中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 存在性問題學(xué)案-人教版初中九年級(jí)全冊(cè)數(shù)學(xué)學(xué)案

1、存在性問題【題型特征】 存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問題,這類問題的知識(shí)覆蓋面較廣,綜合性較強(qiáng),題意構(gòu)思非常精巧,解題方法靈活,對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求較高.存在性問題按定性可分為:肯定型和否定型.存在性問題在假設(shè)存在以后進(jìn)行的推理或計(jì)算,對(duì)基礎(chǔ)知識(shí),基本技能要求較高,并具備較強(qiáng)的探索性.正確、完整地解答這類問題,是對(duì)我們知識(shí)、能力的一次全面的考驗(yàn).【解題策略】 不同的存在性問題解法不同.下面按照解法及設(shè)問方式的不同將存在性問題分為代數(shù)方面的存在性問題(如方程根是否存在、最值是否存在等)、點(diǎn)的存在性問題(如構(gòu)成特殊圖形的點(diǎn)是否存在)并舉例分析.(1)代數(shù)方面的存在性

2、問題的解法思路是:將問題看成求解題,進(jìn)行求解,進(jìn)而從有解或無解的條件,來判明數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在,這是解決此類問題的主要方法.(2)點(diǎn)的存在性問題的解法思路是:假設(shè)存在推理論證得出結(jié)論.若能導(dǎo)出合理的結(jié)果,就做出“存在”的判斷;若導(dǎo)出矛盾,就做出不存在的判斷.類型一代數(shù)方面的存在性問題典例1(2015·湖北隨州)已知兩條平行線l1,l2之間的距離為6,截線cd分別交l1,l2于c,d兩點(diǎn),一直角的頂點(diǎn)p在線段cd上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)p不與點(diǎn)c,d重合),直角的兩邊分別交l1,l2與a,b兩點(diǎn).(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖(1),過點(diǎn)p作直線l3l1,作pel1,點(diǎn)e是垂足,過點(diǎn)b作bfl3,點(diǎn)f是垂足.此

3、時(shí),小明認(rèn)為peapfb,你同意嗎?為什么?(2)猜想論證:將直角apb從圖(1)的位置開始,繞點(diǎn)p順時(shí)針旋轉(zhuǎn),在這一過程中,試觀察、猜想:當(dāng)ae滿足什么條件時(shí),以點(diǎn)p,a,b為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?在圖(2)中畫出圖形,證明你的猜想.(3)延伸探究:在(2)的條件下,當(dāng)截線cd與直線l1所夾的鈍角為150°時(shí),設(shè)cp=x.試探究,是否存在實(shí)數(shù)x,使pab的邊ab的長為45?請(qǐng)說明理由.(1)(2)【全解】(1)如圖(1),由題意,得epa+apf=90°,fpb+apf=90°,epa=fpb.又pea=pfb=90°,peapfb.(2)如圖(2

4、),apb=90°,要使pab為等腰三角形,只能是pa=pb.(1)(2)當(dāng)ae=bf時(shí),pa=pb,epa=fpb,pea=pfb=90°,ae=bf,peapfb.pa=pb.(3)如圖(2),在rtpec中,cp=x,pce=30°,整理,得x2-12x-8=0,解得x=6-211<0(舍去)或x=6+211,x=6+211>6+6=12,且cd=12,點(diǎn)p在cd的延長線上,這與點(diǎn)p在線段cd上運(yùn)動(dòng)相矛盾.不合題意.綜上,不存在滿足條件的實(shí)數(shù)x.舉一反三1. (2015·山東煙臺(tái))如圖,點(diǎn)a(m,6),b(n,1)在反比例函數(shù)圖象上,a

5、dx軸于點(diǎn)d,bcx軸于點(diǎn)c,dc=5.(1)求m,n的值并寫出反比例函數(shù)的表達(dá)式;(2)連接ab,在線段dc上是否存在一點(diǎn)e,使abe的面積等于5?若存在,求出點(diǎn)e的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.(第1題) (1)求b的值,求出點(diǎn)p、點(diǎn)b的坐標(biāo);(2)如圖,在直線y=3x上是否存在點(diǎn)d,使四邊形opbd為平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)d的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;(3)在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)m,使ampamb?如果存在,試舉例驗(yàn)證你的猜想;如果不存在,試說明理由.(第2題)【小結(jié)】 考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、幾何變換(平移,對(duì)稱)、等腰直角三角形、平行四邊形、軸對(duì)

