn)題中有時(shí)被積函數(shù)不具有解析式,是以曲線或表格的形式給出,這時(shí)只能用數(shù)值積分近似地計(jì)算出積分值。因此，給出一個(gè)定積分，我們有時(shí)可以使用幾種不同的方法計(jì)算,但不同的方法簡(jiǎn)捷度不同。當(dāng)它不滿足某種積分方法的條件時(shí),我們可以用其他的方法計(jì)算。所以給出一個(gè)定積分問(wèn)題,我們總能找到方法來(lái)解決，能使用多種方法解題時(shí),可以擇優(yōu)選用。參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 編 數(shù)學(xué)分析M，北京：高等教育出版社，2002 2 姚允龍 編 高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析方法導(dǎo)引M， 上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1982 3 錢吉林 編 數(shù)學(xué)分析題解精粹M，武漢：崇文書局，2003 4 李慶揚(yáng) 王能超 易大義 編 數(shù)值分析M，武漢：華中科技大學(xué)出版社，1986 5 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室 編 高等數(shù)學(xué)導(dǎo)論M，合肥：