《直線的傾斜角與斜率》優(yōu)質(zhì)課比賽(說(shuō)課)教案

1、直線的傾斜角與斜率課題說(shuō)明：本節(jié)課是新人教 A A 版數(shù)學(xué)必修 2 2 的 3.1.13.1.1 節(jié)的內(nèi)容. .內(nèi)容分析：本節(jié)課的主要內(nèi)容有兩個(gè)概念（直線的傾斜角、直線的斜率）及 一個(gè)公式（斜率計(jì)算公式）. .直線的傾斜角是反映直線傾斜方向的量， 它也是確定直線位置的一個(gè)重要的 幾何要素，它實(shí)質(zhì)上能從“形”的角度刻畫直線的傾斜程度. .直線的斜率指傾斜角不是 90 的直線，其傾斜角的正切值叫做這條直線的斜 率. .教材是從生活中斜坡的坡度遷移到直線的斜率概念的. .直線的斜率可看作是比值，實(shí)質(zhì)上是數(shù)值，所以直線的斜率從本質(zhì)上可看成是從“數(shù)”的角度刻畫直 線的傾斜程度. .華羅庚先生說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺

2、形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”. .顯然， 與傾斜角相比，用斜率刻畫傾斜程度會(huì)更細(xì)致. .關(guān)于過(guò)已知兩點(diǎn)的直線斜率公式：因?yàn)檫^(guò)兩點(diǎn)的直線是唯一確定的， 所以其 傾斜程度也就確定（即直線的斜率也是確定的）. .從而在直角坐標(biāo)系中，直線的斜率與直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)就有密不可分的聯(lián)系. .斜率不僅反映了這種聯(lián)系， 并用 代數(shù)方法表示了出來(lái)，而且在公式的推導(dǎo)中蘊(yùn)涵了分類討論、 數(shù)形結(jié)合、化歸等 重要數(shù)學(xué)思想. .學(xué)情分析：本節(jié)課是高中解析幾何部分的起始課， 學(xué)生具備的知識(shí)基礎(chǔ)是在 直角坐標(biāo)系中會(huì)用坐標(biāo)表示點(diǎn)， 明確了坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)可建立一一對(duì) 應(yīng)的關(guān)系. .這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，不僅能反映出數(shù)學(xué)概念離

3、不開(kāi)生活，數(shù)學(xué)概念的 形成是自然的，而且蘊(yùn)涵了幾何問(wèn)題代數(shù)化的思想， 從知識(shí)點(diǎn)及研究方法上，為 后繼判斷兩條直線的位置關(guān)系以及建立直線的方程等內(nèi)容起著關(guān)鍵性的鋪墊作 用. .教學(xué)目標(biāo)分析：1.1. 探索確定直線位置的幾何要素，感受傾斜角這個(gè)反映傾斜程度的幾何量的 形成過(guò)程. .2.2. 通過(guò)教學(xué)，使學(xué)生從生活中的坡度，自然遷移到數(shù)學(xué)中直線的斜率，感受 數(shù)學(xué)概念來(lái)源于生活實(shí)際，數(shù)學(xué)概念的形成是自然的，從而滲透辯證唯物主義思 想. .3.3.充分利用傾斜角和斜率是從數(shù)與形兩方面，刻畫直線相對(duì)于 x x 軸傾斜程度的兩個(gè)量這一事實(shí)，滲透數(shù)形結(jié)合思想4.4.經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過(guò)程，初步掌握過(guò)

4、已知兩點(diǎn)的直線的斜率 計(jì)算公式，滲透幾何問(wèn)題代數(shù)化的解析幾何研究思想 . .教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：1.1.感悟并形成傾斜角與斜率兩個(gè)概念；2.2.推導(dǎo)并初步掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式；3.3.體會(huì)數(shù)形結(jié)合及分類討論思想在概念形成及公式推導(dǎo)中的作用難點(diǎn)：用代數(shù)方法推導(dǎo)斜率的過(guò)程教學(xué)方法：計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)與發(fā)現(xiàn)法相結(jié)合即在多媒體課件支持下，讓學(xué) 生在教師引導(dǎo)下，積極探索，親身經(jīng)歷概念的發(fā)現(xiàn)與形成過(guò)程， 體驗(yàn)公式的推導(dǎo) 過(guò)程，主動(dòng)建構(gòu)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu). .教學(xué)過(guò)程：一、創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題問(wèn)題 1 1：（出示幻燈片）給出的兩點(diǎn) P P、Q Q 相同嗎？如何區(qū)分這兩個(gè)點(diǎn)？從形的角度看，它們有位置之分，但無(wú)大小

