例談運(yùn)用構(gòu)造法證明不等式重點(diǎn)

1、例談運(yùn)用構(gòu)造法證明不等式在我們的學(xué)習(xí)過(guò)程中，常遇到一些不等式的證明，看似簡(jiǎn)單，但卻無(wú)從下手，很難找到切入點(diǎn)，幾種常用證法一一嘗試，均難以湊效。這時(shí)我們不妨變換一下思維角度，從不等式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，在已學(xué)過(guò)的知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行廣泛的聯(lián)想，構(gòu)造一個(gè)與不等式相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明。下面通過(guò)舉例加以說(shuō)明。一、構(gòu)造向量證明不等式例1：證明7x . 2(9 -x2)空9，并指出等號(hào)成立的條件。簡(jiǎn)析與證明：不等式左邊可看成.7與x和2與,9 - x2兩兩乘積的和，從而聯(lián)想到數(shù)量積的坐標(biāo)表示，將左邊看成向量a=( 7 , _ 2 )與b=( x, 9 - x2 )的數(shù)量積，又a

2、b|b|，所以、.7x .2(9：x2) (一7)2一廠2)2 %2一(9=x2) =9當(dāng)且僅當(dāng)b=X a (入0)時(shí)等號(hào)成立，故由+Z 0得：x= J7 ,入=1,即x = J7v 77 2時(shí)，等號(hào)成立。2 2 2 1例2：求證：(1-y)2 (x y -3)2(2x y -6)2 一6簡(jiǎn)析與證明：不等式左邊的特點(diǎn)，使我們?nèi)菀茁?lián)想到空間向量模的坐標(biāo)表示，將左邊看成a =(1 y , x+y-3,2x+y- 6)模的平方，又|a| |b| a b ,為使a b為常數(shù)，根據(jù)待定系數(shù) 法又可構(gòu)造b = (1 , 2 , -1)于是 |a| |b|= . (1y)2 (x y3)2(2x y - 6

3、)2 : 6a b= (1 y) 1 + (x y -3) 2(2x y -6)( -1) 1所以.(1 -y)2 (x y -3)2(2x y -6)2 6 _1即(1 y)2 (x y -3)2(2x y -6)2 一 16二、構(gòu)造復(fù)數(shù)證明不等式例3、求證： Jx2 +y2 + px2 + (1 _ y)2 + J(1_x)2 +y2 + *：(1 _ x)2 + (1 _ y)2 啟 22簡(jiǎn)析與證明：從不等式左邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)容易聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模，將左邊看成復(fù)數(shù)Z1 =x+y i , Z2 = x + (1 - y) i, Z3 = 1 x + y i ,乙=1x + (1- y) i模的和，

4、又注意到Z1+ Z2+ Z3 + Z4= 2+ 2 i,于是由 z + z2 + Z3 +Z4+ Z2 + z3+ Z4 可得.x2 y2.X2 (1 - y)2.(1 x)2y2. (1 x)2 (1 - y)2 - 22 22 - 2.2此題也可構(gòu)造向量來(lái)證明。三、構(gòu)造幾何圖形證明不等式例4：已知：a0、b0、c0 ,求證：.a2 - ab b2、b2 - be c2 a2 ac c2 當(dāng)1 1 1且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。b a c簡(jiǎn)析與證明：從三個(gè)根式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)容易聯(lián)想到余弦定理，于是可構(gòu)造如下圖形：作0A = a, OB = b, 0C= c,Z AOB= / BOC=60 如圖（1）貝aoc

5、 = 120, ab= Ja2 -ab + b2 , BC= lb2 -b圍c2 ,ac= Ja2 +ac+c2a由幾何知識(shí)可知： AB + BO AC a2 - ab b2 + . b2 - be c2 , a2 ac c2當(dāng)且僅當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)有absin 60bcsin 602 2=-acsin120 ，即2ab+bc=ac故當(dāng)且僅當(dāng)1 1 1時(shí)取等號(hào)。b a c四、構(gòu)造橢圓證明不等式例5：求證:玄-9x23-2x簡(jiǎn)析與證明：4 -9x2的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，使我們聯(lián) 想到橢圓方程及數(shù)形結(jié)合思想。于是令y = . 4 - 9x2 （y 一 0），則其圖象是橢2 2x y1圓44

