電磁場與電磁波試題

1、1. 如圖所示， 有一線密度的無限大電流薄片置于平面上，周圍媒質(zhì)為空氣。試求場中各點的磁感應強度。解： 根據(jù)安培環(huán)路定律, 在面電流兩側(cè)作一對稱的環(huán)路。則由3. 在附圖所示媒質(zhì)中，有一載流為的長直導線，導線到媒質(zhì)分界面的距離為。試求載流導線單位長度受到 的作用力。解： 鏡像電流2. 已知同軸電纜的內(nèi)外半徑分別為和, 其間媒質(zhì)的磁導率 為，且電纜長度， 忽略端部效應， 求電纜單位長度的外自感。鏡像電流在導線處產(chǎn)生的值為解： 設電纜帶有電流則單位長度導線受到的作用力1力的方向使導線遠離媒質(zhì)的交界面。4. 圖示空氣中有兩根半徑均為 ，其軸線間距離為d的平行長直a圓柱導體，設它們單位長度上所帶的電荷

2、量分別為和， 若忽略端部的邊緣效應，試求(1) 圓柱導體外任意點 p 的電場強度 的電位 的表達式 ；(2)圓柱導體面上的電荷面密度與值。解：以 y 軸為電位參考點，則5. 圖示球形電容器的內(nèi)導體半徑， 外導體內(nèi)徑，其間充有兩種電介質(zhì)與， 它們的分界面的半徑為。 已知與的相對6. 電常數(shù)分別為。求此球形電容器的電 容。解26. 一平板電容器有兩層介質(zhì)，極板面積為, 一層電介質(zhì)厚度，(2)電導率，相對介電常數(shù)，另一層電介質(zhì)厚度，電導率。 相對介電常數(shù)， 當電容器加有電壓(3)時， 求(1) 電介質(zhì)中的電流 ；(2) 兩電介質(zhì)分界面上積累的電荷 ；(3) 電容器消耗的功率 。解：7. 有兩平行放置

3、的線圈，載有相同方向的電流，請定性畫出場 中的磁感應強度(1)分布(線) 。解：線上、下對稱。31. 已知真空中二均勻平面波的電場強度分別為:和求合成波電場強度的瞬時表示式及極化方式。解：得合成波為右旋圓極化波。8. 圖示一平行板空氣電容器， 其兩極板均為邊長為 a 的 正方形， 板間距離為d， 兩板分別帶有電荷量與，現(xiàn)將厚度 為 d、相對介電常數(shù)為， 邊長為 a 的正方形電介質(zhì)插入平行板電容器內(nèi)至處，試問該電介質(zhì)要受多大的電場力？ 方向如何？解： (1)當電介質(zhì)插入到平行板電容器內(nèi) a/2 處， 則其電容可看成兩個電容器的并聯(lián)靜電能量當時，其方向為 a/2 增加的方向，且垂直于介質(zhì)端面。9.

4、 長直導線中載有電流 ，其近旁有一矩形線框，尺寸與相互 位置如圖所示。設時，線框與直導4線共面時，線框以均勻角速度繞平行于直導線的對稱軸旋轉(zhuǎn)，求線框中的感應電動勢。解： 長直載流導線產(chǎn)生的磁場強度參考方向時為順時針方向。10. 無源的真空中，已知時變電磁場磁場強度的瞬時矢量為時刻穿過線框的磁通試求(1)的值 ; (2)電場強度瞬時矢量和復矢量( 即相量)。解： （1)感應電動勢由得故得5(2)和分別是振幅為的右旋和左旋圓極化波。11. 證明任一沿 傳播的線極化波可分解為兩個振幅相等, 旋轉(zhuǎn)方向相反的圓極化波的疊加。12.圖示由兩個半徑分別為和的同心導體球殼組成的球形 電容器，在球證明： 設線極

