偏微分方程的建立重點(diǎn)

1、Depart. Math., USTC偏微分方程的導(dǎo)出一-運(yùn)輸方程1 運(yùn)輸方程（石油管道運(yùn)輸、南水北調(diào)）偏微分方程的建立運(yùn)輸方程的建立弦振動(dòng)方程的建立熱傳導(dǎo)方程的建立泊松方程的建立O貝加爾一阿穆?tīng)栬F路西伯利亞鐵路 泰納線俄羅斯蒙古Egraphic365V立本金偏微分方程的導(dǎo)出一運(yùn)輸方程Depart. Math.立本金USTC偏微分方程的導(dǎo)岀一-運(yùn)輸方程運(yùn)輸方程ut+cux=O水平管道內(nèi)有一種流體（比如，水）以恒定速度C流動(dòng)水中含有某物質(zhì)（如，污染物），以U （x, t）記其含量方程意義：污染物含量的變化率5正比于其梯度UxDepart. Math.,USTC立本僉偏微分方程的導(dǎo)岀運(yùn)輸方程u(i

2、chb+ch污染物在t時(shí)刻、區(qū)間0,b內(nèi)的總量M=fobu(x, t) dx =Jchb+chu(x, t) dx 對(duì)b求導(dǎo)可得 u(b, t)=u(b+ch, t+h)對(duì)h求導(dǎo)，并令h=0,可得0=cUx+UtDepart. Math.立本金USTC偏微分方程的導(dǎo)出-一運(yùn)輸方程高維運(yùn)輸方程均+方 Vm = 0立本金Depart Math.USTC偏微分方程的導(dǎo)岀一振動(dòng)方程物理假設(shè)：柔軟、均勻、細(xì)小彈性弦作微小橫振動(dòng) 柔軟張力方向指向弦的切線方向 均勻弦的線密度為常數(shù)細(xì)小重力忽略不計(jì)Depart. Math., USTC微小橫振動(dòng)U, Ux很小偏微分方程的導(dǎo)出-一振動(dòng)方程立本金物理定律：牛頓第

3、二定律F=ma=0縱向+ U：橫向puttdx+ Ux立本金偏微分方程的導(dǎo)岀一振動(dòng)方程數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化泰勒展開(kāi)式+ U；=1 +丄U 2 +2 *Depart. Math.,USTCDepart. Math.,USTC微分可得TuxJl + u：Depart. Math., USTC偏微分方程的導(dǎo)岀一振動(dòng)方程張力T大小為常數(shù)QTux)x = putt立本金Depart. Math.,USTC偏微分方程的導(dǎo)岀一振動(dòng)方程弦振動(dòng)方程的變種空氣阻力正比于速度u” 一 cruxx + rut = 0,廠 > 0 橫向彈性力正比于位移2u” 一 + kut = 0,k > 0 系統(tǒng)受外力Depart.

4、 Math. USTC(兀 J)偏微分方程的導(dǎo)出一振動(dòng)方程立本金弦振動(dòng)方程的其他來(lái)源一CRL電路十cL電漏G物理量：電流u(x,t),電容C,電阻R,電感L,偏微分方程的導(dǎo)岀一振動(dòng)方程偏微分方程的導(dǎo)岀一振動(dòng)方程Kirchhoff 定律立本金偏微分方程的導(dǎo)出一振動(dòng)方程CRL電路的方程u vv = CLutt + (CR + GE)ur + GRu理想傳輸線：R=G=O uxx = CL%Depart. Math. USTCV立本僉Depart. Math.USTC立本金偏微分方程的導(dǎo)出一振動(dòng)方程Depart. Math.USTC立本金偏微分方程的導(dǎo)出一振動(dòng)方程偏微分方程的導(dǎo)出一振動(dòng)方程高維振動(dòng)方

5、程-鼓面（薄膜）的振動(dòng)物理假設(shè)水平方向沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，u（x,y,乙t）為豎直方向位移平面區(qū)域D,邊界物理定律 牛頓第二定律F=pSf=putldxdy= maDepart. Math. USTC偏微分方程的導(dǎo)出一振動(dòng)方程數(shù)學(xué)化簡(jiǎn)Green 公式=-(tvu彈性張力大小為常數(shù)Depart. Math.USTC立本金偏微分方程的導(dǎo)出-一擴(kuò)散方程擴(kuò)散方程一油滴、墨漬等在水中擴(kuò)散X。X1管內(nèi)從X。到X擴(kuò)散物質(zhì)總質(zhì)量及其變化率M(t)= | 'ux,tdx*9立本金dMdtf ut(x.t)dxDepart. USTC偏微分方程的導(dǎo)出一擴(kuò)散方程Depart. Math.USTC立本金偏微分方程的導(dǎo)出

