高中立體幾何中二面角經(jīng)典求法

1、高 中 立 體 幾 何 中面 角 求 法摘要：在立體幾何中，求二面角的大小是歷屆高考的熱點(diǎn)，幾乎每年必考，而對(duì)于求二 面角方面的問(wèn)題，同學(xué)們往往很難正確地找到作平面角的方法，本文對(duì)求二面角的方法作了 一個(gè)總結(jié)，希望對(duì)學(xué)生有幫助。（一）、二面角定義的回顧：平面角來(lái)衡量的。而二面角的平面角是指在二面角 l的棱上任取一點(diǎn)0,分別在兩個(gè) 的平面角。從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的半平面內(nèi)作射線AO l,BO l ,則 AOB為二面角（二卜二面角的通常求法1、由定義作出二面角的平面角；2、利用三垂線定理（逆定理）作出二面角的平面角；3、作二面角棱的垂面，則垂面

2、與二面角兩個(gè)面的交線所成的角就是二面角的平面角4、空間坐標(biāo)法求二面角的大小5、平移或延長(zhǎng)（展）線（面）法6、射影公式S射影二S斜面cos 87、化歸為分別垂直于二面角的兩個(gè)面的兩條直線所成的角1、利用定義作出二面角的平面角，并設(shè)法求出其大小例1、 如圖，已知二面角0-8 0等于120°尸人，“AC a,PB± B,BC 0.求/APB的大小.解： 設(shè)平面A PAB訴0A,平面PAB A 3=0B。,. PAX % a a PAX a同理PB± a. a，平面PAB又 丁 0A 平面 PABa JOA同理a JOB.丁. / AOB是二面角a-aP的平面角.在四邊形

3、 PAOB 中，/AOB=120° ,./ PAO= / POB=90 ° ,所以/APB=60° 2、三垂線定理（逆定理）法由二面角的一個(gè)面上的斜線（或它的射影）與二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜線）也與二面角的棱垂直，從而確定二面角的平面角。例2:如圖,ABCD-ABQD是長(zhǎng)方體，側(cè)棱AA長(zhǎng)為1,底面為正方體且邊長(zhǎng)為2,E是棱BC勺中點(diǎn),求面GD四面CD印成二面角的正切值.解：在長(zhǎng)方體 ABCDAiBiCiDi中CQC為二面角Ci DE過(guò)點(diǎn)Ci,彳CQ DE,連結(jié)CO由三垂線定理可得： CO DE/ i CE -DE CO225CO 5

4、又 CC1C1OCarg tan2.55tan CiOC2.55又 ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形CD CE=i, DE= 5,i在Rt CDE中，SCDE CD23、找（作）公垂面法由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角，就是二面角的平面角。例5、如圖，已知 PA與正方形ABCD所在平面垂直，且 AB = PA,求平面PAB與平面PCD所成的二面角的大小。解：vPAXT® ABCD,又 CD，AD,故 CD，平面 PAD.而CD平面PCD,所以平面PCD，平面PAD.同理可證平面PAB，平面PAD.因?yàn)?平面PCDn平面PAD = PD,平面

5、PABA平面PAD = PA,所以PA、PD與所求二 面角的棱均垂直，即/ APD為所求二面角的平面角，且/ APD = 45° .5、平移或延長(zhǎng)（展）線（面）法將圖形中有關(guān)線段或平面進(jìn)行平移或延長(zhǎng)（展），以其得到二面角的兩個(gè)平面的交線。例3、正三角形ABC的邊長(zhǎng)為10, AC平面a, B、C在平面a的同側(cè)，且與a的距離分別是4和2,求平面ABC與a所成的角的正弦值。解：設(shè)E、F分別為B、C的射影，連EF并延長(zhǎng)交BC延長(zhǎng)線于D,連AD ; AEVB F 是 R C射影 /.BE±a ;_， 1vCF±a . .BE/ CF 又 CF： BE> , 2.C是

6、BD的中點(diǎn) . BC=DCv AABO正三角形 / B=/ BCAW BAC=60又/ACB它 ACD=180 , ./ACD=120 又 AC=DC, ./CAD= /CDA=30° ,又/ BAD= / BAC+/ CAD ,丁. / BAD=90 0 ,BA，AD ,又; AE是AB在平面a上的射影,.AEXAD 又 BA，AD ,平面 ABC Aa=A ,/ BAE是平面ABC與a所成的角， .BE,平面 a, a BEXAE , . AABC 是 RtA22Sin/ BAE=BE : AB= 5 ,即平面ABC與a所成角的正弦值為。56、射影公式由公式S射>=S斜面c

7、osO ,作出二面角的平面角直接求出。運(yùn)用這一方法的關(guān)鍵是從圖 中找出斜面多邊形和它在有關(guān)平面上的射影，而且它們的面積容易求得。AiA例4、如圖，設(shè)M為正方體 ABCD-AiBiCiDi的棱CG的中點(diǎn)，求平面BMD與底面ABCD所成的二面角的大小。解：DiD，面 ABCD, CiC±面 ABCD,？BMD1在底面上的射影為？ BDC,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)a,則S?BCD=。a2, BDi= <3 a2所以MH - a, S?bmd=a26由 SpbdSbmdios 8 得=arccos 37、化歸為分別垂直于二面角的兩個(gè)面的兩條直線所成的角例 6、在長(zhǎng)方體 ABCDAiBiCiDi