6、稱最短路線問題等知識(shí)點(diǎn),還考查了存在型問題和分類討論的數(shù)學(xué)思想,難度較大.類型二點(diǎn)的存在性問題 (1)直接寫出a,d,c三點(diǎn)的坐標(biāo);(2)若點(diǎn)m在拋物線上,使得mad的面積與cad的面積相等,求點(diǎn)m的坐標(biāo);(3)設(shè)點(diǎn)c關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為b,在拋物線上是否存在點(diǎn)p,使得以a,b,c,p四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)p的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由. (2)根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,可知在在x軸下方對(duì)稱軸右側(cè)也存在這樣的一個(gè)點(diǎn);再根據(jù)三角形的等面積法,在x軸上方,存在兩個(gè)點(diǎn),這兩個(gè)點(diǎn)分別到x軸的距離等于點(diǎn)c到x軸的距離;(3)根據(jù)梯形定義確定點(diǎn)p,如圖所示:若bcap1,確定梯形abc

7、p1.此時(shí)p1與d點(diǎn)重合,即可求得點(diǎn)p1的坐標(biāo);若abcp2,確定梯形abcp2.先求出直線cp2的表達(dá)式,再聯(lián)立拋物線與直線表達(dá)式求出點(diǎn)p2的坐標(biāo). (3)結(jié)論:存在.如圖所示,在拋物線上有兩個(gè)點(diǎn)p滿足題意:若bcap1,此時(shí)梯形為abcp1.由點(diǎn)c關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為b,可知bcx軸,則點(diǎn)p1與點(diǎn)d重合,p1(-2,0).p1a=6,bc=2,p1abc.四邊形abcp1為梯形.若abcp2,此時(shí)梯形為abcp2.點(diǎn)a坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)b坐標(biāo)為(2,-3),化簡得x2-6x=0,解得x1=0(舍去),x2=6,點(diǎn)p2橫坐標(biāo)為6,代入直線cp2表達(dá)式求得縱坐標(biāo)為6.p2(6,6).a

8、bcp2,abcp2,四邊形abcp2為梯形.綜上所述,在拋物線上存在一點(diǎn)p,使得以點(diǎn)a,b,c,p四點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為梯形;點(diǎn)p的坐標(biāo)為(-2,0)或(6,6).舉一反三3. (2015·湖北十堰)已知拋物線c1:y=a(x+1)2-2的頂點(diǎn)為a,且經(jīng)過點(diǎn)b(-2,-1).(1)求a點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線c1的表達(dá)式;(2)如圖(1),將拋物線c1向下平移2個(gè)單位后得到拋物線c2,且拋物線c2與直線ab相交于c,d兩點(diǎn),求soacsoad的值;(3)如圖(2),若過p(-4,0),q(0,2)的直線為l,點(diǎn)e在(2)中拋物線c2對(duì)稱軸右側(cè)部分(含頂點(diǎn))運(yùn)動(dòng),直線m過點(diǎn)c和點(diǎn)e.問:

9、是否存在直線m,使直線l,m與x軸圍成的三角形和直線l,m與y軸圍成的三角形相似?若存在,求出直線m的表達(dá)式;若不存在,說明理由.(1)(2)(第3題)【小結(jié)】 根據(jù)以上分析,我們可以歸納出存在性問題的解決策略:(1)直接求解法:存在性問題探索的結(jié)果有兩種:一種是存在;另一種是不存在.直接求解法就是直接從已知條件入手,逐步試探,求出滿足條件的對(duì)象,使問題得到解決的解法.(2)假設(shè)求解法:先假設(shè)結(jié)論存在,再從已知條件和定義,定理,公理出發(fā),進(jìn)行演繹推理,若得到和題意相容的結(jié)論,則假設(shè)成立,結(jié)論也存在;否則,假設(shè)不成立,結(jié)論不存在.(3)反證法是證明否定型存在性問題的主要方法,特別是在無限個(gè)候選對(duì)

10、象中,證明某種數(shù)學(xué)對(duì)象不存在時(shí),逐一淘汰的方法幾乎不能實(shí)行,更需要使用反證法.類型一交于a,b兩點(diǎn),與y軸交于c點(diǎn).(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)點(diǎn)p為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)pbc為等腰三角形時(shí),求點(diǎn)p的坐標(biāo);(3)在直線ac上是否存在一點(diǎn)q,使qbm的周長最小?若存在,求出q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.(第1題)2. (2015·陜西)問題探究(1)如圖(1),在矩形abcd中,ab=3,bc=4,如果bc邊上存在點(diǎn)p,使apd為等腰三角形,那么請(qǐng)畫出滿足條件的一個(gè)等腰三角形apd,并求出此時(shí)bp的長;(2)如圖(2),在abc中,abc=60°,bc=12,ad是b