5、化波殼間以半徑為分界面的內(nèi)、外填有兩種不同的介質(zhì)， 其介電常數(shù)分別為和，試證明此球形電容器的電容為其中 :證明：設內(nèi)導體殼外表面所帶的電荷量為 Q，則6(2)面積中心 ,兩導體球殼間的電壓為(3)的平均值13.已知求(1)穿過面積在方向的總電流(2) 在上述面積中心處電流密度的模；14. 兩個互相平行的矩形線圈處在同一平面內(nèi)， 尺寸如圖所示， 其中，(3)在上述面上的平均值 。略去端部效應，試求兩線圈間的互感。解：(1)解： 設線框帶有電流，線框的回路方向為順時針。線框產(chǎn)生的為715. 已知， 今將邊長為的方形線框放置在坐標原點處，如圖，當此線框的法線分別沿、和方向時，求框中的感應電動勢。解：

6、 (1)線框的法線沿時由得(2)線框的法線沿時線框的法線沿時16. 無源真空中，已知時變電磁場的磁場強度為；,其中、為常數(shù)，求位 移電流密度。解： 因為由得817. 利用直角坐標系證明v2. 證明左邊= ( fA)vv( fAx )ex( fAy )eyxyvvv( fG )fG(f )Gvvv( fAxexfAyeyfAzez)v( fAz )ezzvvvv f( Ax )ex( Ay )ey( Az )ez Ax( f )exxffxyzvvAy( f )eyAy( f )ey yvyfvfAA=右邊18. 求無限長直線電流的矢量位 A 和磁感應強度 B 。解：直線電流元產(chǎn)生的矢量位為vv

7、0 I r 2dz 'dAez4( z z')2 1 2積分得vvvvf( Ax )exAx( f )ex(Ay )ey( f )eyxxfAyyyvvf(Az )ezAz( f )ezzz9lvv0 I2dz'1 2 Aez42( zz ')2l r2v0 I22lln( z 'z)( z 'z)r2ez4l2v0 I( lz) ( lz)2r 2 1 2ln22ez4lz)lz)2r21 2(0 I22vlez4lnr當 l, Avv 0Ir0附加一個常數(shù)矢量 Cezln4lvv0 Ilv0 Ir0v0 Ir0則 A ez4lnez4lnle

8、z4lnrrvvv0 IvAzv則由 BAeer 4 r19. 圖示極板面積為 S、間距為 d 的平行板空氣電容器內(nèi)，平行地放入一塊面積為 S、厚度為 a、介電常數(shù)為 的介質(zhì)板。設左右兩極板上的電荷量分別為 Q 與Q 。若忽略端部的邊緣效應，試求(1) 此電容器內(nèi)電位移與電場強度的分布；(2) 電容器的電容及儲存的靜電能量。vvQ v解： 1） D1D2SexvvvQvvQ vD1D2E1S 0ex ， E2ex0S2)QQS 0C1E1( da)d aUC2QQSU 2E2aaCC1C2S0C1C20a(d a)W1 Q21 0 a ( d a) Q22 C2S 0QQa00doxQQavv

9、E1E10v0E2dox1020. 在自由空間傳播的均勻平面波的電場強度復矢量為E a 10 4 e j 20 zaj (20 z)y10 4 e2 ( v / m)x求（1）平面波的傳播方向；（2）頻率；（3）波的極化方式；（4）磁場強度；（5）電磁波的平均坡印廷矢量 Sav 。解：（1）平面波的傳播方向為方向（2）頻率為 f k0c3 109 Hz2（3）波的極化方式因為 ExmEym10 4 ,xy0，22故為左旋圓極化（4）磁場強度v0vv1v v4v v4)ej 20 zHazE(azax10ja zay 10001v4v4)ej 20z(ay10jax100（5）平均功率坡印廷矢量

10、v1v v *1v4v4)ej 20 zSavReEHRe(ax10ja y 10221v4v4j 20z( ay10jax10)e01(10 4 )2(10 4 )2v2az0011210 8 avz2120v0.26510102az (W / m )21. 利用直角坐標，證明( fA) fA A f證明：v(vvv左邊= ( fA)fAxexfAyeyfAzez)vvv( fAx )ex( fAy )ey( fAz )ezxyz11vvvvf( Ax )exAx( f )exf(Ay )eyAy( f )eyxxyyvvf(Az )ezAz( f )ezzzvvvv f( Ax )exf(

