人教高一數(shù)學(xué)值域和單調(diào)性講義

1、例1、求下列函數(shù)的值域:(1)(2)5x -1(3)x2-4x 3c 22x -x-1(4)x2-8x 15x2_x -6(5)2x24x7x22x 3第二節(jié)、函數(shù)值域的求法：求函數(shù)值域，必須首先確定函數(shù)定義域。1、常規(guī)方法：（1）通過圖像求值域：適用于能畫出圖像的函數(shù)，女口 y =x2-2x 3x 03 ；（2）配方法：對(duì)于求二次函數(shù)類值域的習(xí)題用配方法來求解;2、分離常數(shù)法（分式）例如“兗心），其值域?yàn)?a bAbc 門關(guān)鍵：1 一且0aa ax +b3、判別式法2適用于形如 y=* 虬，（ a、印不全為零且分式不可約的式子）aix + bx + G4、換元法：適用于無理數(shù)中含自變量的函數(shù)

2、，如 y=x2.1-x注意：設(shè) t .1 -x，必須確定 t 的取值范圍。5、對(duì)于一些復(fù)雜的或者復(fù)合函數(shù)，要逐層的求值域。題型一、求一般函數(shù)的值域:(6) y =x . 2x-1例 2、求下列函數(shù)的值域。(1)y =3 4x , x 三i1,3 丨；(2)y = x2-4x 6, x 1,5；(3)3x -1x1；(4) y =x、1 -2x題型二、求復(fù)合函數(shù)的值域: 對(duì)于復(fù)合函數(shù)，要逐層求解，設(shè)內(nèi)層函數(shù)為t，求出內(nèi)層函數(shù)的值域，內(nèi)層值域 即外層函數(shù)的定義域，再利用函數(shù)性質(zhì)求解。例3、求值域：f (x)3,x2,5。(逐層求解值域)i -2x例4、求f (x)二logi(x2-2x 3)的值域

3、。(復(fù)合函數(shù)的值域)2二、函數(shù)的單調(diào)性一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量xi，X2，當(dāng)xix2時(shí),都有f(xi)0時(shí)，函數(shù) af (x)與 f (x)的單調(diào)性相同，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù) af (x)與 f (x) 的單調(diào)性相反；(2)當(dāng)函數(shù) f(x)恒為正或者恒為負(fù)時(shí)，f(x)與 的單調(diào)性相反；f (x)(3) 若 f(x) _0，則 f(x)與f (x)的單調(diào)性相同；(4) 若 f (x)與 g(x)的單調(diào)性相同，貝 U f (x)+g(x)的單調(diào)性與 g(x)和 f (x)的單 調(diào)性相同；(5)若 f (x)與 g(x)的單調(diào)性想反，貝 U

4、f (x)-g(x)的單調(diào)性與 f (x)的單調(diào)性相 同。例8、函數(shù)f (x) = x2 2x3的單調(diào)遞減區(qū)域?yàn)?)A、，3 丨B、 i. - ,-1 丨C、1，：D、-3,-11三、 單調(diào)性的應(yīng)用技巧：1、用于比較函數(shù)值的大?。?例9、已知函數(shù) y = f (x)在上是減函數(shù)，試比較 f (-)與函數(shù) f (a2- a 1)的大小。2、利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍：例10、已知 f(x) =x22(1 _a)x 2 在, 1 上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍x - ax - 5, (x 1)例11、已知函數(shù)f(x) = “在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍 ,(x)-X是( )3、利用函數(shù)的單調(diào)性可

5、以解決有關(guān)方程、不等式、值域等問題。例12、(1)解方程(x2-x T)5-x5 4x2-8x 4 = 0。(2)函數(shù) y = . x - 24、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減。例如：函數(shù) f(x)=2-2x函數(shù) f(x) =2 厶=(丄)x，單調(diào)遞減。4因?yàn)楹瘮?shù) fi(x)顯這個(gè)函數(shù)在整個(gè)定義域范圍內(nèi)單調(diào)遞增， 而 fi(x) = -2x 在定義域范圍內(nèi)是單調(diào)遞減的，所以 f(x) =2%在定義域范圍內(nèi)是單調(diào)遞減的。若一個(gè)函數(shù)由多個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成，則此復(fù)合函數(shù)由簡(jiǎn)單函數(shù)中的減函數(shù)的 個(gè)數(shù)決定，若減函數(shù)有偶數(shù)個(gè)，則這個(gè)復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)，若減函數(shù)是奇數(shù)個(gè)， 則這個(gè)復(fù)合函數(shù)是減函數(shù)。利用單調(diào)性可以求函數(shù)的最值，注意在利用函數(shù)的單調(diào)性求最值時(shí)，必須 首先求出定義域，然后求出其單調(diào)區(qū)間，最后確定其最值。例13、求函數(shù)f (x) ?8-2x-x2的單調(diào)區(qū)間。2例14、求函數(shù)f(x)=( - )xx-4的單調(diào)區(qū)間和最值學(xué)科提高：抽象函數(shù)單調(diào)性的證明。對(duì)于這一類題目，通常有兩種方法，一種就是“湊”，湊定義或者湊已知，從而 使用已知的條件得出結(jié)論；另外一種是賦值法，給變量賦值必須根據(jù)條件和結(jié)論 的關(guān)系，有時(shí)可能要進(jìn)行多次的嘗試。一般情況下，0，-1,1這些特殊值都比較重要；證明單調(diào)性時(shí)，將函數(shù)的自變量 變形為X或者是兩個(gè)函數(shù)值之和比較常見。例15、已