11、c邊上的高,e,f分別為邊ab,ac的中點(diǎn),當(dāng)ad=6時(shí),bc邊上存在一點(diǎn)q,使eqf=90°,求此時(shí)bq的長;問題解決(3)有一山莊,它的平面圖為如圖(3)的五邊形abcde,山莊保衛(wèi)人員想在線段cd上選一點(diǎn)m安裝監(jiān)控裝置,用來監(jiān)視邊ab,現(xiàn)只要使amb大約為60°,就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳,已知a=e=d=90°,ab=270m,ae=400m,ed=285m,cd=340m,問在線段cd上是否存在點(diǎn)m,使amb=60°?若存在,請(qǐng)求出符合條件的dm的長,若不存在,請(qǐng)說明理由.(1)(2)(3)(第2題)類型二3. (2015·江蘇蘇

12、州)如圖,已知o上依次有a,b,c,d四個(gè)點(diǎn),ad=bc,連接ab,ad,bd,弦ab不經(jīng)過圓心o,延長ab到e,使be=ab,連接ec,f是ec的中點(diǎn),連接bf.(1)若o的半徑為3,dab=120°,求劣弧bd的長;(3)設(shè)g是bd的中點(diǎn),探索:在o上是否存在點(diǎn)p(不同于點(diǎn)b),使得pg=pf,并說明pb與ae的位置關(guān)系.(第3題)4. (2015·山東濰坊)如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a0)與y軸交于點(diǎn)c(0,4),與x軸交于點(diǎn)a和點(diǎn)b,其中點(diǎn)a的坐標(biāo)為(-2,0),拋物線的對(duì)稱軸x=1與拋物線交于點(diǎn)d,與直線bc交于點(diǎn)e.(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)若點(diǎn)f是

13、直線bc上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)f使四邊形abfc的面積為17,若存在,求出點(diǎn)f的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;(3)平行于de的一條動(dòng)直線l與直線bc相交于點(diǎn)p,與拋物線相交于點(diǎn)q,若以d,e,p,q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)p的坐標(biāo).(第4題)參考答案【真題精講】 (2)存在,設(shè)e(x,0),則de=x-1,ce=6-x,adx軸,bcx軸,ade=bce=90°.連接ae,be,(第1題)所以d點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,23).(3)符合條件的點(diǎn)m存在.驗(yàn)證如下:過點(diǎn)p作x軸的垂線,垂足為為c,則pc=23,ac=2,由勾股定理,可得ap=4,pb=4,又ab=4,所以a

14、pb是等邊三角形,只要作pab的平分線交拋物線于m點(diǎn),連接pm,bm,由于am=am,pam=bam,ab=ap,可得ampamb.即存在這樣的點(diǎn)m,使ampamb.(第2題)3. (1)拋物線c1為y=a(x+1)2-2的頂點(diǎn)為a,點(diǎn)a的坐標(biāo)為(-1,-2).拋物線c1為y=a(x+1)2-2經(jīng)過點(diǎn)b(-2,-1),a(-2+1)2-2=-1.解得a=1.拋物線c1的表達(dá)式為y=(x+1)2-2.(2)拋物線c2是由拋物線c1向下平移2個(gè)單位所得,拋物線c2的表達(dá)式為y=(x+1)2-2-2=(x+1)2-4.設(shè)直線ab的表達(dá)式為y=kx+b.c(-3,0),d(0,-3).oc=3,od=

15、3.過點(diǎn)a作aex軸,垂足為e,過點(diǎn)a作afy軸,垂足為f,如圖(1),(第3題(1)a(-1,-2),af=1,ae=2.soacsoad=12oc·ae12od·af=12×3×212×3×1=2.t<0時(shí),如圖(2)所示.(第3題(2)phc>pqg,phc>qgh,phcpqg,phcqgh.當(dāng)phc=ghq時(shí),phc+ghq=180°,phc=ghq=90°.poq=90°,hpc=90°-pqo=hgq.phcghq.qpo=ogc,tanqpo=tanogc.og