11、 Ay )eyf( Az )ez Ax( f )exxyzxvvAy( f )eyAy( f ) ey yvyfvfAA=右邊22.vvv2v2z沿 xy平面上的一個邊長為 2 的正方形回路求矢量 Aex x ey xez y的線積分，此正方形的兩邊分別與 x 軸和 y 軸相重合。再求vA 對此回路所包圍的曲面積分，驗證斯托克斯定理。解：2222?Agd l0x d xxd x22 d y 0d y 8C000又exeyezAyex 2yz ez 2xxzxx2y2 z所以22Agd S(ex 2yz ez 2 x)gez d x d y 8S00故有? Agd l8Agd SCS23. 同軸

12、線內(nèi)外半徑分別為 a 和 b ，填充的介質(zhì) 0 ，具有漏電現(xiàn)象，同軸線外加電壓U ，求（1）漏電介質(zhì)內(nèi)的；（2）漏電介質(zhì)內(nèi)的 E 、 J ；（3）單位長度上的漏電電導。解：（1）電位所滿足的拉普拉斯方程為1 d ( d)0r drdr由邊界條件 r a,U ; r b,0 所得解為Ub lnb(r ) rlna12（2）電場強度變量為v)v dUv，(E rer drr lnb era穿過線框的磁通量則漏電媒質(zhì)的電流密度為vvUv()JE rr ln b era（3）單位長度的漏電流為 I 02 rU2U vr ln berln baa單位長度的漏電導為 G0I 02Ulnba24. 如圖 所

13、示，長直導線中載有電流 iI m cost ，一矩形導線框位于其近旁，其兩邊與直線平行并且共面，求導線框中的感應電動勢。解：載流導線產(chǎn)生的磁場強度的大小為B0i2 rc avvB.dscca0i bdrc2r0 bI m cos tca2lncddt0bI msint ln ca線框中的2感應電動勢c參考方向為順時針方向。25. 空氣中傳播的均勻平面波電場為頻率為 f 。求v(1) 磁場H；vvvvjkr，已知電磁波沿軸傳播，Eex E0 e(2) 波長；13vv(3) 能流密度 S 和平均能流密度 Sav ；(4) 能量密度 W 。v1 vvjk r解：（1） Hezex E0ev vv0v

14、 vE0ejk rey0v1（2）ff0 0v vv0vvvvvvjkrjkr（3）S E Hex E0 eey E0e0v02v2 jk rvezE0 e0v022ftkz)ezE0cos (20v1vv *)v 102SavRe(EHezE0220（4）W10E 210H 22226. 平行板電容器的長、寬分別為 a 和 b ，極板間距離為 d 。電容器的一半厚度( 0 : d / 2 ) 用介電常數(shù)為的電介質(zhì)填充，（1）板上外加電壓 U 0 ，求板上的自由電荷面密度、束縛電荷；（2）若已知板上的自由電荷總量為 Q ，求此時極板間電壓和束縛電荷；（3）求電容器的電容量。解：（1）設介質(zhì)中的

15、電場為 EezE ，空氣中的電場為 E0ezE0 。由 DD 0 ，有E0 E0又由于E dE0dU 022由以上兩式解得E20U 0(0 ) d14E02 U 0(0 )d故下極板的自由電荷面密度為20 U 0下E0 ) d(上極板的自由電荷面密度為上0 E020U0(0 )d電介質(zhì)中的極化強度P (0 ) Eez2 0 (0)U0(0 )d故下表面上的束縛電荷面密度為20 (0)U0p下ez gP(0 )d上表面上的束縛電荷面密度為20 (0)U0p上ezgP(0 )d（2）由Q 2 0 Uab (0 )d得到(0 )dQUab2 0故(0 )Qp下ab（3）電容器的電容為Q2 0 abC

