用“先抓嫌疑犯”的辦法解題

1、奧數(shù)課堂用“先抓嫌疑犯”的辦法解題于1998年8月11日14日在天津南開大學(xué)舉辦的“ 1998我 愛數(shù)學(xué)少年夏令營”的數(shù)學(xué)試卷中有這樣一道題：三件運(yùn)動(dòng)衣上的號(hào)碼分別是1, 2, 3，甲、乙、丙三人各穿一件。 現(xiàn)有25個(gè)小球。首先發(fā)給甲一個(gè)球，乙 2個(gè)球，丙3個(gè)球。規(guī)定三 人從余下的球中各取球一次，其中穿 1號(hào)球衣的人取他手中球數(shù)的1 倍，穿2號(hào)球衣的人取他手中球數(shù)的3倍，穿3號(hào)球衣的人取他手中 球數(shù)的4倍。取走之后，還剩下兩個(gè)球。那么甲穿的運(yùn)動(dòng)衣號(hào)碼是多 少？解這道題的關(guān)鍵是確定穿幾號(hào)球衣的人開始時(shí)各發(fā)了幾個(gè)球。如果我們分別用三個(gè)表示三個(gè)人開始時(shí)發(fā)的球數(shù)，就應(yīng)該有如下等 式：2口 +4口 +5

2、口 =23其中第一個(gè)方格表示穿1號(hào)球衣的人開始時(shí)發(fā)給的球數(shù)，第二個(gè) 方格表示穿2號(hào)球衣的人開始時(shí)發(fā)給的球數(shù)，第三個(gè)方格表示穿3號(hào) 球衣的人開始時(shí)發(fā)給的球數(shù)。這三個(gè)方格中分別應(yīng)該填入 1、2、3三 個(gè)數(shù)字。由于算式的結(jié)果23是個(gè)奇數(shù)，而無論第一個(gè)和第二個(gè)方格中填 入什么整數(shù)，2和4都是偶數(shù)，所以5必須是奇數(shù)，所以第三個(gè) 方格中應(yīng)填入奇數(shù)1或3。如果第三個(gè)方格中填入1,則等式變?yōu)椋?口 +4口 = 18,即：口 + 2口 =9這時(shí)，在兩個(gè)方格中只能填2和3的情況下，無論怎樣都不能使 等式成立，說明第三個(gè)方格中不能填 1,只能填3,也就是2口 +4口 +5X 3= 23即: 2口 +4口= 8,化簡

3、得到：口 +2口 =4這時(shí)就很容易地得到：2+ 2X 1 = 4所以就得到結(jié)論：穿1號(hào)球衣的人開始時(shí)發(fā)了 2個(gè)球，穿2號(hào)球 衣的人開始時(shí)發(fā)了 1個(gè)球，穿3號(hào)球衣的人開始時(shí)發(fā)了 3個(gè)球，而題 目已知開始時(shí)發(fā)給甲1個(gè)球，所以甲穿2號(hào)球衣。同時(shí)也就知道了乙 穿1號(hào)球衣，丙穿3號(hào)球衣。本題中在確定第三個(gè)方格中填幾時(shí)所用的思考方法， 不是急于確 定“是什么”，而是先根據(jù)條件確定“可能是什么”，這有點(diǎn)兒類似 于警察辦案時(shí)“先抓嫌疑犯，再確定罪犯”的辦法。筆者曾于10年前寫過一篇題為和奇怪的算式1 = 1 "的文章，現(xiàn)在回-憶起來，其中主要應(yīng)用的就是本題中的方法，現(xiàn)搞錄如下：同學(xué)們都知道，

4、3;約分的結(jié)杲等于;，這個(gè)分?jǐn)?shù)還有一個(gè)有趣的現(xiàn)Q644象，就是把分子的個(gè)位數(shù)字6與分母的十位數(shù)字6同時(shí)劃掉，得到的結(jié)果H 1.疋也 !這引起了我們進(jìn)一步探索的興趣，我們要問：還有哪些分?jǐn)?shù)具有類似的性質(zhì)？這就是問：哪些 a、b、c的值可以使等式Wa + b a10b + c c成立？其中a、b、c均表示1至9的數(shù)字。首先不難看出，a= b= c時(shí)，等式成立，然而我們特別感興趣的是：a、b、c取不相同數(shù)字時(shí)的情況。將等式改寫為：9ac= b (10a c)因?yàn)?ac是9的倍數(shù)，所以b (10a c)也一定是9的倍數(shù)。如果b不是3的倍數(shù)，那么10a c就是9的倍數(shù)，由于10a c = 9a+( a-c)所以ac就是9的倍數(shù)，從而就有a= c,由此可以推出a= b=c,這又成為我們不感興趣的情況了?，F(xiàn)在我們只要討論b是3的倍數(shù)的情況，也就是b分別取3、6、9的情況。這就是