6、-一擴(kuò)散方程物理定律一Fick擴(kuò)散定律擴(kuò)散物從濃度高的區(qū)域向濃度低的區(qū)域 擴(kuò)散，擴(kuò)散速度正比于濃度的梯度 罟=流入量流出量dMdt=kuxxx.t)-kux(xt)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化J w(x,r)t/x= kuxxt) - kuxx,t)對(duì)求導(dǎo)；得到擴(kuò)散方程Depart. Math.USTC立本金偏微分方程的導(dǎo)出-一擴(kuò)散方程Depart. Math.USTC立本金偏微分方程的導(dǎo)出-一擴(kuò)散方程立本僉Depart. Math. USTC偏微分方程的導(dǎo)出-一擴(kuò)散方程高維擴(kuò)散方程對(duì)任意區(qū)域D,有等式JJJ utdxdydz =JJ m)dS D由區(qū)域的任意性，可得ut = kZ = k(uXA + uvv +

7、 w)Depart. Math.USTC立本金偏微分方程的導(dǎo)出一熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程u(x,yz乙t)表示溫度，H(t)表示區(qū)域D內(nèi)的總熱量，c為比熱，為密度H(t) = JJJ c/7udxdydzD熱量的變化率罟訂jcmdxdydzDepart. USTCD偏微分方程的導(dǎo)出一熱傳導(dǎo)方程立本金物理定律傅里葉熱傳導(dǎo)定律熱量總是從溫度高的區(qū)域流向溫度低 的區(qū)域，流速正比于溫度的梯度，因此， 沿區(qū)域D的邊界熱量流出流入量為能至寸te定律A:(h - 7u)dS = JJJ c/xijdxdydz DDepart. Math.,USTC偏微分方程的導(dǎo)出一熱傳導(dǎo)方程Depart. Math.,USTC

8、偏微分方程的導(dǎo)出一熱傳導(dǎo)方程立本金Depart. Math.,USTC偏微分方程的導(dǎo)出一熱傳導(dǎo)方程數(shù)學(xué)化簡(jiǎn)一散度定理Depart. Math.,USTC偏微分方程的導(dǎo)出一熱傳導(dǎo)方程Depart. Math.,USTC偏微分方程的導(dǎo)出一熱傳導(dǎo)方程V ( kVu )dxdydzDepart. Math.,USTC偏微分方程的導(dǎo)出一熱傳導(dǎo)方程Depart. Math.,USTC偏微分方程的導(dǎo)出一熱傳導(dǎo)方程Depart. Math. USTC偏微分方程的導(dǎo)出-一泊松方程Au=O靜電場(chǎng)立本金由區(qū)域的任意性，可得微分方程比=<?(%) = c2 (uxx + uyy + uj立本金波動(dòng)或擴(kuò)散的穩(wěn)態(tài)方

9、程u(x,y,z,t)不依賴于t,則5=0Depart. Math.,USTC偏微分方程的導(dǎo)出-一薛定譚方程氫原子的薛定譚波函數(shù)方程m電子質(zhì)量，e電子電量, 2n,坐標(biāo)原點(diǎn)為質(zhì)子位置, 足薛定銬方程方普朗克常數(shù)除以波函數(shù)u (x,y,z,t)滿方22mAz/ +r = （x2 +b +才）立本金Depart. Math., USTC偏微分方程的導(dǎo)出-一薛定譚方程物理意義:在量子力學(xué)中，物理量不能夠精確測(cè)定,只能以概率形式測(cè)定，積分udxdydz D表示電子出現(xiàn)在區(qū)域D內(nèi)的概率,dxdydz= 1r>3氫原子羞態(tài)電子云圖立本金Depart. Math.,USTC偏微分方程的導(dǎo)出-一薛定譚方

10、程薛定銬波函數(shù)方程偏微分方程的導(dǎo)出-一薛定譚方程被認(rèn)為是公理，而不是由其他更為簡(jiǎn)單定律的推論；它解釋了為什么原子結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的,不會(huì)塌陷;波爾觀察到的偏微分方程的導(dǎo)出-一薛定譚方程氫原子中電子的能級(jí)；理論上，它可以 解釋原子和分子的結(jié)構(gòu)以及其化學(xué)性質(zhì)ODepart Math. USTC（多粒子薛定銬方程變量太多，而不好 解。）偏微分方程的導(dǎo)出-麥克斯韋方程組V立本金麥克斯韋方程組一電磁學(xué)的基石電磁學(xué)表述了帶電粒子之間的相互 作用：帶電粒子產(chǎn)生電場(chǎng)E,運(yùn)動(dòng)的帶電 粒子產(chǎn)生磁場(chǎng)B。真空中的麥克斯韋方程組（齊次）5Edt =：eV x B £ = 0SB _-eV x E B = 0Depart Math.dtUSTC立本金|偏微分方程的導(dǎo)出麥克斯韋方程組數(shù)學(xué)化簡(jiǎn)真空中的電場(chǎng)E和磁場(chǎng)B滿足波動(dòng)方程Depart. Math.,USTCDepart. Math.,USTCd2E= c2AEd2B= c2ABDepart. Math