16、U (0 )d26. 頻率為100MHz 的正弦均勻平面波在各向同性的均勻理想介質(zhì)中沿（z ）方向傳播，介質(zhì)的特性參數(shù)為 r4 、r1，0 。設電場沿vv0 ， z1x 方向，即 EexEx ；當 tm 時，電場等于其振幅值810 4 V / m。試求15vv（1） H ( z, t ) 和 E( z, t) ；（2） 波的傳播速度；（3） 平均波印廷矢量。解：以余弦形式寫出電場強度表示式vvE(z,t )ex Ex (z,t )vkzxE )ex Em cos( t把數(shù)據(jù)代入 Em10 4V / mk2f 440 0rad / m341radxEkz836則（2）波的傳播速度v113 108

17、1.5 108 m / s002（3）平均坡印廷矢量為 Sav1vv*2Re EH1v4j ( 4 z)v 104j ( 4 z)Save36e36 Reex 10ey2601v (10 4 )22Reez60v10 82ez 120W / m27.在由 r 5 、 z0 和 z4圍成的圓柱形區(qū)域，對矢量 Aer r 2ez 2z 驗證散度定理。解： 在圓柱坐標系中gA1(rr 2 )(2 z)3r 2vE(z,t )vH ( z, t )v 1 ey 60v4cos(284z)V / mex1010 t3v6vv Exv110484)ey H yeyeycos(2 10 tz3610 4 c

18、os(2108 t4 z6) A / m3rrz所以425gA dd zd(3r2)r d r120000016又g2g蜒(er rez 2z) (er d Sre d S ez d Sz)A dSSS4 25 2525dd z24r d r d12000000故有gA d 1200?Agd SS28.求（1）矢量 A exx2 ey x2 y2 ez 24 x2 y2 z3 的散度；（2）求 gA 對中心在原點的一個單位立方體的積分；（3）求 A 對此立方體表面的積分，驗證散度定理。解 ：（1）gA(x2 )( x2 y2 )(24 x2 y2 z3)2x 2x2 y 72 x2 y2 z2

19、xyz（2）gA 對中心在原點的一個單位立方體的積分為1 21 21 21gA d(2 x 2x2 y 72x2 y2z2 )d xd y dz1 21 21 224（3） A 對此立方體表面的積分1 21 211 21 21 2g2(?A d S( ) d y dz) d y dzS1 21 221 21 221 21 22x2 ( 1) 2 d x dz1 21 22x2 ( 1)2 d x dz1 21 221 21 221 21 21 )3 d x dy1 21 21)3 d x dy24 x2 y2 (24 x2 y2 (1 21 221 21 22124故有1gA d24?Agd

20、SS29. 計算矢量 r 對一個球心在原點、半徑為 a 的球表面的積分，并求 gr 對球體積的積分。解 ：172r gdSr ger dSdaa 2 sin d4 a3蜒SS00又在球坐標系中gr1r(r 2 r ) 3r 2所以2agrd3r 2 sin dr d d4 a300 030.求矢量 Aex xey x2ez y2 z 沿 xy 平面上的一個邊長為 2 的正方形回路的線積分，此正方形的兩邊分別與 x 軸和 y 軸相重合。再求A 對此回路所包圍的曲面積分，驗證斯托克斯定理。解：2222?Agd lxd xx d x22 d y 0d y 8C0000又exeyezAyex 2yz

21、ez 2xxzxx2y2 z所以22Agd S(ex 2yz ez 2 x)gez d x d y 8S00故有? Agd l8Agd SCS31.證明（1）gR 3 ；（ 2 ）R 0 ；（ 3 ） ( AgR) A 。其中Rexx ey yez z ， A 為一常矢量。解 ：（1）xyzgRy3xzexeyez（2）R0xyzxyy18（3）設Aex Axey Ayez Az則AgRAx xAy yAz z故( AgR)ex x (Ax x Ay y Azz) ey y ( Axx Ay y Azz)exeyez 2EE1E2232033. 兩平行無限長直線電流 I1 和 I 2 ，相距為