6、的上半部分，設(shè)y-2x=m，于是只需942113證m，因 m為直線y=2x+ m在y軸上33圖（2）的截距，由圖（2）可知：當(dāng)直線 y = 2 x+ m過(guò)點(diǎn)（-,0）時(shí)，m有最小值為m= - 4 ；當(dāng)33直線y =2x+ m與橢圓上半部分相切時(shí)，m有最大值。2 213x + 4mx + m -4 = 0c=4（52-9m2） =0得：心今3或-于（舍）即口的最大值為于，故-豈丁，即一3- A2 -2x豈年3五、構(gòu)造方程證明不等式例6:設(shè)aa?、an為任意正數(shù)，證明對(duì)任意正整數(shù)n不等式（ai + a2 + an wn （ a + a2 + + an）均成立簡(jiǎn)析與證明：原不等式即為 4 (a1 +

7、 a2 + + an)2 4n ( a12 + a22 + + an2 ) wo由此聯(lián)想到根的判別式而構(gòu)造一元二次方程:2 2 2 2 ,、(ai + a2 + + an ) x + 2 (ai + a2 + + an ) x + n=0(*)因方程左邊= x + 1)2 + (a2 x + 1)2 + + (an x + 1)2 X)當(dāng)ai、a2、an不全相等時(shí)，ai X+1、a2 X+1、an X+1至少有一個(gè)不為0,方程(*)左 邊恒為正數(shù)，方程(*)顯然無(wú)解。當(dāng)a1 = a2=二an時(shí)，方程（*）有唯一解1x=-一a12 2+ a2 + + a2+ ann2） W0）對(duì)任意正整數(shù)n均成

8、立故厶=4 ( a1 + a2 + + an )2 4n ( a1222即 + a2 + +an ) wn ( a1 + a2 + 六、構(gòu)造數(shù)列證明不等式n -1例 7：求證：C+Cn2 +Cnn n22簡(jiǎn)析與證明：不等式左邊即為 2n 仁上乙從而聯(lián)想到等比數(shù)列的求和公式，于是左1-2邊=1+2+22+ 2 n1=1(1+2 n-1) +(2+2n-2) + (2n-1+1) X -2 2nJ = n222 2例8：設(shè)任意實(shí)數(shù)a、b均滿足| a | 1, | b | 11 1 2求證：-291 -a 1 b 1 -ab簡(jiǎn)析與證明：不等式中各分式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與題設(shè)聯(lián)想到無(wú)窮等比數(shù)列(| q | 1

9、)各項(xiàng)和公式 S=a1，則：一121r =(1+a2 +a4+ )+( 1+b2 +b4 +)1 -q1 -a21 -b2=2+ (a2 + b2) + ( a4 + b4) + x 2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + =-1-ab七、構(gòu)造函數(shù)證明不等式例9：已知 | a | 1, | b | 1, | c | 1簡(jiǎn)析與證明：原不等式即為：(b+ c) a+ bc+ 10 將a看作自變量，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只須證： 當(dāng)1 av 1時(shí)，(b+ c) a+ bc+ 1恒為正數(shù)。 因而可構(gòu)造函數(shù) f ( a ) = ( b + c ) a + bc +1( 1 a 0f ( 1 ) = b+

10、 c+ bc+ 1 =( 1 + b)( 1 + c) 0 f ( a ) 0 即 ab+ bc+ ca 1此題還可由題設(shè)構(gòu)造不等式(1 + a)( 1 + b)( 1 + c) 0(1 a)( 1 b)( 1 c) 0兩式相加得：2+ 2 (ab+ bc+ ca) 0即 ab+ bc+ ca 1八、構(gòu)造對(duì)偶式證明不等式1 1 .例10：對(duì)任意自然數(shù)n，求證：(1+1)(1+) (1+) 3 3n 14 3n 2簡(jiǎn)析與證明：設(shè) an = (1+1)(11 1 12583n -4 . 3n -1+)(1 +)=43n-2 1473n5 3n2構(gòu)造對(duì)偶式：,3693n _33n4710 3n-2 3n +1bn =2 583n43n -1369 3n - 33n.1 11 ,11 1丄3n -23n 13n -23n即 3n bn, 3n Cnan 3n bn cn-an 3 3n 1，即:（1+1）（1+ 丄）（1+1） 3 3n 14 3