弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式及其應(yīng)用

1、弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式及其應(yīng)用 n得圓心角所對(duì)得弧長(zhǎng)得計(jì)算公式:, 圓心角為得扇形面積得計(jì)算公式就就是。 當(dāng)弓形所含得弧就就是劣弧時(shí),如圖 1 所示， 當(dāng)弓形所含得弧就就是優(yōu)弧時(shí)，如圖所示, 當(dāng)弓形所含得弧就就是半圓時(shí),如圖 3 所示, 例:如圖所示，o 得半徑為 2，abc4,則圖中陰影部分得面積就就是 ( )(結(jié)果用表示) 分析：由圖可知由圓周角定理可知abc=ao，所以ao2abc=90，所以oa就就是直角三角形,所以 ， 所以 注意:(1）圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓面積、扇形面積得計(jì)算公式。 圓周長(zhǎng) 弧長(zhǎng) 圓面積 扇形面積 公 式 (2)扇形與弓形得聯(lián)系與區(qū)別 ()扇形與弓形得聯(lián)系與區(qū)別 圖 示

2、 面 積 知識(shí)點(diǎn) 4、圓錐得側(cè)面積 圓錐得側(cè)面展開(kāi)圖就就是一個(gè)扇形,如圖所示,設(shè)圓錐得母線(xiàn)長(zhǎng)為 l,底面圓得半徑為 r,那么這個(gè)扇形得半徑為 l，扇形得弧長(zhǎng)為 2,圓錐得側(cè)面積,圓錐得全面積 說(shuō)明:()圓錐得側(cè)面積與底面積之與稱(chēng)為圓錐得全面積。 （)研究有關(guān)圓錐得側(cè)面積與全面積得計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵就就是理解圓錐得側(cè)面積公式,并明確圓錐全面積與側(cè)面積之間得關(guān)系。 知識(shí)點(diǎn)、圓柱得側(cè)面積 圓柱得側(cè)面積展開(kāi)圖就就是矩形,如圖所示,其兩鄰邊分別為圓柱得高與圓柱底面圓得周長(zhǎng),若圓柱得底面半徑為，高為 h，則圓柱得側(cè)面積,圓柱得全面積 知識(shí)小結(jié)： 圓錐與圓柱得比較 名稱(chēng) 圓錐 圓柱 圖形 圖形得形成過(guò)程 由一個(gè)

3、直角三角形旋轉(zhuǎn)得到得,如 rtoa 繞直線(xiàn) s旋轉(zhuǎn)一周。 由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到得,如矩形 a繞直線(xiàn)b 旋轉(zhuǎn)一周。 圖形得組成 一個(gè)底面與一個(gè)側(cè)面 兩個(gè)底面與一個(gè)側(cè)面 側(cè)面展開(kāi)圖得特征 扇形 矩形 面積計(jì)算方法 【 典型例題】 例、 （003、)如圖所示，在同心圓中,兩圓得半徑分別為 2,1,ob=120,則陰影部分得面積就就是( ） a、 b、 c、 d、 分析: :陰影部分所在得兩個(gè)扇形得圓心角為, 所以 故答案為：b、 例、 (200陜西)如圖所示,點(diǎn) c 在以 ab 為直徑得半圓上,連接 a,b,b=0 厘米,nbc,求陰影部分得面積。 分析: :本題考查得知識(shí)點(diǎn)有:(）直徑所對(duì)圓周角為0

4、,(）解直角三角形得知識(shí)(3)組合圖形面積得計(jì)算。 解 解: :因?yàn)?ab 為直徑,所以ac=90, 在 rtac 中,=10, tbac=，而 tanb= 設(shè) bc=3，ac=k,(k 不為 0，且為正數(shù)） 由勾股定理得 所以 bc=6，=，而 所以 例 3、 (200、福州)如圖所示,已知扇形 aob 得圓心角為直角,正方形 ocd內(nèi)接于扇形 aob,點(diǎn) c,d 分別在 oa，ob 及 a弧上,過(guò)點(diǎn) a 作ed 交 ed 得延長(zhǎng)線(xiàn)于,垂足為，如果正方形得邊長(zhǎng)為 1,那么陰影部分得面積為（ ) 分析: :連接 od,由正方形性質(zhì)可知e=do=45,在 rtoed 中,od=, 因?yàn)檎叫蔚眠?/p>

5、長(zhǎng)為 1，所以de=,所以,設(shè)兩部分陰影得面積中得一部分為 m,另一部分為 n,則,陰影部分面積可求,但這種方法較麻煩,用割補(bǔ)法解此題較為簡(jiǎn)單,設(shè)一部分空白面積為 p, 因?yàn)閛ddoc,所以 所以 m=p，所以 答案：。 例 4、 如圖所示,直角梯形 abcd 中，b=90，adbc,ab2,bc=,d3,以c 為軸把直角梯形 abc旋轉(zhuǎn)一周,求所得幾何體得表面積。 分析: :將直角梯形bcd 繞c 旋轉(zhuǎn)一周所得得幾何體就就是由相同底面得圓柱與圓錐組成得,所得幾何體得表面積就就是圓錐得側(cè)面積、圓柱得側(cè)面積與底面積三者之與。 解 解: :作 dhbc 于 h，所以hb2 ch=bc-bh=ba=