22、 d ，求每根導線單位長度受到的安培力 Fm 。解： 無限長直線電流 I1 產(chǎn)生的磁場為ez( AxxAy yAz z)B1e0 I 1zex Ax ey AyezAz A32. 兩點電荷 q18C 位于 z 軸上 z4 處， q24C 位于 y 軸上 y4 處，求 (4,0,0) 處的電場強度。解： 電荷 q1 在 (4,0,0) 處產(chǎn)生的電場為q1r r12 ex 4 ez 4E10 rr13340(42)電荷 q2 在 (4,0,0)處產(chǎn)生的電場為q2r r21 ex 4 ey 4E 2r r23(4 2)34 00故 (4,0,0)處的電場為2 r直線電流 I 2 每單位長度受到的安培

23、力為10I1I2Fm12I 2 ez B1 d ze1202 d式中 e12 是由電流 I1 指向電流 I 2 的單位矢量。同理可得，直線電流 I1 每單位長度受到的安培力為0I1I2Fm21Fm12 e122 d34. 一個半徑為 a 的導體球帶電荷量為 Q ，當球體以均勻角速度 繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，求球心處的磁感應強度 B 。19解：球面上的電荷面密度為Q4 a2當球體以均勻角速度繞一個直徑旋轉(zhuǎn)時，球面上位置矢量 rer a 點處的電流面密度為J Sv rezer aea sineQ sin4a將球面劃分為無數(shù)個寬度為 dla d 的細圓環(huán)，則球面上任一個寬度為d l a d 細圓環(huán)的電流為d

24、 IJ S d lQ sin d4細圓環(huán)的半徑為 ba sin ，圓環(huán)平面到球心的距離 d a cos，利用電流圓環(huán)的軸線上的磁場公式，則該細圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場為0b2 d I0 Qa 2 sin 3 dd Bez 2(b2d 2 )3 2ez 8 (a2 sin2a2 cos2 )3 20Q sin3dez8 a故整個球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場為Bez 00 Q sin3dez0Q8 a6a35. 半徑為 a 的球體中充滿密度 (r ) 的體電荷，已知電位移分布為r 3Ar 2(ra)D ra5Aa 4(ra)r 2其中 A 為常數(shù)，試求電荷密度(r ) 。解 由gD，有( r )g

25、D1 d (r 2 D r )r 2 d r故在 ra 區(qū)域( r )1d r2( r3Ar2)0 (5r24Ar )0 r 2d r在 ra 區(qū)域( r )01 d r 2 (a5Aa 4 ) 0r 2 d rr 22036. 一個半徑為 a 薄導體球殼內(nèi)表面涂覆了一薄層絕緣膜，球內(nèi)充滿總電荷量為 Q 為的體電荷，球殼上又另充有電荷量 Q 。已知球內(nèi)部的電場為E er (r a)4 ，設球內(nèi)介質(zhì)為真空。計算：（1） 球內(nèi)的電荷分布；（2）球殼外表面的電荷面密度。解 ：（1） 由高斯定理的微分形式可求得球內(nèi)的電荷體密度為 12d (r 2 E) 12d(r 2 r4r30 gE004) 604

26、rdrrdraa（2）球體內(nèi)的總電量 Q 為ar 322Qd6 00aa4 4 r dr 40球內(nèi)電荷不僅在球殼內(nèi)表面上感應電荷Q ，而且在球殼外表面上還要感應電荷Q ，所以球殼外表面上的總電荷為 2 Q ，故球殼外表面上的電荷面密度為2Q22 04 a37. 中心位于原點，邊長為 L 的電介質(zhì)立方體的極化強度矢量為PP0 ( ex xey yez z) 。（1）計算面束縛電荷密度和體束縛電荷密度；（2）證明總的束縛電荷為零。解 ：（1）PgP3P0LLP (x2 )ngP x L 2 ex gP x L 22 P0P (xL ) ngP x L 2ex gPx L 2L P022同理P ( yL )P ( yL )P ( zL )P ( zL )L P022222（2） qPP d? P d S 3P0 L36L2L P00S238. 一半徑為 R0 的介質(zhì)球，介電常數(shù)