8、中，點(diǎn) E、F 分別在 BBi、DDi 上，且 AELAiB, AF±AiD.求證:AiC,平面AEF;若規(guī)定兩個(gè)平面所成的角是這兩個(gè)平面所組成的二面角中的銳角（或直角），則在空間中有定理：“若兩條直線分別垂直于兩個(gè)平面，則這兩條直線所成的角與這兩個(gè)平面所成角的大小相等. "(2)、試根據(jù)上述定理，在AB=4, AD =3, AA = 5時(shí)，求平面AEF與平面DiBiBD所成角的大小的余弦值解：(1)AiB，BC即A1B是A1C的射影又AiBLAE .,.AiCXAE同理 AiCXAF.AiC，平面 AEF(2)的解法如下： 過(guò)C作BD的垂線交AB于G.又 DiDCG,故

9、CG，平面 BBiDQ.而AC平面AEF(i)已證)，設(shè)CG與AiC所成的角為a,則a即為平面BBiDiD與平面AEF所成的角.34i5Sin/ BCG=Sin/ ABD=, Cos/ BCG= , GC=554BG= , AG=44AiG 2=A iA2+AG 2= 49 , AiC2=AB 2+AD 2+AA i 2=50i612.2在？ AiCG中，由余弦定理得 Cos/ AiCG=25求二面角的大小還有很多的方法，這里只是列舉了幾個(gè)常用的方法，希望同學(xué)們能在解題的時(shí)候加以總結(jié)，爭(zhēng)取在高考中旗開(kāi)得勝！如何用空間向量求解二面角求解二面角大小的方法很多，諸如定義法、三垂線法、垂面法、射影法、

10、向量法等若干種。而這些方法中最簡(jiǎn)單易學(xué)的就是向量法，但在實(shí)際教學(xué)中本人發(fā)現(xiàn)學(xué)生利用向量法求解二面角還是存在一些問(wèn)題，究其原因應(yīng)是對(duì)向量法的源頭不盡了解。本文就簡(jiǎn)要介紹有關(guān)這類問(wèn)題的處理方法，希望對(duì)大家有所幫助。在立體幾何中求二面角可歸結(jié)為求兩個(gè)向量的夾角問(wèn)題.對(duì)于空間向量>=a b .利用這一結(jié)論，我們可以較方便地處理立體幾何中二面角的問(wèn)題.|a I |b|例1 在四錐 V-ABCD中，底面ABC比正方形，側(cè)面 VAD是正三角形，平面 VADL底面ABCD求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值.證明： 建立如圖空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊得AB = (0 , 1, 0),是面VAD的法

11、向量,設(shè)門(mén)=(1 , y, z)是面VDB的法向量，則n VB 0,n VB 0.1,提3n = (1 ， - 1,-)。3cos v AB ,AB n n >|AB| | n|,217C又由題意知，面 VAN面VDB所成的二面角為銳角，所以其余弦值是,21例 2 如圖，直三棱柱 ABC-ABC 中，/ ACB=90 , AC=1, CB=<2 ,側(cè)棱AA=1,側(cè)面AABB的兩條對(duì)角線交點(diǎn)為 D, BC的中點(diǎn)為 M求證 CDL平面 BDM求面BBD與面CBD所成二面角的余弦值.解：略如圖,3; 2以C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系.設(shè)BD中點(diǎn)為G,連結(jié)B1G則依G(-一，4B1G =(一巨4BD

12、 B1G = 0 ,BD± B1 G又CDL BD, CD與BG的夾角 等于所求二面角的平面角.CD B1G 、.3cos =-.CiAiM Bi|CD| |BiG|例3如圖，在四棱錐 P ABCD4底面 ABC虛正方形，側(cè)棱 PD，底面ABCD PD=DC E是PC的中點(diǎn),作EF，PB交PB于點(diǎn)F.求二面角 C- PB-D的大小解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC a設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x0, y0, z0), PA = PB ,則 (x°, y°, zo a) (a, a, a).從而 xoa, yoa, zo (1 )a .所以aa、,1、,1、

13、PE =(xo,-yo,-zo)(a,(-)a,(-)a).2222由條件EF± PB知,212a ( )a (2PE - PB = o,即_)a2 o ,解得 2.點(diǎn)F的坐標(biāo)為(a, a, 2a),且pe (芻，a, 3 333 66)2aT)PB FD2a2即PBEFD是二面角C- PB-D的平面角. PE - FD =18且 |PE|36366 a，|FD|4a293 a5 cos EFDPEFD| PE | FD |6.6aa63EFD所以，二面角 C- PB- D的大小為 一.3例4 已知三棱柱 OAB 01Al B1中，平面OBB1O1 ±平面 OAB, / AOB = 90 ,/O1OB=60，且 OB=OO產(chǎn) 2,OA= -3 ,求二面角O1 AB- O的余弦值.x解：以。為原點(diǎn)，分別以O(shè)A, OB所在的直線為 x, y 軸，過(guò)。點(diǎn)且與平面 AOB垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.如圖，則 0(0, 0, 0), 01(0, 1, V3), A( <3 , 0, 0), A1 ( <3 , 1, V3) , B(0, 2, 0).A01 = ( - <3 , 1,展),AB = ( 33 ,2,0)