6、7-3=4 在cd中, 所以 例 5、 （2021、寧波)已知扇形得圓心角為 120,面積為 300 平方厘米 （1)求扇形得弧長(zhǎng)。 (2）若把此扇形卷成一個(gè)圓錐,則這個(gè)圓錐得軸截面面積就就是多少? 分析: :(1)由扇形面積公式,可得扇形半徑 r,扇形得弧長(zhǎng)可由弧長(zhǎng)公式求得。(2)由此扇形卷成得圓錐如圖所示,這個(gè)圓錐得軸截面為等腰三角形 abc,（1)問(wèn)中求得得弧長(zhǎng)就就是這個(gè)圓錐得底面圓周長(zhǎng),而圓周長(zhǎng)公式為 c=2r,底面圓半徑 r 即d 得長(zhǎng)可求,圓錐得高d 可在 rtadc 中求得,所以可求。 解 解: :(1）設(shè)扇形得半徑為 r, 由,得,解得 r0、 所以扇形得弧長(zhǎng)(厘米)。 (2)

7、如圖所示，在等腰三角形 abc 中,ab=ac=30,bc2r，底面圓周長(zhǎng) c=2r,因?yàn)榈酌鎴A周長(zhǎng)即為扇形得弧長(zhǎng),所以 在tadc 中,高 ad= 所以軸截面面積(平方厘米）。 弧長(zhǎng)及扇形得 面積 公式 姓名_ _ 一、選擇題 1、 若一個(gè)扇形得圓心角就就是5，面積為,則這個(gè)扇形得半徑就就是（ ) a、 4 b、 2 c、 4 d、 2 2、 扇形得圓心角就就是 60,則扇形得面積就就是所在圖面積得( ) 、 b、 c、 、 、 扇形得面積等于其半徑得平方，則扇形得圓心角就就是（ ) 、 90 b、 c、 d、180 4、 兩同心圓得圓心就就是,大圓得半徑就就是以 oa,ob 分別交小圓于點(diǎn)

8、 m, 、已知大圓半徑就就是小圓半徑得 3 倍,則扇形 oab 得面積就就是扇形 omn 得面積得( ) a、 倍 b、 3 倍 、 6 倍 d、 倍 、 半圓 o 得直徑為cm,b=，則陰影部分得面積就就是( ） 、 b、 、 d、 6 用一個(gè)半徑長(zhǎng)為 6cm 得半圓圍成一個(gè)圓錐得側(cè)面，則此圓錐得底面半徑為( ) 、 2c b、 cm c、 4c d、 6cm 、 圓錐得全面積與側(cè)面積之比就就是 3 :2,這個(gè)圓錐得軸截面得頂角就就是（ ） 、 30 b、 c、 90 d、 8、 已知兩個(gè)母線(xiàn)相等得圓錐得側(cè)面展開(kāi)圖恰好能拼成一個(gè)圓，且它們得側(cè)面積之比為2，則它們得高之比為( ) a、 :1

9、b、 3:2 c、 2： d、 5: 9、 如圖,在abc 中,c t,c c,若以c 為底面圓半徑,bc 為高得圓錐得側(cè)面積為 1 ,以c 為底面圓半徑，ac 為高得圓錐得側(cè)面積為 2 ,則( ） 、 s 1 s 2 b、 s c、 1 s 、 s 1 、s 2 得大小關(guān)系不確定 二、填空題 1、 扇形得弧長(zhǎng)就就是 12cm,其圓心角就就是 90,則扇形得半徑就就是 cm ,扇形得面積就就是 c 、 2、 扇形得半徑就就是一個(gè)圓得半徑得 3 倍,且扇形面積等于圓面積,則扇形得圓心角就就是 、 3、 已知扇形面積就就是 12cm 2 ,半徑為 8cm，則扇形周長(zhǎng)為 、 4 在a中，ab3，4,

10、a=0,把 rtabc 繞直線(xiàn)c 旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐,其全面積為 s 1 ；把tc 繞 ab 旋轉(zhuǎn)一周得到另一個(gè)圓錐，其全面積為 s 2 ，則 s 1 : s 2 。 5、 一個(gè)圓柱形容器得底面直徑為 2cm,要用一塊圓心角為40得扇形鐵板做一個(gè)圓錐形得蓋子,做成得蓋子要能蓋住圓柱形容器，這個(gè)扇形得半徑至少要有 cm。 、 如圖，扇形 aob 得圓心角為 60,半徑為 6m，c,d 分別就就是得三等分點(diǎn)，則陰影部分得面積就就是 。 、 如圖正方形得邊長(zhǎng)為 2,分別以正方形得兩個(gè)對(duì)角頂點(diǎn)為圓心,以 2 為半徑畫(huà)弧,則陰影部分面積為 。 三、計(jì)算題 、 如圖，在 rbc 中,ac=c ，以 a 為圓心畫(huà)弧,交b 于點(diǎn) d，交 ac 延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) f,交 bc于點(diǎn) e,若圖中兩個(gè)陰影部分得面積相等,求 ac 與得長(zhǎng)度之比（取 3)。 2、 一個(gè)等邊圓柱（軸截面就就是正方形得圓柱)得側(cè)面積就就是 s 1 ,另一個(gè)圓錐得側(cè)面積就就是 s 2 ,如果圓錐與圓柱等底等高，求、 3、 圓錐得底面半徑就就是 r,母線(xiàn)長(zhǎng)就就是 3r,m 就就是底面圓周上一點(diǎn)，從點(diǎn)拉一根繩子繞圓錐一圈,再回到 m 點(diǎn),求這根繩子得最短