5、與形狀之分 從數(shù)的角度看，如何區(qū)分兩個(gè)點(diǎn)？（用坐標(biāo)區(qū)分）問(wèn)題 2 2：過(guò)這兩點(diǎn)可作什么圖形？（唯一嗎？）只經(jīng)過(guò)其中一點(diǎn)（如點(diǎn) P P） 可作多少條直線？若只想定出其中的一條直線， 除了再用一點(diǎn)外，還有其他方法 嗎？可以增加一個(gè)什么樣的幾何量？（估計(jì)不少學(xué)生能意識(shí)到需要有一個(gè)角）由此引導(dǎo)學(xué)生歸納，確定直線位置可有兩種方式：（1 1）已知直線上兩點(diǎn)；（2 2）已知直線上一點(diǎn)和直線的傾斜程度. .【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生歸納確定直線位置的幾何要素. .問(wèn)題 3 3：角的形成還需一條線，也就是說(shuō)要有刻畫傾斜程度 的角，就必須還有一條形成角的參照的直線在平面直角坐標(biāo)系 下，以哪條軸線為基準(zhǔn)形成刻畫傾斜程度的

6、角？（學(xué)生可能回答 x x軸或 y y 軸）以 x x 軸或 y y 軸為基準(zhǔn)都可以，習(xí)慣上我們用 x x 軸. .問(wèn)題 4 4:過(guò)點(diǎn) P P 與 x x 軸形成 4545 角的直線有幾條？（學(xué)生可能答一條或兩條，投影演示結(jié)果）如何區(qū)分清楚這兩條直線呢？估 計(jì)學(xué)生能想到還需要確定方向選擇哪個(gè)角來(lái)描述直線的傾斜程度，就能保證坐標(biāo)系下的任何一條直線都有 唯一的角與它對(duì)應(yīng)呢？（教師引導(dǎo)學(xué)生選取不同的方向來(lái)描述角，并區(qū)分 L Li與 L L2）數(shù)學(xué)概念來(lái)刻畫事物時(shí)，講求統(tǒng)一美與簡(jiǎn)潔美，如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確描述這 個(gè)角呢？（揭示課題）傾斜角的定義：在平面直角坐標(biāo)系下，以 x x 軸為基準(zhǔn)，當(dāng)直線 I 與

7、x x 軸相交 時(shí)，x x 軸正向與直線 I 向上方向之間所成的角：，叫做直線 I 的傾斜角. .學(xué)生練習(xí)畫出過(guò)點(diǎn) P P 的各種傾斜角的直線. .學(xué)生容易忽略與 x x 軸平行的直線，補(bǔ)出圖（4 4）,問(wèn)傾斜角在哪兒？如何規(guī)定？規(guī)定：當(dāng)直線 I 與 x x 軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角為 0 0 . .自然有傾斜角的范圍是0 0 ，180180）. .這樣平面直角坐標(biāo)系中每條直線都有唯一一個(gè)確定的傾斜角:與它對(duì)應(yīng). .傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等，傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等. .以上定義了一個(gè)從“形”的角度用傾斜角刻畫平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一條直線的 傾斜程度. .【設(shè)計(jì)意圖】?jī)A斜角的形

8、成離不開(kāi)“基準(zhǔn)”與“直線方向”的規(guī)定，同時(shí)讓 學(xué)生感受數(shù)學(xué)概念是自然的以及數(shù)學(xué)定義的統(tǒng)一美與簡(jiǎn)潔美，從而提示本節(jié)課的課題. .二、鞏固舊知，同化新知生活中，我們都有過(guò)爬山、爬坡的體驗(yàn)，對(duì)于斜坡的傾斜程度，可以用什么量來(lái)反映？（坡角與坡度）初中對(duì)坡度是如何定義的?坡度（比）升高量=前進(jìn)量（即坡角，的正切值）. .當(dāng)坡角：增大時(shí)，坡度如何變化?當(dāng)坡角=90=90 與 0 0 時(shí)，升高量、前進(jìn)量分別是什么？坡度又分別是什么? 坡角、坡度都能反映傾斜程度，遷移到數(shù)學(xué)中，坡角相當(dāng)于直線的傾斜角， 而坡度則對(duì)應(yīng)于直線的斜率斜率：傾斜角不是 9090 的直線，其傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率,即k = t

9、an a （a式90 ）. .問(wèn)題 5 5:生活中坡角沒(méi)鈍角，當(dāng)：為鈍角時(shí)，直線的斜率如何求？（轉(zhuǎn)化到其補(bǔ)角二上）:=180、-訊二是銳角），.k =tan 二 tan（180 -旳=tan v.女口：傾斜角=120=120，則斜率 k k - -3.3.【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生會(huì)用轉(zhuǎn)化思想求:為鈍角時(shí)的斜率，明確課本腳注的用法. .問(wèn)題 6 6 :當(dāng)：在0 0 ，180180 ）內(nèi)變化時(shí)，斜率 k k 如何變化?口口 U U 9O43*a = 9OaJJO&*-o:二CTl OlcOLt=Ok不存在【設(shè)計(jì)意圖】更條理、更全面地認(rèn)識(shí)斜率與傾斜角的變化關(guān)系. .問(wèn)題 7 7:傾斜角與斜率都能刻