16、=6.點(diǎn)g的坐標(biāo)為(0,-6).設(shè)直線m的表達(dá)式為y=mx+n,點(diǎn)c(-3,0),點(diǎn)g(0,-6)在直線m上,e(-1,-4).此時(shí)點(diǎn)e在頂點(diǎn),符合條件.直線m的表達(dá)式為y=-2x-6.(第3題(3)(第3題(4)tancgotanqpo.cgoqpo.cgo=qgh,qghqpo.又hqg>qpo,phc與ghq不相似.符合條件的直線m不存在.t>2時(shí),如圖(5)所示.(第3題(5)此時(shí)點(diǎn)e在對(duì)稱軸的右側(cè).pch>cgo,pchcgo.當(dāng)qpc=cgo時(shí),phc=qhg,hpc=hgq,pchgqh.符合條件的直線m存在.直線m的表達(dá)式為y=2x+6.綜上所述:存在直線m,

17、使直線l,m與x軸圍成的三角形和直線l,m與y軸圍成的三角形相似,此時(shí)直線m的表達(dá)式為y=-2x-6和y=2x+6.【課后精練】x=0時(shí),y=3.c(0,3).解得x=1或x=-3,a(1,0),b(-3,0).bc=ob2+oc2=23.設(shè)p(-1,m),顯然pbpc,所以綜上,當(dāng)pbc為等腰三角形時(shí),點(diǎn)p的坐標(biāo)為(-1,3+11),(-1,3-11),(-1,22),(-1,-22).(3)由(2)知bc=23,ac=2,ab=4,所以bc2+ac2=ab2,即bcac.連接bc并延長至b',使b'c=bc,連接b'm,交直線ac于點(diǎn)q,b,b'關(guān)于直線ac

18、對(duì)稱,qb=qb'.qb+qm=qb'+qm=mb'.又bm=2,所以此時(shí)qbm的周長最小.由b(-3,0),c(0,3),易得b'(3,23).設(shè)直線mb'的表達(dá)式為y=kx+n,將m(-2,3),b'(3,23)代入,(第1題)2. (1)作ad的垂直平分線交bc于點(diǎn)p,如圖(1),(第2題(1)則pa=pd.pad是等腰三角形.四邊形abcd是矩形,ab=dc,b=c=90°.pa=pd,ab=dc,rtabprtdcp(hl).bp=cp.bc=4,bp=cp=2.以點(diǎn)d為圓心,ad為半徑畫弧,交bc于點(diǎn)p',如圖(1)

19、,則da=dp'.p'ad是等腰三角形.四邊形abcd是矩形,ad=bc,ab=dc,c=90°.ab=3,bc=4,dc=3,dp'=4.cp'=42-32=7.bp'=4-7.以點(diǎn)a為圓心,ad為半徑畫弧,交bc于點(diǎn)p,如圖(1),則ad=ap.pad是等腰三角形.同理可得bp=7.綜上所述,在等腰三角形adp中,若pa=pd,則bp=2.若dp=da,則bp=4-7.若ap=ad,則bp=7.(2)e,f分別為邊ab,ac的中點(diǎn),efbc,ef=bc.bc=12,ef=6.以ef為直徑作o,過點(diǎn)o作oqbc,垂足為q,連接eq,fq,如圖

20、(2).(第2題(2)adbc,ad=6,ef與bc之間的距離為3.oq=3.oq=oe=3.o與bc相切,切點(diǎn)為q.ef為o的直徑,eqf=90°.過點(diǎn)e作egbc,垂足為g,如圖(2).egbc,oqbc,egoq.eogq,egoq,egq=90°,oe=oq,四邊形oegq是正方形.gq=eo=3,eg=oq=3.b=60°,egb=90°,eg=3,bg=3.bq=gq+bg=3+3.當(dāng)eqf=90°時(shí),bq的長為3+3.(3)在線段cd上存在點(diǎn)m,使amb=60°.理由如下:以ab為邊,在ab的右側(cè)作等邊三角形abg,作gpab,垂足為p,作akbg,垂足為k.設(shè)gp與ak交于點(diǎn)o,以點(diǎn)o為圓心,oa為半徑作o,過點(diǎn)o作ohcd,垂足為h,如圖(3).則o是abg的外接圓,(第2題(3)abg是等邊三角形,gpab,.ab=270,ap=135.ed=285,oh=285-135=150.abg是等邊三角形,akbg,bak=ga