10、畫直線的傾斜程度，哪個(gè)量更優(yōu)越呢？?jī)A斜角能從形的角度刻畫傾斜程度， 而斜率是比值，實(shí)質(zhì)是數(shù)值，它能從數(shù) 的角度反映傾斜的程度，顯然用斜率更細(xì)致入微些 . .【設(shè)計(jì)意圖】突出斜率刻畫傾斜程度的優(yōu)越性是更細(xì)致入微， 使用方便簡(jiǎn)潔. .三、嘗試推導(dǎo)，深化認(rèn)識(shí)兩點(diǎn)確定一條直線，可見(jiàn)由兩點(diǎn)也就確定了直線的傾斜程度， 即傾斜角與斜 率. .由此看來(lái)，直線上兩點(diǎn)與直線的斜率有著密不可分的聯(lián)系 問(wèn)題 8 8 在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線上兩點(diǎn) P Pi（ x xi，y yi）， P P2（ X X2，y y2）且 X Xi=X X2，能否用 P Pi、P P2的坐標(biāo)來(lái)表示直線斜率 k k?學(xué)生活動(dòng)：隨意在坐標(biāo)

11、系下畫兩點(diǎn) P Pi、P P2及直線 P P1P P2，探究各種圖形并嘗 試推導(dǎo)，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析 教師可適當(dāng)引導(dǎo)其將 斜坡截面圖遷移到坐標(biāo)系中，類似升高量、前進(jìn)量，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)，并 請(qǐng)學(xué)生敘述各個(gè)圖的推導(dǎo)過(guò)程與結(jié)果解：設(shè)直線 P PiP P2傾斜角為 a a （a a 鼻 9090）當(dāng)直線 P PiP P2方向向上時(shí)，過(guò)點(diǎn) P Pi作 x x 軸的平行線，過(guò)點(diǎn) P P2作 y 軸的平行線，兩線交于點(diǎn) Q Q,則點(diǎn) Q Q 為（X X2，y yi）（i i）當(dāng) a a 為銳角時(shí)，NQRPNQRP2， % % cxcx2， y yi y y2，在 RtRt AF

12、PAFP,Q Q 中，tantan a a =ta=ta nZQRRnZQRR =器 P P Q Q（2 2）當(dāng) a a 為鈍角時(shí)，G=i80=i80- -日（設(shè)/QPPQPP2=B=B ） ，& & c c x x?，W，tan ： =tan(i80=tan(i80 - -對(duì)=-tan-tan ，同理，當(dāng)直線 P P2P Pi方向向上時(shí)，無(wú)論:-為銳角或鈍角，也有 tan二 一出X2 Xiy y2一 y yix x2_ _ x xi【設(shè)計(jì)意圖】給學(xué)生提供充分的自主探索的時(shí)間與空間， 克服公式推導(dǎo)中不 易把握y y2- - y yiX X2- - X Xi在 RtRtAPPPP

13、2Q Q 中,tantan7171= =QPQP2QPQPiy y2- -y yi_ _y y2- -y yix x2-為 x x2y y2- - y yiX X2 Xi（可讓學(xué)生分組推導(dǎo)）的兩點(diǎn)（兩點(diǎn)坐標(biāo)與 tana的聯(lián)系；圖形分析不全面），培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合 與分類討論的思想，促進(jìn)思維的獨(dú)立性、全面性，邏輯性 . .思考：各種一般情形得出的結(jié)論一致嗎？與 P Pi、P P2這兩點(diǎn)坐標(biāo)順序有關(guān) 系嗎？2當(dāng)直線垂直于 x x 軸或 y y 軸時(shí)，上述結(jié)論適用嗎？3斜率公式使用時(shí)應(yīng)注意什么問(wèn)題？【設(shè)計(jì)意圖】熟悉公式的結(jié)構(gòu)特征及適用范圍. .鞏固練習(xí)：求經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)直線的斜率，并判斷傾斜角是銳角還是鈍角

14、. .1（1 1）A A（3,23,2）,B,B（-4,1-4,1）. .（ kAB=-）（2 2）A A（ 3,23,2）,B,B（ 4,14,1）. .（ k kAB=-1=-1）（3 3）A A（ 3,23,2）,B,B（ 3,-13,-1）. .（不存在）（4 4）A A（ 3,23,2）,B,B（ -4,2-4,2）. .（ k kAB=0）四、反思小結(jié)，概括提煉（同學(xué)們這節(jié)課有何收獲？）1.1. 明確了確定直線位置的幾何要素2.2. 理解了刻畫傾斜程度的量（傾斜角與斜率），知道了求斜率的兩種方法（定 義法、坐標(biāo)法），k k 二 tata 二坯 A.A.X2X2 _x_x3.3. 經(jīng)歷了代數(shù)